数学思维训练教程(小升初)学生版

小升初系统总复习数学思维训练教程第1讲计算（一）速算与巧算一、知识地图基本公式平方、立方公式整数计算数列及特殊公式特殊方法速算与巧算拆分与裂项几个常用拆分分数二、基础知识分数计算循环小数化分数（一）整数计算1、平方、立方公式(ab)2a2b22ab（1）完全平方公式：(ab)2a2b22ab(abc)2a2b2c22ab2bc2ac（2）平方差公式：a2b2(ab)(ab)(ab)3a33a2b3ab2b3（3）完全立方公式：33223(ab)a3ab3abb仅做了解（4）立方和公式：a3b3(ab)(a2abb2)（5）立方差公式：a3b3(ab)(a2abb2)2、数列及特殊公式（1）等差数列：通项公式：ana1(n1)d(aa)求项数公式：nn11d(a1an)n求和公式：S和=（首项+末项）×项数÷22n1（2）等比数列：ana1qn1a(1q)S1(q1)1q1（3）123Lnn(n1)21a)122232Ln2n(n1)(2n1)6223333n(n1)2n(n1)b)123Ln[]242（4）123LnL321n（5）112121青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!1小升初系统总复习数学思维训练教程211112321211112L3112345LnL54321（n≤9）n个ab101abab（6）ab10101ababababc1001abcabc（7）abcd10001abcdabcd这一类的数不妨称之为“重码数”，关键于把一个循环节的“个位”的“1”作为记数单位，结合位值原则，我们可以得到上述结果。3、特殊方法换元法：将一些数或一个式子记为某个字母，如a，b，c⋯⋯达到化繁为简。（二）分数计算1、拆分与裂项111（1）n(n1)nn11111（2）()(k1)n(nk)knnk1111（3）[]n(n1)(n2)n(n1)(n1)(n2)2aa11（4）()(a1且k1)n(nk)knnk2、几个常用拆分分数11151111171162362312341234111911111111120452045305630561111311⋯⋯426742673、循环小数化分数aaababa0.a&0.0a&0.ab&&0.ab&9909990abcabcaabcdab0.abc&&0.abc&&0.abcd&&9999909900请聪明的你，来比较1与0.99999999⋯⋯的大小？0.9999999⋯⋯=1也就是：0.9&=1，可是这是为什么呢？铺垫：10.1&9121110.12==&&12490900.12123123799330.123==900300&&123410.1231234126119993330.1234==1234990049500.1234&&9999青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!2小升初系统总复习数学思维训练教程12341137123412311110.1234==0.1234==9990111090009000注意：循环小数化分数，分母中9的个数与其循环节的位数对应，0的个数与小数点后不循环的位数对应。分子是不循环部分连上第一个循环节组成的多位数与不循环部分组成的多位数相减所得到的差。三：经典透析【例1】111921993199941999952【例2】387654338765423876544【例3】212222232L50216【例4】199573730153.32251111【例5】L112123123L1001511109【例6】L____26121105449441344L4944【例7】＝3447441144L4744青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!3小升初系统总复习数学思维训练教程621739458739458378621739458378739458【例8】()()()()126358947358947207126358947207358947【例9】0.12&0.23&0.34&0.45&0.56&L0.89&四、拓展训练11111.L=13535757920012003200511111111112.（－＋⋯－＋）×（1－＋－＋－⋯＋）234991002345991111111111－（1－＋－＋－⋯＋－）×（－＋⋯－）=_______。23459910023499223.472634472635472633472635472634472636=________。22224.L=________。3454565678910青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!4小升初系统总复习数学思维训练教程111115.L=________。14477101013200520081111116.123456=________。26122030425119141171117.234567891=________。61220304256729021234567876543218.=________。888888888888888856734556619.=________。(0.3&0.1875)65________。5673452224001919191910.(1)(12)(13)L(111)=________。92929292青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!5小升初系统总复习数学思维训练教程第2讲计算（二）比较大小、估算、定义新运算一：知识地图：二：基础知识（一）：比较大小1、分数的大小比较1）通分：a）通分母：化成分母相同的分数比较，分子小的分数小；b）通分子：化成分子相同的分数比较，分母小的分数大。2）比倒数：倒数大的分数小。3）与1相减比较法：a）真分数：与1相减，差大的分数小；b）假分数：与1相减，差大的分数大。4）经典结论：a）对于两个真分数，如果分子分母相差相同的数，则分子分母都大的分数比较大；b）对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子分母都小的分数比较大。对于分数的分子分母同时加上或减去相同的数和原分数进行比较：（ab，且a,b,c为非零自然数时）bbcbbc（1）,aacaac331331即“真分数越加越大，越减越小”（ac0）如,；551551aacaac（2）,即“假分数越加越小，越减越大”。bbcbbc5）放缩法。6）化成小数比较：小数比较大小的关键是小数点对齐，从高位比起。切记！353521357）两个数相除进行比较。如：和，1，所以。474720472、小数的大小比较常用方法：将小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位数相同的小数，然后比较。