,代入各项验证即可得B正确,故选B.2[不等式法]列出最值关系式,利用均值不等式"等号成立"的条件求解。[典型例题]过椭圆的焦点的直线交椭圆A,B两点,求面积的最大值。分析：由过椭圆焦点,写出直线AB方程为y=kx+1,与椭圆方程联立,消去y,得关于x的一元二次方程,巧妙的利用根与系数的关系,可以起到避繁就简的效果。解：椭圆焦点,设过焦点<0,1>,直线方程为y=kx+1与联立,消去y,得,其中两根为A,B横坐标。将三角形AOB看作与组合而成,|OF|是公共边,它们在公共边上的高长为.,其中|OF|=c=1.===.当即k=0时,取等号,即当直线为y=1时,得到的面积最大值为。[点悟]利用均值不等式求最值,有时要用"配凑法",这种方法是一种技巧。在利用均值不等式时,要注意满足三个条件：1、每一项要取正值；2、不等式的一边为常数；3、等号能够成立。其中正确应用"等号成立"的条件是这种方法关键。[变式训练]如图所示,设点,是的两个焦点,过的直线与椭圆相交于两点,求△的面积的最大值,并求出此时直线的方程。分析：,设,,则设直线的方程为代入椭圆方程得即令,∴,〔利用均值不等式不能区取"＝"∴利用〔的单调性易得在时取最小值在即时取最大值为,此时直线的方程为3[的最小值]其中,点A为曲线C〔椭圆,双曲线或抛物线内一定点〔异于焦点,P是曲线C上的一个动点,F是曲线C的一个焦点,e是曲线C的离心率。图1[典型例题1]已知双曲线C：内有一点A〔7,3,F是双曲线C的左焦点,P为双曲线C上的动点,求的最小值。分析：注意到式中的数值""恰为,则可由双曲线的第二定义知等于双曲线上的点P到左准线的距离,从而=+,由图知,当A、P、M三点共线时,+取得最小值,其大小为。题中〔为P到焦点F对应的准线的距离,从而将所求转化为定点到准线的距离。[典型例题2]已知双曲线的右焦点为F,点,试在此双曲线上求一点M,使的值最小,并求出这个最小值.分析易知离心率,的最值问题转化为的最值问题.解析如图1所示,l为双曲线的右准线,M为双曲线上任意一点,分别作MN⊥l于N,AB⊥l于B.∵离心率,∴由双曲线的第二定义有,即.∴=.当且仅当M为AB与双曲线右支的交点时,取得最小值.点M的坐标为,最小值为.图1[变式例题1]已知抛物线,定点A<3,1>,F是抛物线的焦点,在抛物线上求一点P,使|AP|+|PF|取最小值,并求的最小值。分析：由点A引准线的垂线,垂足Q,则|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|,即为最小值。OF<1,0>xA<3,1>yQP解：如图,,焦点F<1,0>。由点A引准线x=-1的垂线,垂足Q,则|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|,即为最小值..由,得为所求点.若另取一点,显然。[点悟]利用圆锥曲线性质求最值是一种特殊方法。在利用时技巧性较强,但可以避繁就简,化难为易。又如已知圆锥曲线内一点A与其上一动点P,求的最值时,常考虑圆锥曲线第二定义。[变试例题2]在椭圆内有一点P〔1,－1,F为椭圆右焦点,在椭圆上有一点M,使|MP|+2|MF|的值最小,则这一最小值是〔A．B．C．3D．4[变式例题3]已知椭圆,A〔4,0,B〔2,2是椭圆内的两点,P是椭圆上任一点,求：〔1求的最小值；〔2求的最小值和最大值分析：〔1A为椭圆的右焦点。作PQ⊥右准线于点Q,则由椭圆的第二定义,∴,显然点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点,最小值为。〔2由椭圆的第一定义,设C为椭圆的左焦点,则∴,根据三角形中两边之差小于第三边,当P运动到与B、C成一条直线时,便可取得最大和最小值。当P到P"位置时,,有最大值,最大值为；当P到位置时,,有最小值,最小值为.4[参数法]利用椭圆、双曲线参数方程转化为三角函数问题,或利用直线、抛物线参数方程转化为函数问题求解。[典型例题1]已知P是椭圆在第一象限内的点,A〔2,0,B〔0,1,O为原点,求四边形OAPB的面积的最大值分析：设P〔,,,点P到直线AB：x+2y=2的距离∴所求面积的最大值为例2、椭圆的切线与两坐标轴分别交于A,B两点,求三角形OAB的最小面积。分析；写出椭圆参数方程,设切点为,可得切线方程。解：设切点为,则切线方程为.令y=0,得切线与x轴交点；令x=0,得切线与y轴交点B<0,>=[点悟]利用圆锥曲线参数方程转化为求三角函数的最值问题,再利用三角函数的有界性得出结果。图25[的最值]其中,点A为曲线C〔椭圆,双曲线或抛物线内一定点〔异于焦点,P是曲线C上的一个动点,F是曲线C的一个焦点,e是曲线C的离心率。例2.