2022年湖北省武汉市青山区武钢实验学校九下期中数学试卷(含答案)

先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。——范仲淹2022年湖北省武汉市青山区武钢实验学校九下期中数学试卷1.−1的负倒数是(  )3A．1B．3C．−3D．−1332.若分式1有意义，则ᵆ满足的条件是(  )ᵆ−3A．ᵆ=3B．ᵆ<3C．ᵆ>3D．ᵆ≠33.关于下列说法①买一张彩票一定中奖；②从一副普通扑克牌中任意抽取一张，一定是红桃；判断正确的是(  )A．①②都正确B．只有①正确C．只有②正确D．①②都错误4.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是(  )A．中B．国C．加D．油5.一个几何体由若干个相同的小正方体组成，其主视图和俯视图如图所示，则这个几何体中小正方体的个数最少是(  )A．3B．4C．5D．66.《九章算术》中有这样一道题，原文如下：今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？大意为：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；若甲把共2的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、3乙各原有多少钱？设甲原有的钱数为ᵆ，乙原有的钱数为ᵆ，则列方程组为(  )ᵆ+1ᵆ=50,ᵆ+1ᵆ=50,A．{2B．{2ᵆ+2ᵆ=50ᵆ+2ᵆ=5033ᵆ−1ᵆ=50,ᵆ−1ᵆ=50,C．{2D．{2ᵆ−2ᵆ=50ᵆ−2ᵆ=5033志不强者智不达，言不信者行不果。——墨翟丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。——杜甫7.两道单选题都含有A，B，C，D四个选项，小明同学在不会做的情况下，两题都答对的概率是(  )A．1B．1C．1D．3841688.已知ᵃ(2,ᵆ)，ᵃ(−3,ᵆ)，ᵃ(−5,ᵆ)三个点都在反比例函数ᵆ=ᵅ2+1的图象上，比较ᵆ，ᵆ，123ᵆ12ᵆ的大小，则下列各式正确的是3(  )．<ᵆ<ᵆ．<ᵆ<ᵆ．<ᵆ<ᵆ．<ᵆ<ᵆAᵆ123Bᵆ231Cᵆ132Dᵆ3219.观察下列有规律的算式：13=1，13+23=9，13+23+33=36，13+23+33+43=100，13+23+33+43+53=225，⋯，探究并运用其规律计算：113+123+133+143+153+163+173+183+193+203的结果可表示为(  )A．265×155B．275×145C．285×145D．255×16510.如图，正方形ᵃᵃᵃᵃ的边长ᵃᵃ=8，ᵃ为平面内一动点，且ᵃᵃ=4，ᵃ为ᵃᵃ上一点，ᵃᵃ=2，连接ᵃᵃ，ᵃᵃ，则ᵃᵃ+1ᵃᵃ的最小值为(  )2A．6√2B．4C．4√2D．611.计算：√36=．12.在“爱我中华”中学生演讲比赛中，6位评委分别给选手小明的评分如下：7，9，6，7，9，8，则这组数据的众数是．13.计算：2ᵆ−2的结果是．ᵆ2−11−ᵆ214.