（二）估算问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1、常用方法1）放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小，将结果确定在两个接近数之间，从而估算出结果。2）变换结构：将算式变形为便于估算的形式。2、经典步骤估算和式整数部分：a）令和式结果等于A；b）最小的数×个数＜A＜最大的数×个数；c）求A。对于较简单的题目，使用“最小的数×个数＜A＜最大的数×个数”就可以确定整数部分。对于较复杂的题目，这会造成放缩幅度过大。如果出现此情况，设法比较原式与（最小的数+最大的数）×个数÷2的大小，以及与（中位数×个数）的大小（总共有偶数个数的时候，“中位数”视为中间两个数的平均数）。（三）定义新运算这是近年来出现的一种新题型，解题的过程可以归结为经典三步：阅读→理解→应用。三：经典透析20052006【例1】如果a，b，那么a，b中较大的数是_________。20062007青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!6小升初系统总复习数学思维训练教程111111110444444443【例2】如果A,B，A与B中哪个数较大？22222222188888888724807【例3】在上式的方框内填入一个整数，使不等式成立，那么=。319<提示>这类题目解题方法：aacc1）bbddaAc2）bd3）a与c通过适当相加组合为A【例4】已知除法算式12345678910111213÷31211101987654321，它的计算结果的小数点后的前三位数字分别是________。【例5】老师在黑板上写了7个自然数，让小明计算它们的平均数（保留小数点后面两位），小明算出的答数是14.73，老师说：“除最后一位数字外其他都对了”，那么正确的得数应是。探究：事实上一个自然数被7除如果除不尽，那么所得的商的小数部分一定按照“1、4、2、8、5、7”的顺序不断循环，只是循环初始数字不一定相同。观察一下除式：??????170.142857270.285714370.428571??????470.571428570.714285670.8571421357991【例6】L与相比，哪个更大，为什么？246810010青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!7小升初系统总复习数学思维训练教程1【例7】数的整数部分是几?1111L10111219BA【例8】如果A#B，那么1#22#33#4L2002#20032003#2004。AB【例9】两个用同样材料做成的球A和B，一个实心，一个空心，A的直径为7，重量为22，B的直径为10.6，重量为33.3。问哪一个球是实心球？四、拓展训练1998199819991999200020001.在,,中,最小的分数是___.1999199920002000200120012.A8.88.988.9988.99988.99998，求A的整数部分.13.已知：S,则S的整数部分是___.111L198019812006青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!8小升初系统总复习数学思维训练教程2524134.有8个数，0.51,&&,,0.51,&,是其中六个,如果按从小到大的顺序排列时，第四个数是3947250.51,&那么按从大到小排列时,第四个数是哪一个?1995194622221444435.1）试比较和的大小。2）如果A=,B.那么A与B中较大的数是___.1998194933332666656.有13个自然数，它们的平均值利用四舍五入精确到小数点后一位是26.9。那么精确到小数点后两位数是多少？7.1）比较以下小数，找最大的数：1.121,1.121,1.12,1.12121,1.12&&&&352）比较以下5个数，排列大小：1,0.42,&&,1.667,738.如果用maxa,b表示数a,b中较大的一个,20042005max,_____.20052006青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!9小升初系统总复习数学思维训练教程9.假设有一种计算器，它由A，B，C，D四种装置组成。将一个数输入一种装置后会自动输出另一个数，各装置的运算程序如下：装置A：将输入的数加上6之后输出；装置B：将输入的数除以2后输出；装置C：将输入的数减去5之后输出；装置D：将输入的数乘以3后输出；这些装置可以互相连接，如在装置A后接装置B就记做：A→B。例如输入1后，经过A→B输出3.51）若经过A→B→C→D，输出120。则输入的数是多少？2）若经过B→D→A→C，输出13，则输入的数是多少？10.有一个算式，左边方框里都是整数，右边答案写出了四舍五入后的近似值：WWW1.16求左边方框里的整数从左至右分别是什么？35711.用a表示a的小数部分,a表示不超过a的最大整数。例如0.3=0.3；0.30;4.50.5,4.54，x211记fx,请计算f,f,f1,f1的值.2x133青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!10小升初系统总复习数学思维训练教程第3讲数阵图、幻方一，知识地图二，基础知识三：幻方我们这里重点介绍三阶幻方的主要性质，以上图为例，主要有以下几个，希望同学们牢记：1、能组成幻方的数必须为从小到大排列，首尾对应相加均相等且等于中间数两倍的九个数数列。如1，2，3，6，7，8，11，12，13中1+13=2+12=3+11=6+8=7×2，一般为等差数列（不完全是）。2、幻方的中心数为数列中的中间数，如上一列数中的7必须位于幻方中心。3、幻方中关于中心对称的两数均为数列中首尾相对应的配对，且两数的平均数为中心数。如上列数中的1，13与4，10的平均数均为7。4、幻方中所有相等的和称做幻和，幻方的幻和等于中心数的三倍。如幻和为21，等于中心数7的三倍。5、数列中最大与最小数的配对不能出现在幻方中的四角，即只能出现在中间位置，依次可以得知第二大与第二小数的配对只能出现在四角，在构造幻方的过程中如果能够遵循这个规律可以很快地得出答案。6、幻方中四角的数等于与它不相邻的两个行列中间数的平均数。如2等于1，3的平均，6等于1，11的平均，12等于11，13的平均，8等于3，13的平均。7、具有一个共同数的一行和一列中其他两个数的和相等（同学们能不能知道为什么？）如第一行和第一列中有一个共同数8，则其他两个数1+12=11+2。综合利用上面7个幻方性质就可以得出很多幻方的解题思路了。趣题导引：数学兴趣小组每周都要进行小组讨论。有一次小组讨论时，李同学在黑板上画了一个“九宫格”，问其他同学说：“你们能看出这个表格的的数字规律吗？”