已知椭圆内有一点A〔2,1,F为椭圆的左焦点,P是椭圆上动点,求的最大值与最小值。解：如图2,设椭圆的右焦点为,可知其坐标为〔3,0,由椭圆的第一定义得：,则,可知,当P为的延长线与椭圆的交点时,最大,最大值为,当P为的延长线与椭圆的交点时,最小,最小值为。故的最大值为,最小值为。本题中巧妙地运用定义将和与差进行了转化,将不可求转化为可求,使问题得以解决。本题中若点A在曲线C外呢？若把椭圆变为双曲线呢？注意在这类问题中,"和"与"差"中一个不可求,就用定义转化为另一个。正确地画出图形,利用平面几何知识,一般都可以解决问题。图36[的最值]其中,点A为曲线C〔椭圆,双曲线或抛物线外一定点,P是曲线C上的一个动点,是曲线C的一条准线,是点P到的距离,e是曲线C的离心率。例3.设P是上的一个动点。求点P到点的距离与点P到直线的距离d之和的最小值。若,求的最小值。图4Q解：〔1如图3,〔当A、P、F三点共线时取等号〔2为第一类"的最小值"问题,这里。如图4,〔当P为过点B的的垂线与抛物线的交点时取等号题中,将所求折线转化为直线,结合图形利用平面几何知识很容易解决问题。7[曲线上定长动弦的中点到准线距离的最值]例4.定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动,求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。图5解：设F为椭圆的右焦点,如图3,作于,于,于,则〔当且仅当AB过焦点F时等号成立。故M到椭圆右准线的最短距离为。注：是椭圆的通径长,是椭圆焦点弦长的最小值,是AB能过焦点的充要条件。题中若是求中点到与准线平行的直线的距离的最小值也可以转化为这类问题。求解定值问题的大体思考方法——若题设中未告知定值,可考虑用特殊值探求.若已告知,可设参数〔有时甚至要设两个参数,运算推理到最后,参数必消,定值显露.求解最值问题的大体思考方法——是几何法,常用工具是圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论；二是代数法,将圆锥曲线中的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题,然后利用函数的单调性、均值不等式或三角函数的有界性等知识来求解.评析求解本例的关键是将所求表达式的最小值问题根据双曲线的第二定义转化成求|MA|+|MN|的最小值问题.已知抛物线的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且.过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.〔1
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为定值；〔2设的面积为S,写出的表达式,并求S的最小值.分析〔1如图2所示,设出A、B的坐标,利用已知条件将M的坐标用A、B的坐标表示出来,计算出并确定其为定值即可.〔2将的面积S用表示,注意到〔1中的结论=0故.再利用求函数最小值的基本方法来解,本题可采用均值不等式来求.解析〔1由已知条件,得.图2设.由,即得,∴将①式两边平方并把代入得,③解②、③式得,且有.抛物线方程为.求导得.所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是,即.解出两条切线的交点M的坐标为.所以.所以为定值,其值为0.〔2由〔1知在中,,因而.因为分别等于A、B到抛物线准线的距离,所以.于是,由,可知,且当时,S取得最小值4.评析本例将向量与解析几何结合在一起,考查综合运用知识解决数学问题的能力.主要考查抛物线的定义与几何性质,曲线切线的求法,弦长公式的应用,向量的数量积,向量的坐标表示,均值不等式及函数的最值,同时考查了设而不求的数学.解决这类问题,关键要理清知识顺序,弄明白未知与已知的关系,在计算也变形的过程中逐步展开思维,寻找突破口,提高自己分析问题、解决问题的能力.一般地,我们称离心率的椭圆为"黄金椭圆".已知椭圆的一个焦点为,P,Q为椭圆E上的任意两点,M为线段PQ的中点,O为坐标原点.〔1试证：若a,b,c不是等比数列,则椭圆E一定不是"黄金椭圆"；〔2设E为黄金椭圆,问：是否存在过点F、P的直线l,使l与y轴的交点R满足？若存在,求直线l的斜率k；若不存在,请说明理由.〔3设E为黄金椭圆,若直线PQ和OM的斜率分别为和,证明·为定值；〔4已知椭圆E的短轴长是2,点,求使取最大值时P点的坐标.解析〔1假设E为"黄金椭圆",则,即.∴.∴a,b,c成等比数列,这与已知条件a,b,c不是等比数列相矛盾.