一把直尺和一块三角板ᵃᵃᵃ（含30∘，60∘角）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点ᵃ、点ᵃ，另一边与三角板的两直角边分别交于点ᵃ、点ᵃ，且∠ᵃᵃᵃ=40∘，那么∠ᵃᵃᵃ的大小为．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。——刘备勿以恶小而为之，勿以善小而不为。——刘备15.折叠矩形纸片ᵃᵃᵃᵃ时，发现可以进行如下操作：①把△ᵃᵃᵃ翻折，点ᵃ落在ᵃᵃ边上的点ᵃ处，折痕为ᵃᵃ，点ᵃ在ᵃᵃ边上；②把纸片展开并铺平；③把△ᵃᵃᵃ翻折，点ᵃ落在线段ᵃᵃ上的点ᵃ处，折痕为ᵃᵃ，点ᵃ在ᵃᵃ边上．若ᵃᵃ=ᵃᵃ+2，ᵃᵃ=1，则ᵃᵃ=．16.如图，在△ᵃᵃᵃ中，tan∠ᵃᵃᵃ⋅tan∠ᵃᵃᵃ=1，⊙ᵄ经过ᵃ，ᵃ两点，分别交ᵃᵃ，ᵃᵃ于ᵃ，ᵃ两点，若ᵃᵃ=10，ᵃᵃ=24，则⊙ᵄ的半径为．17.计算：(−3ᵄ2)3⋅ᵄ3+(−4ᵄ)2⋅ᵄ7−(5ᵄ3)3．18.如图，在△ᵃᵃᵃ中，ᵃᵃ∥ᵃᵃ，∠ᵃᵃᵃ和∠ᵃᵃᵃ的平分线分别交ᵃᵃ于点ᵃ，ᵃ，若ᵃᵃ=6，ᵃᵃ=8，ᵃᵃ=20，求ᵃᵃ．19.为了解取水楼社区20∼60岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调査（每人只能选择其中一项），并将调査数据整理后绘成如下两幅不完整的统计我尽一杯，与君发三愿：一愿世清平，二愿身强健，三愿临老头，数与君相见。——《白居易》人不知而不愠，不亦君子乎？——《论语》图．请根据图中信息解答下列问题：各种支付方式的扇形统计图各种支付方式中不同年龄段人数条形统计图(1)求参与问卷调查的总人数．(2)补全条形统计图．(3)该社区中20∼60岁的居民约8000人，估算这些人中最喜欢微信支付方式的人数．20.已知矩形ᵃᵃᵃᵃ，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（不写作法）．(1)如图1，点ᵄ为ᵃᵃ的中点，画出ᵃᵃ的垂直平分线ᵅ．(2)如图2，在矩形ᵃᵃᵃᵃ中，以对角线ᵃᵃ为一边构造一个正方形ᵃᵃᵃᵃ，画出ᵃᵃ的中点ᵄ．21.如图，ᵃᵄ是以ᵃᵃ为直径的⊙ᵄ的切线，ᵃ为切点，ᵃᵃ平分∠ᵃᵃᵄ，弦ᵃᵃ交ᵃᵃ于点ᵃ，ᵃᵃ=ᵄᵃ．(1)求证：ᵄᵃ2=ᵄᵃ⋅ᵃᵃ．(2)求tan∠ᵃᵃᵃ的值．人不知而不愠，不亦君子乎？——《论语》宠辱不惊，看庭前花开花落；去留无意，望天上云卷云舒。——《洪应明》22.某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2500元，销售单价定为3200元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3200元销售：若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低5元，但销售单价均不低于2800元．(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价怡好为2800元？