这时很多同学都说：“这还不简单啊，这是幻方，每行每列和两条对角线的数字和都相等，我自己也会填。”李同学又画了一个幻方，但是里面数字不全，只有三个数字，说：“那你们能把这个表格补充完整，使它成为一个幻方吗？”这时刚才非常活跃的同学都沉默了，同学们，你们可以补充完整吗？12f12a66db1111ec三、经典透析【例1】2008年奥运会快要到了，下图是大家都熟悉的奥林匹克的五环标志，你能把1—9分别填入五个圆相互分割的九个部分，并且使每个圆环内的数字之和都相等吗？【例2】小兔子在森林玩耍，遇到一个画着奇怪图形的树桩，上面写着：把10至20这11个数分别填入右图的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等。如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法，小兔子发了愁，你能帮它吗？青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!11小升初系统总复习数学思维训练教程20191016101915181411141115201312131217181617【例3】右图中有三个正三角形，将1～9填入它们顶点处的九个○中，要求每个正三角形顶点的三数之和都相等，并且通过四个○的每条直线上的四数之和也相等。245198376265378194【例4】请你将2～10这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等。【例5】在左图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三数之和都等于21。【例6】如图所示，在3×3方格表内已填好了两个数19和95，在其余的空格中填上适当的数，可以使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。（1）求x；（2）如果中间的空格内填入100，试在上一小题的基础上，完成填图。x19100199595四、拓展训练1.将1～6填入右图的六个○中，使三角形每条边上的三个数之和都等于k，请指出k的取值范围。青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!12小升初系统总复习数学思维训练教程2.1～9分别填入小三角形内（每个小三角形内只填一个数），要求靠近大三角形三条边的每五个数相加和相等。想一想，怎样填这些数才能使五个数的和尽可能大一些？3.海豚是很聪明的动物，它能将1～9填入下图的九个○内，并且使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等，并且7，8，9依次位于小、中、大圆周上，你能做到吗？4.如图是一个三阶幻方，那么标有＊的方格中所填的数是多少？*81015.把1，2，3，4，6，9，12，18，36这9个数分别填入3×3方格表的各方格内，使每一行、每一列及两条对角线上的3个数的乘积都是216。求位于正中间的方格中所填的数。6.7个圆内填入7个连续自然数，使得每两个相邻圆内所填数的和都等于连线上的已知数，那么标有★的圆内填的数是多少？10★1461198127.把1.2，3.7，6.5，2.9，4.6分别填在右下图的5个圆圈内，然后在每个方框中填上和它相连的3个圆圈中的数的平均值，再把3个方框中的数平均值填在三角形中。请找出一种填法，使三角形中的数尽可能小。问这个最小的数是多少？青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!13小升初系统总复习数学思维训练教程第4讲数论（一）整除、奇偶性、极值问题一、知识地图：二、基础知识：1.整除的性质（1）性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除。即如果c︱a，c︱b，那么c︱（a±b）。（2）性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除。即如果b∣a，c∣b，那么c∣a。（3）性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除。即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a。（4）性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除。即如果b∣a，c∣a，且（b，c）=1，那么bc∣a。如：如果3∣12，4∣12，且（3，4）=1，那么（3×4）∣12。（5）性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除。如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；（6）性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除。如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；2.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数。②能被5整除的数的特征：个位是0或5。③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。注意：从这种证明过程中，我们可以进一步得到两个小技巧：（1）“弃九法”。即看各位数字和能否被9整除，只要先把9划去，或者其它的和是9的几个数划去，剩下的数字之和是否是9的倍数，则可以判定这个数能否被9整除。（2）得余数。通过上面的过程，我们可以看出这个数被9除的余数就是在弃9法以后的余数。类似地，判断能否被3整除或者不能整除时的余数是几，也可以用这种简便方法。④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。例如：判断123456789这九位数能否被11整除？例如：判断13574是否是11的倍数？⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。例如：判断1059282是否是7的倍数？例如：判断3546725能否被13整除？希望大家能熟练掌握以上判别方法，并理解我们是如何证明的，考试不会考这些证明，但是这种证明的方法在做一些其他数论题目的时候是非常有效的。上面介绍了能被2、3、4、5、7、8、9、11、13整除数的特征。那么，怎样判断一个数能否被6、12、15⋯⋯等整数整除呢？显然6=2×3，12=3×4，15=3×5⋯⋯这里，等号右边的两个因数之间没有相同的约数，于是我们可以把6，12，15⋯⋯这类数的整除问题转化为同时能被2和3整除或3和4整除⋯⋯等简单的问题来做。