故原命题成立.〔2依题意,设直线l的方程为,令x=0有,即点R的坐标为.∵,∴点P的坐标为.∵点P在椭圆上,∴.∵,∴.故,与矛盾.所以,满足题意的直线不存在.〔3设,则.因为M为线段PQ的中点,故.因为P,Q在椭圆上,所以①－②得.∴〔定值.〔4依题意有,由点在E上知∴∵,∴又,则①当时,,∴是[-1,1]上的减函数.故当时,取得最大值,此时点P的坐标为〔0,-1.②当时,,故当时,取得最大值.此时点P的坐标为.评析本例是以椭圆为载体的综合问题,体现了平面向量与解析几何的交汇。既考查了反证法、定值问题及二次函数在区间上的最值问题,又考查了分类与整合的思想,以及领悟新知识的能力,探索论证能力.〔椭圆参数方程,三角函数,最值问题的结合例2：已知△的面积为,〔1设,求正切值的取值范围；〔2设以O为中心,F为焦点的双曲线经过点Q〔如图,当取得最小值时,求此双曲线的方程。解析：〔1设〔2设所求的双曲线方程为∴,∴又∵,∴当且仅当时,最小,此时的坐标是或,所求方程为〔借助平面向量,将三角形、圆锥曲线最值、求曲线方程、基本不等式等多个知识点有机的结合起来,综合考察学生应用相关知识点解题的能力〔数形结合思想、椭圆定义、最值问题的结合〔三角形问题、直线方程、最值问题、函数单调性的综合应用例5：、是经过椭圆右焦点的任一弦,若过椭圆中心Ｏ的弦,求证：：是定值解析：对于本题,,分别为中心弦和焦点弦,可将其倾斜角退到0°,此时有,,〔定值．下面再证明一般性．设平行弦、的倾斜角为,则斜率,的方程为代入椭圆方程,又∵即得eq\o\ac<○,1>,另一方面,直线方程为．同理可得eq\o\ac<○,2>由eq\o\ac<○,1>eq\o\ac<○,2>可知〔定值关于②式也可直接由焦点弦长公式得到．〔从特殊入手,求出定点〔定值,再证明这个点〔值与变量无关。3．过抛物线y2＝2px0>上一定点M,作两条直线分别交抛物线于A、B,当MA与MB的斜率存在且倾斜角互补时,则eq\f等于<>A．－2B．2C．4D．－4答案 A解析kMA＝eq\f＝eq\f,2p>－\f,2p>>＝eq\f<2p〔y1－y0,y\o\al<2,1>－y\o\al<2,0>>＝eq\f<2p,y1＋y0>,同理：kMB＝eq\f<2p,y2＋y0>.由题意：kMA＝－kMB,∴eq\f<2p,y1＋y0>＝－eq\f<2p,y2＋y0>,∴y1＋y0＝－,y1＋y2＝－2y0,∴eq\f＝－2,故选A.4．<2011·XX质检>已知P为抛物线y2＝4x上一个动点,Q为圆x2＋2＝1上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是<>A．5B．8C.eq\r<17>－1D.eq\r<5>＋2答案 C解析 抛物线y2＝4x的焦点为F<1,0>,圆x2＋2＝1的圆心为C<0,4>,设点P到抛物线的准线的距离为d,根据抛物线的定义有d＝|PF|,∴|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|≥<|PC|－1>＋|PF|≥|CF|－1＝eq\r<17>－1.二、填空题5．已知点M是抛物线y2＝4x上的一点,F为抛物线的焦点,A在圆C：2＋2＝1上,则|MA|＋|MF|的最小值为________．答案 4解析 依题意得|MA|＋|MF|≥<|MC|－1>＋|MF|＝<|MC|＋|MF|>－1,由抛物线的定义知|MF|等于点M到抛物线的准线x＝－1的距离,结合图形不难得知,|MC|＋|MF|的最小值等于圆心C<4,1>到抛物线的准线x＝－1的距离,即为5,因此所求的最小值为4.6．若抛物线y2＝4x的焦点为F,过F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,动点P在曲线y2＝－4x上,则△PAB的面积的最小值为________．答案 2eq\r<2>解析 由题意,得F<1,0>,直线AB的方程为y＝x－1.由eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1>,得x2－6x＋1＝0.设A,B,则x1＋x2＝6,x1x2＝1,∴|AB|＝eq\r<2>·eq\r<〔x1＋x22－4x1x2>＝8.设P<－eq\f,4>,y0>,则点P到直线AB的距离为eq\f<|\f,4>＋y0＋1|,\r<2>>,∴△PAB的面积S＝eq\f<|y\o\al<2,0>＋4y0＋4|,\r<2>>＝eq\f<〔y0＋22,\r<2>>≥2eq\r<2>,即△PAB的面积的最小值是2eq\r<2>.
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