(2)设商家一次购买这种产品ᵆ件，开发公司所获的利润为ᵆ元，求ᵆ（元）与ᵆ（件）之间的函数关系式，并写出自变量ᵆ的取值范围．(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）23.已知：已知Rt△ABC中，∠ᵃᵃᵃ=90∘，ᵃ，ᵃ分别是ᵃᵃ，ᵃᵃ上的点，连ᵃᵃ，且ᵃᵃ=ᵃᵃ=ᵃᵃᵃᵃ√3，tanᵃ=√2，如图1．2(1)如图2，将△ᵃᵃᵃ绕ᵃ点旋转，连ᵃᵃ，ᵃᵃ交于ᵃ，求证：ᵃᵃ⊥ᵃᵃ．(2)如图3，当△ᵃᵃᵃ绕ᵃ点旋转过程中，当ᵃᵃ=√5时，求√2ᵃᵃ−ᵃᵃ的值．(3)若ᵃᵃ=1，当△ᵃᵃᵃ绕ᵃ点旋转过程中，直接写出ᵃᵃ的最大值是．24.如图所示抛物线ᵆ=ᵄᵆ2+ᵄᵆ+ᵅ过点ᵃ(−1,0)，点ᵃ(0,3)，且ᵄᵃ=ᵄᵃ．海纳百川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚。——林则徐天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。——《易经》(1)求抛物线的解析式及其对称轴．(2)点ᵃ，ᵃ在直线ᵆ=1上的两个动点，且ᵃᵃ=1，点ᵃ在点ᵃ的上方，求四边形ᵃᵃᵃᵃ的周长最小值．(3)点ᵄ为抛物线上一点，连接ᵃᵄ，直线ᵃᵄ把四边形ᵃᵃᵄᵃ的面积分为3:5两部分，求点ᵄ的坐标．人之为学，不日进则日退，独学无友，则孤陋而难成；久处一方，则习染而不自觉。——《顾炎武》百学须先立志。——朱熹答案1.【答案】B【解析】由负倒数的定义得：3×(−1)=−1，3因此−1的负倒数是3．3故选B．2.【答案】D【解析】若分式有意义，则分母不等于0，所以ᵆ−3≠0，ᵆ≠3．3.【答案】D【解析】①买一张彩票中奖是随机事件，不一定中奖，故①错误；②从一副普通扑克牌中任意抽取一张，可能是红桃，也可能不是，故②错误；故选D．4.【答案】A【解析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线是它的对称轴．很明显D，B，C选项都不是轴对称图形，故选A．5.【答案】B【解析】根据主视图和府视图可推测出左视图有以下可能：如图①这个几何体的小正方体个数为4；如图②小正方体个数为5．6.【答案】A【解析】设甲的钱数为ᵆ，乙的钱数为ᵆ，由题意得：ᵆ+1ᵆ=50,{2ᵆ+2ᵆ=50.37.【答案】C【解析】猜对一道题的概率是1，4常将有日思无日，莫待无时思有时。——《增广贤文》丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。——《顾炎武》∴两题都猜对的概率是1×1=1．44168.【答案】B【解析】ᵆ=ᵅ2+1，ᵅ2+1>0，反比例函数在一、三象限，ᵆ)，ᵃ(−3,ᵆ)，ᵃ(−5,ᵆ)在图象表示为：ᵃ(2,ᵆ123由图象得>ᵆ>ᵆ，ᵆ132即<ᵆ<ᵆ．ᵆ2319.【答案】A【解析】根据得出的等式，我们发现规律为，213+23+33+43+⋯+ᵅ3=(1+2+3+⋯+ᵅ)2=[ᵅ(ᵅ+1)]，2∴原式=(13+23+⋯+203)−(12+23+⋯+103)22=(20×21)−(10×11)22=2102−552=(210+55)(210−55)=265×155.10.