4.奇数和偶数整数可以分成奇数和偶数两大类。能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。奇数与偶数有许多的性质奇数±奇数=偶数青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!14小升初系统总复习数学思维训练教程奇数±偶数=奇数偶数±偶数=偶数奇数个奇数的和或差（相加减）为奇数偶数个奇数的和或差（相加减）为偶数加减法中偶数不改变结果的奇偶性（偶数都可以看作0或没有操作）加减法中奇数改变结果的奇偶性（奇数都可以看作1）奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数奇数×偶数=偶数奇数×奇数×奇数×奇数×⋯×奇数×偶数=偶数a+b与a-b同奇或同偶5.最值分析（离散）重要结论：两数和一定时，这两数差越小（越接近）乘积越大例如：把14分拆为两个自然数之和，使它们乘积最大。例如：把14分拆为3个自然数之和，使它们乘积最大。【例1】在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。【例2】各位数码是0、1或2，且能被225整除的最小自然数是多少？【例3】一个六位数，它能够被9和11整除。去掉这个六位数的首、尾两个数字，中间的四个数字是1997，那么这个六位数是多少？【例4】下面这个199位整数：1001001001144424L4100143被13除，余数是多少？199位【例5】用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!15小升初系统总复习数学思维训练教程【例6】如右图，用一块边长18厘米的正方形硬纸片，在四个角上截去4个相同的小正方形（图中阴影部分），然后把四边形折合起来，做成一个没有盖的长方体纸盒。截去的4个相同的小正方形的边长是多少厘米时，长方体纸盒的容积最大？【例7】在黑板上写1～2007这2007个自然数，每次任意擦去两个数，然后写上它们的和或差，一直这样重复操作，经过若干次后黑板上只剩下一个数，请问结果是奇数还是偶数？为什么？【例8】用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字（每个数字仅用一次）组成一个四位数和一个五位数，使乘积最大：则□□□□□×□□□□应该怎样填？若将1——9这九个数字，分别填入下面九个□中，使乘积最大：□□□×□□□×□□□四、拓展训练1.要使15ABC6能被36整除，而且所得的商最小，那么A、B、C分别是多少？（应分解为互质的几个数的乘积，被4、9整除的特征是必要前提。）2、12008200844424L420080843能被11整除，那么，n的最小值为多少？n个20083、求最小的自然数，它的各位数字之和等于56，它的末两位数是56，它本身还能被56所整除。4、一个十位数，如果各位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”，例如，3785942160就是一个十全数。现已知一个十全数能被1，2，3，⋯，18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是。青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!16小升初系统总复习数学思维训练教程5、已知四十一位数55⋯55□99⋯99（其中5和9各20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？6、把三位数3ab接连重复写下去，共写1993个3ab，所得的数13ab443ab2L4343ab恰是91的倍数，试求ab=？1999个3ab7、已知等式1993×□+4×□=6063，其中□都是自然数，试求这两个“□”的和。8、能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？9、桌子上有7个杯子，开口全部向上，现在允许每次同时翻动其中6个，能否经过若干次翻动使得所有杯子杯口全部向下，若可以，请指出最少需要多少次？并给出具体的翻法。若不可以，请说明理由；10、某农场打算用60米长的篱笆靠墙围成5个面积大小相等的羊圈（如图所示），问：若要求每个羊圈的面积尽可能大，应为多少平方米？bbbbbaaaaa青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!17小升初系统总复习数学思维训练教程第5讲数论（二）约数倍数、质数合数、分解质因数一、知识地图二、基础知识（一）1．质数与合数2.质因数与分解质因数把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如，12=2×2×3。常用的是100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；其中2是唯一的偶数，5是唯一的个位为5的质数，这也是多年考试的一个重点。分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征。同学们必须熟练掌握100以内以及其他常用合数的分解质因数。部分特殊数的分解：111=3×37；1001=7×11×13；11111=41×271；10001=73×137；1995=3×5×7×19；1998=2×3×3×3×37；2007=3×3×223；2008=2×2×2×251；2007+2008=4015=5×11×73；10101=3×7×13×37。注意：从小学奥数要求看，我们对一个数分解质因数，一般根据唯一分解定理，把相同质因子写成指数形式，这对求这个数的约数个数或者所有约数的和来说，很重要。3例如：120=2×3×5，而不写成：120=2×2×2×3×5。判断一个数是否为质数的方法：根据定义如果能够找到一个小于P的质数p（均为整数），使得p能够整除P，那么P就不是质数，所以我们只要拿所有小于P的质数去除P就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的P，2我们可以先找一个大于且接近P的平方数K，再列出所有小于K的质数，用这些质数去除P，如没有能够除尽的那么P就为质数。例如，149很接近169=13×13，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数。（二）公约数和最大公约数2.最大公约数的性质：（1）两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。即若a＝a1×（a，b），b＝b1×（a，b），则（a1，b1）＝1（2）两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。[a，b]×（a，b）＝ab还有如下推广：几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!18小升初系统总复习数学思维训练教程几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n。3.求最大公约数的方法：（1）分解质因数法：（2）短除法：（3）辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。注意：什么时候下，适宜用辗转相除法呢？要去求最大公约数的两个数比较大，或者两个数中含有大质数，我们很难通过分解质因数或者短除法解决的时候，辗转相除法就可以大展身手！例如：求600和1515的最大公约数。4.求一组分数的最大公约数：先将各个分数化为假分数；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分a子的最大公约数b；即为所求。b35(3,5)1例如：(,)412[4,12]125.求一个数所有的约数的个数和约数和：p1p2p3p4pn用分解质因数形式表示：N=a1×a2×a3×a4×⋯⋯×an（a1、a2、⋯、an为合数N的质因数）所求的约数的个数A＝（p1＋1）×（p2＋1）×（p3＋1）×⋯×（pn＋1）；3222例如：504=2×3×7例如：231=3×7×11，252=2×3×76.求一组分数的最小公倍数方法步骤：先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分a数分母的最大公约数b；即为所求。b35[3,5]15例如：[,]412(4,12)4三、经典透析【例1】把26、33、34、35、63、85、91、143分成若干组，要求每组中任意两个数的最大公约数是1，那么至少要分几组？【例2】已知自然数A、B满足以下两个性质：⑴A、B不互素；⑵A、B的最大公约数与最小公倍数之和为35。那么A+B的最小值是多少？青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!19小升初系统总复习数学思维训练教程【例3】三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的连续三个正整数的乘积称为“美妙数”，问所有的“美妙数”的最大公约数是多少？【例4】在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线把木棍分成12等份，第三种刻度线把木棍分成15等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？【例5】从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上述过程不断重复，最后剪得的正方形的边长是毫米。45【例6】已知一个苹果重千克，一个梨重千克，且苹果和梨的总重量相同，求最少有几个苹果和几个梨？1524【例7】一个数的20倍减1能被153整除，这样的自然数中最小的是多少？(祖冲之杯小学数学邀请赛)【例8】一个数加上10，减去10都是一个平方数，求这个数。【例9】3个质数的平方和是39630，那它们的和是多少？青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!20小升初系统总复习数学思维训练教程四、拓展训练1、975935932（），要使这个乘积的最后四位数字都是0，括号里最小应填什么数？2、4200有多少个约数？这些约数的和是多少？3、23个不同的整数的和是4845，问：这23个数的最大公约数可能值达到的最大的值是多少？4、10个非零自然数的和是1001，则它们的最大公约数的最大值是多少？5、有甲、乙、丙3人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米，丙每分钟行走70米。如果3个人同时同向，从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么多少分钟之后3人又可以相聚？6、现在有4个自然数，他们的和是1111。如果要求这四个数的公约数尽可能大，那么这4个数的公约数最大可能是20072008987、2007+2008×444444的个位数为多少？8、一个正整数，加上100后的结果是一个完全平方数，加上168后的结果也是一个完全平方数，那么这个正整数是多少？青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!21小升初系统总复习数学思维训练教程第7讲几何（一）平面图形预备正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形.毕克定理若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，L则它的面积为SN1．2如图，计算各个格点多边形的面积．⑴⑵⑶⑷⑸⑹右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．分别计算图中两个格点多边形的面积．DAFCEB1cm1cm【巩固】求下列各个格点多边形的面积．⑴⑵⑶⑷【巩固】我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？右图是一个812面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积．HGFAEDCB青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!22小升初系统总复习数学思维训练教程【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？(第六届“华杯赛”试题)图中正六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积．APFAPFBEBEQQCDCD模型一三角形等高模型在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；SS③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图△ACD△BCD；反之，如果S△ACDS△BCD，则可知直线AB平行于CD．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形正方形可以看作特殊平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．