【答案】A【解析】在ᵃᵃ上取一点ᵄ使得ᵃᵄ=2，连接ᵄᵃ，连接ᵄᵃ，在正方形ᵃᵃᵃᵃ中，ᵃᵃ=ᵃᵃ=ᵃᵃ=ᵃᵃ=8，∵ᵃᵃ=4=1，ᵃᵃ82ᵃᵄ=2=1，ᵃᵃ42∠ᵃᵃᵄ=∠ᵃᵃᵃ，∴△ᵃᵃᵄ∽△ᵃᵃᵃ，∴ᵃᵄ=1，ᵃᵃ2∴ᵃᵃ+1ᵃᵃ=ᵃᵃ+ᵃᵄ，2∵ᵃᵃ=4，丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。——杜甫百学须先立志。——朱熹∴点ᵃ在以ᵃ为圆心，4为半径的圆上移动，∴当且仅当ᵃ，ᵄ，ᵃ三点共线时，ᵃᵃ+1ᵃᵃ取得最小值为ᵄᵃ，2∵ᵃᵄ=ᵃᵃ=2，∴ᵄᵃ=ᵃᵃ=8−2=6，∴ᵄᵃ=√62+62=6√2，∴ᵃᵃ+1ᵃᵃ的最小值为6√2．211.【答案】6【解析】由算术平方根的定义可得√36=6．12.【答案】7，9【解析】这组数按从小到大的顺序排列为6，7，7，8，9，9．∴众数为7，9．13.【答案】2ᵆ−12ᵆ−2=2ᵆ+2ᵆ2−11−ᵆ2ᵆ2−1ᵆ2−1=2ᵆ+2【解析】(ᵆ+1)(ᵆ−1)=2(ᵆ+1)(ᵆ+1)(ᵆ−1)=2.ᵆ−114.【答案】10∘【解析】∵∠ᵃᵃᵃ+∠ᵃᵄᵃ=90∘，∴∠ᵃᵃᵃ=50∘，又∵ᵃᵃ∥ᵃᵃ，∴∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ=50∘，∴∠ᵃᵃᵃ=60∘−50∘=10∘．15.【答案】3+2√3丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。——杜甫人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。——刘鹗【解析】设ᵃᵃ=ᵆ，则ᵃᵃ=ᵆ+2，∵把△ᵃᵃᵃ翻折，点ᵃ落在ᵃᵃ边上的点ᵃ处，∴ᵃᵃ=ᵃᵃ，ᵃᵃ=ᵃᵃ，∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃ=90∘，∴四边形ᵃᵃᵃᵃ为正方形，∴ᵃᵃ=ᵃᵃ=ᵆ，∵把△ᵃᵃᵃ翻折，点ᵃ落在直线ᵃᵃ上的点ᵃ处，折痕为ᵃᵃ，点ᵃ在ᵃᵃ边上，∴ᵃᵃ=ᵃᵃ=ᵆ+2，∵ᵃᵃ=1，当ᵃᵃ=ᵃᵃ−ᵃᵃ=ᵆ−1，在Rt△ADH中，∵ᵃᵃ2+ᵃᵃ2=ᵃᵃ2，∴ᵆ2+(ᵆ−1)2=(ᵆ+2)2，整理得ᵆ2−6ᵆ−3=0，解得=3+2√3，ᵆ=3−2√3（舍去）．ᵆ1216.【答案】13【解析】如图，连接ᵃᵄ交⊙ᵄ于点ᵄ，连接ᵃᵄ，过点ᵄ作ᵄᵄ⊥ᵃᵃ交于点ᵄ，∵tan∠ᵃᵃᵃ⋅tan∠ᵃᵃᵃ=1，∴∠ᵃᵃᵃ+∠ᵃᵃᵃ=90∘，∴ᵃᵃ⏜+ᵃᵃ⏜=180∘，又∵ᵃᵃᵃ⏜+ᵃᵄ⏜=180∘，∴ᵃᵃ⏜=ᵃᵄ⏜，即ᵃᵃ=ᵃᵄ=10，∵ᵄᵄ⊥ᵃᵃ，∴ᵄ为ᵃᵃ中点，ᵃᵄ=1ᵃᵃ=12，2又∵ᵄ为ᵃᵄ中点，∴ᵄᵄ为△ᵃᵃᵄ中位线，∴ᵄᵄ=1ᵃᵄ=5，2由勾股定理可得ᵃᵄ=√ᵃᵄ2+ᵄᵄ2=13，∴⊙ᵄ的半径为13．故答案为：13．百学须先立志。——朱熹一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。——《增广贤文》17.【答案】−136ᵄ9．18.