例：如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上．⑴求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ABDC如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB长4厘米，BC长3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米．ABEFDC【巩固】如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米．青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!23小升初系统总复习数学思维训练教程【巩固】如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是．ABFEDC如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积．HADEGBFC【巩固】图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是．ADGEBFC2长方形ABCD的面积为36cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？AHDEGBFC如右图，E在AD上，AD垂直BC，AD12厘米，DE3厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？AEBCD青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!24小升初系统总复习数学思维训练教程【巩固】如图，在VABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与VABE等积的三角形一共有哪几个三角形？AEBCD【巩固】如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ADOBC如图，三角形ABC的面积为1，其中AE3AB，BD2BC，三角形BDE的面积是多少？BBAEAECCDD如右图，ADDB，AEEFFC，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC的面积是平方厘米．BDAEFC【巩固】如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB24厘米，BC8厘米，求三角形ZCY的面积．DCZYAB【巩固】如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点．求三角形DEF的面积．AFECBD青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!25小升初系统总复习数学思维训练教程【巩固】如图，在三角形ABC中，BC8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？AFEBC【巩固】如图，长方形ABCD的面积是1，M是AD边的中点，N在AB边上，且2ANBN.那么，阴影部分的面积是多少？MADNBC2一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是21cm．问：长方形的面积是多少平方厘米？黄红红绿如右图，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH，若PBD的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？AGDPEFBHC如右图，正方形ABCD的面积是20，正三角形BPC的面积是15，求阴影BPD的面积．ADPBC青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!26小升初系统总复习数学思维训练教程【巩固】如右图，正方形ABCD的面积是12，正三角形BPC的面积是5，求阴影BPD的面积．ADPBC在长方形ABCD内部有一点O，形成等腰AOB的面积为16，等腰DOC的面积占长方形面积的18%，那么阴影AOC的面积是多少？DCOAB图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为10厘米，求阴影部分的面积．DCGFPOQHKABE【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积．ABFG4EDC青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!27小升初系统总复习数学思维训练教程【巩固】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？ADGFHBCE如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC2DE，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？ADFEBCGMNPQ如图，如果长方形ABCD的面积是56平方厘米，那么四边形的面积是多少平方厘米？DQ3C2M5PAN6B如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为10cm的正方形，则阴影部分四边形的面积是．4cm1cmS【巩固】已知正方形的边长为10，EC3，BF2，则四边形ABCD．ABDFEC青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!28小升初系统总复习数学思维训练教程模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则S△ABC:S△ADE(ABAC):(ADAE)DAADEEBBCC图⑴图⑵A如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB2:5，AE:AC4:7，S16D△ADE平方厘米，求△ABC的面积．EBC【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BDDC4，BE3，AE6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？AE乙甲BCD△ABCDBAEACAB:AD5:2AE:EC3:2在中，在的延长线上，在上，且，，DSADE12△平方厘米，求△ABC的面积．AEBC已知△DEF面积为7平方厘米，BECE,AD2BD,CF3AF，求△ABC的面积．AFDBEC青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!29小升初系统总复习数学思维训练教程如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BDAB；延长BC至E，使CE2BC；延长CA至F，使AF3AC，求三角形DEF的面积．FACEBD如图，平行四边形ABCD，BEAB，CF2CB，GD3DC，HA4AD，H平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．BAEGDCF如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，若四边形ABCD的面积为5，则四边形EFGH的面积是．FBAECGDH青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!30小升初系统总复习数学思维训练教程S1S如图，△ABC，BC5BD，AC4EC，DGGSSE，AFFG．求VFGS．AFEGSBC如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与VBEC等积D的三角形一共有哪几个三角形？AFDEBC如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点．求三角形DEF的面积．AFECBD如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？ADEBC1CEBC如图，在△ABC中，延长AB至D，使BDAB，延长BC至E，使2，F是AC的中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？AFCBED青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!31小升初系统总复习数学思维训练教程模型三任意四边形模型---蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：DAS1S4S2OS3BCAO:OCSS:SS①S1:S2S4:S3或者S1S3S2S4②1243蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92C平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？BOAD【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，AD1求：⑴三角形BGC的面积；⑵AG:GC？23GBC1四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的3，且AO2DO3CODO，，那么的长度是的长度的_________倍．ADOBC如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求△OCF的面积；⑵求△GCE的面积．ADOFGBEC青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!32小升初系统总复习数学思维训练教程图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？67如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为．ADBC【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC的面积．EDABC如图，边长为1的正方形ABCD中，BE2EC，CFFD，求三角形AEG的面积．ADGFBEC青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!33小升初系统总复习数学思维训练教程如图，长方形ABCD中，BE:EC2:3，DF:FC1:2，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积．ADGFBEC如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角形BDG的面积．AEDFGBC如图，在ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O,若AOM、ABO和BON的面积分别是3、2、1，则MNC的面积是．AMOCBN青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!34小升初系统总复习数学思维训练教程梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：22S:Sa:b①1322S:S:S:Sa:b:ab:ab②1324；2ab③S的对应份数为．【巩固】如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已知△AOB与△BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是________平方厘米．AB2535ODCABCDACBDO2ABO梯形的对角线与交于点，已知梯形上底为，且三角形的面积等于AD2三角形BOC面积的3，求三角形AOD与三角形BOC的面积之比．OBC如下图，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，已知AO1，并且B三角形ABD的面积3ACO三角形CBD的面积5，那么OC的长是多少？DAD2梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是9cm，问三角形AOD的面积是多少？OBC【巩固】如图，梯形ABCD中，AOB、COD的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCDAB的面积．ODC青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!35小升初系统总复习数学思维训练教程如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面FAB积是11，三角形BCH的面积是23，求四边形EGFH的面积．GHDCE【巩固】如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为________．