【答案】∵ᵃᵃ∥ᵃᵃ，∴∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ，∵∠ᵃᵃᵃ的平分线为ᵃᵃ，∴∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ，∴ᵃᵃ=ᵃᵃ=6，同理ᵃᵃ=ᵃᵃ=8，∴ᵃᵃ=ᵃᵃ−ᵃᵃ−ᵃᵃ=20−6−8=6．19.【答案】(1)(120+80)÷40%=500（人）．∴参与问卷调查的总人数为500人．(2)500×15%−15=60（人）．补全条形统计图，如图所示．(3)8000×(1−40%−10%−15%)=2800（人）．∴这些人中最喜欢微信支付方式的人数约为2800人．20.【答案】(1)ᵃᵃ的垂直平分线ᵅ如图所示：(2)ᵃᵃ的中点ᵄ如图所示：【解析】(1)连接ᵃᵃ，ᵃᵃ，相交于点ᵄ，则ᵄ是ᵃᵃ的中点，所以ᵄᵄ是△ᵃᵃᵃ的中位线，从而可证ᵄᵄ⊥ᵃᵃ．(2)连接ᵃᵃ交ᵃᵃ于点ᵃ，则ᵃ是ᵃᵃ的中点；连接ᵃᵃ，ᵃᵃ，相交于点ᵃ，则ᵃ是ᵃᵃ的中点，从而ᵃᵃ是△ᵃᵃᵃ的中位线，继而可得ᵃᵃ垂直平分ᵃᵃ．21.【答案】(1)如图，连接ᵄᵃ，ᵄᵃ，一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。——《增广贤文》宠辱不惊，看庭前花开花落；去留无意，望天上云卷云舒。——《洪应明》∵ᵃᵃ=ᵃᵄ，ᵃᵄ=ᵃᵄ，∴∠ᵃᵃᵄ=∠ᵃᵄᵃ，∠ᵃᵃᵄ=∠ᵄᵃᵃ，∴∠ᵃᵃᵄ=∠ᵃᵃᵄ，∠ᵃᵄᵃ=∠ᵄᵃᵃ，∴△ᵃᵃᵄ∽△ᵄᵃᵃ，∴ᵄᵃ=ᵃᵃ，ᵃᵃᵃᵄ∴ᵄᵃ2=ᵃᵃ⋅ᵃᵃ，∴ᵄᵃ2=ᵃᵃ⋅ᵃᵃ=ᵃᵄ⋅ᵃᵃ．(2)如图，连接ᵃᵃ，ᵃᵃ，ᵃᵄ，作∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ，交ᵃᵃ于点ᵃ，∵ᵃᵄ=ᵃᵄ，∴∠ᵄᵃᵃ=∠ᵄᵃᵃ，∴∠ᵃᵄᵃ=2∠ᵄᵃᵃ=∠ᵃᵃᵄ，∵∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ=45∘=∠ᵃᵃᵄ+∠ᵄᵃᵃ=3∠ᵄᵃᵃ，∴∠ᵄᵃᵃ=15∘=∠ᵄᵃᵃ，∵∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ=15∘，∴ᵃᵃ=ᵃᵃ，∠ᵃᵃᵃ=30∘，∵ᵃᵃ是直径，∴∠ᵃᵃᵃ=90∘，∴ᵃᵃ=2ᵃᵃ，ᵃᵃ=√3ᵃᵃ，∴ᵃᵃ=ᵃᵃ+ᵃᵃ=√3ᵃᵃ+2ᵃᵃ，∴tan∠ᵃᵃᵃ=tan∠ᵃᵃᵃ=ᵃᵃ=1=2−√3．ᵃᵃ2+√322.【答案】(1)设商家一次性购买这种产品ᵆ件时，销售单价恰好为2800元，根据题意得：3200−5(ᵆ−10)=2800,解得ᵆ=90.答：商家一次性购买这种产品90件时，销售单价怡好为2800元．(2)由题意得：当0≤ᵆ≤10时，ᵆ=(3200−2500)ᵆ=700ᵆ，当10<ᵆ≤90时，ᵆ=[3200−5(ᵆ−10)−2500]⋅ᵆ=−5ᵆ2+750ᵆ，当ᵆ>90时，ᵆ=(2800−2500)⋅ᵆ=300ᵆ．(3)因为要满足一次性购买数量越多，所获利润最大，所以ᵆ随ᵆ的增大而增大，函数ᵆ=700ᵆ，ᵆ=300ᵆ均是ᵆ随ᵆ的增大而增大，而ᵆ=−5ᵆ2+750ᵆ=−5(ᵆ−75)2+28125在10<ᵆ≤75时，ᵆ随ᵆ的增大而增大．