123如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分的面积．BCGAMD【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，ABCD那么正方形面积是平方厘米．ADFBEC如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中，E,F是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积．ABODCEF如图，在长方形ABCD中，AB6厘米，AD2厘米，AEEFFB，求阴影部分的面积．AEFBODC青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!36小升初系统总复习数学思维训练教程已知ABCD是平行四边形，BC:CE3:2，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．ADOBCE【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单AD位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．9214BEC【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．AD8162BEC如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，DEF的面积是5平方厘米，CED的面积是10平方厘米．问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？AFD5E10BC【巩固】如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，DEF的面积是4平方AFDCED6ABEF厘米，的面积是平方厘米．问：四边形的面积是多少平方厘米？4E6BC青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!37小升初系统总复习数学思维训练教程【巩固】如图，ABCD长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD的长是16，OB的长是9.那么四边形OECD的面积是多少？ADOCBE如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为___________平方厘米．AEFB25O?8DC(98迎春杯初赛)如图，长方形ABCD中，AOB是直角三角形且面积为54，OD的长是16，OB的长是9．那么四边形OECD的面积是．ADOBEC模型四三角形相似模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型AEFDADFEBGCBGCADAEDEAFS：SAF2:AG2ABACBCAG；②△ADE△ABC．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!38小升初系统总复习数学思维训练教程如图，已知在平行四边形ABCD中，AB16，AD10，BE4，那么FC的DC长度是多少？FABEB如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为15厘米，AC被分为60等E份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE平行AB)，那么小玻DC璃管口径DE是多大？A0102030405060AS:S如图，DE平行BC，若AD:DB2:3，那么△ADE△ECB________．DEBCA如图，△ABC中，DE，FG，BC互相平行，ADDFFB，DES:S:S则△ADE四边形DEGF四边形FGCB．FGBCDEBCAD2AB5AE4AC【巩固】如图，平行，且，，，求的长．ADEBC【巩固】如图，△ABC中，DE，FG，MN，PQ，BC互相平行，AADDFFMMPPB，则DES:S:S:S:SFG△ADE四边形DEGF四边形FGNM四边形MNQP四边形PQCB．MNPQBCSS8.5cm2S已知△ABC中，DE平行BC，若AD:DB2:3，且梯形DBCE比△ADE大，求△ABC．ADEBC青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!39小升初系统总复习数学思维训练教程S:S4:9AM4cmA如图：MN平行BC，△MPN△BCP，，求BM的长度MNPBCA【巩固】如图，已知DE平行BC，BO:EO3:2，那么AD:AB________．DEOBC11AEABADAC如图，ABC中，4，4，ED与BC平行，EOD的面积是1平方厘米．那么AED的面积是平方厘米．AEDOBC在图中的正方形中，A，B，C分别是所在边的中点，VCDO的面积是VABO面积C的几倍？BOAD如图，线段AB与BC垂直，已知ADEC4，BDBE6，那么图中阴影部分A面积是多少？DCBE如图，四边形ABCD和EFGH都是平行四边形，四边形ABCD的面积是16，BG:GC3:1，则四边形EFGH的面积________．AEDFHBGC青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!40小升初系统总复习数学思维训练教程已知三角形ABC的面积为a，AF:FC2:1，E是BD的中点，且EF∥BC，交CD于G，求阴影部分的面积．ADEFGBCABEAE10cm已知正方形ABCD，过C的直线分别交AB、AD的延长线于点E、F，且，AF15cmD，求正方形ABCD的边长．CFA如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，边BC120毫米，高AD80毫PN米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别BC在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？HDG【巩固】如图，在△ABC中，有长方形DEFG，G、F在BC上，D、E分别A在AB、AC上，AH是△ABC边BC的高，交DE于M，DG:DE1:2，BC12DME厘米，AH8厘米，求长方形的长和宽．BGHFC图中ABCD是边长为12cm的正方形，从G到正方形顶点C、D连成一个三角形，已知这G个三角形在AB上截得的EF长度为4cm，那么三角形GDC的面积是多少？AEFBDC青春是一场无伞的大雨，请努力奔跑!41小升初系统总复习数学思维训练教程如图，将一个边长为2的正方形两边长分别延长1和3，割出图中的阴影部分，求阴影部分的面积是多少？AB图中的