由上述分析可知ᵆ的取值范围为10<ᵆ≤75，即一次购买75件时，恰好是最低价，最低价为3200−5×(75−10)=2875(元)．答：公司应将最低销售单价调整为2875元．良辰美景奈何天，便赏心乐事谁家院。则为你如花美眷，似水流年。——《汤显祖》常将有日思无日，莫待无时思有时。——《增广贤文》23.【答案】(1)∵∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ=90∘，∴∠ᵃᵃᵃ+∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ+∠ᵃᵃᵃ，∴∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ，∵ᵃᵃ=ᵃᵃ，ᵃᵃᵃᵃ∴ᵃᵃ=ᵃᵃ，ᵃᵃᵃᵃ∴△ᵃᵃᵃ∽△ᵃᵃᵃ，∴∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ，∴∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ=90∘，∴ᵃᵃ⊥ᵃᵃ．(2)延长ᵃᵃ，使得ᵃᵃ=√2ᵃᵃ，连接ᵃᵄ，∵tanᵃ=ᵃᵃ=√2，ᵃᵃ2∴ᵃᵃ=√2ᵃᵃ，∵ᵃᵄ=√2ᵃᵃ，∴ᵃᵃ=ᵃᵄ，ᵃᵃᵃᵃ∴ᵃᵃ=ᵃᵃ，ᵃᵄᵃᵃ∵∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵄ=90∘，∴△ᵃᵃᵃ∽△ᵃᵃᵄ，∴∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵄ，ᵃᵃ=ᵃᵃ，ᵃᵃᵃᵄ∴∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵄ，∵ᵃᵃ=ᵃᵃ，ᵃᵃᵃᵄ∴△ᵃᵃᵃ∽△ᵃᵃᵄ，∴ᵃᵃ=ᵃᵃ，ᵃᵄᵃᵃ∵tanᵃ=ᵃᵃ=√2，ᵃᵃ2∴sinᵃ=ᵃᵃ=1，ᵃᵃ√3∴ᵃᵃ=1，ᵃᵄ√3∵ᵃᵃ=√5，∴ᵃᵄ=√15，∴√2ᵃᵃ−ᵃᵃ=ᵃᵄ−ᵃᵃ=ᵃᵄ=√15．(3)2√2勿以恶小而为之，勿以善小而不为。——刘备万两黄金容易得，知心一个也难求。——《曹雪芹》【解析】(3)∵ᵃᵃ⊥ᵃᵃ，∴∠ᵃᵃᵃ=90∘，∴∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ=90∘，∴点ᵃ一定在△ᵃᵃᵃ的外接圆上，△ᵃᵃᵃ的外接圆是以ᵃᵃ为直径的圆，∵△ᵃᵃᵃ绕点ᵃ旋转，∴点ᵃ一定在以ᵃ为圆心，ᵃᵃ为半径的圆ᵃ上，当ᵃᵃ与⊙ᵃ相切时，ᵃᵃ取得最大值，∵ᵃᵃ=1，∴ᵃᵃ=√3，∴tanᵃ=ᵃᵃ=√2，ᵃᵃ2∴ᵃᵃ=√6，∴ᵃᵃ=√2，当ᵃᵃ取得最大值时，四边形ᵃᵃᵃᵃ是矩形，ᵃᵃ=ᵃᵃ=√2，ᵃᵃ=√ᵃᵃ2−ᵃᵃ2=√2，=ᵃᵃ+ᵃᵃ=2√2．∴ᵃᵃmax24.【答案】(1)∵ᵄᵃ=ᵄᵃ，∴点ᵃ(3,0)，则抛物线的表达式为：ᵆ=ᵄ(ᵆ+1)(ᵆ−3)=ᵄ(ᵆ2−2ᵆ−3)=ᵄᵆ2−2ᵄᵆ−3ᵄ，故−3ᵄ=3，解得ᵄ=−1，故抛物线的表达式为：ᵆ=−ᵆ2+2ᵆ+3 ⋯⋯①，对称轴为：直线ᵆ=1．(2)ᵃᵃᵃᵃ的周长=ᵃᵃ+ᵃᵃ+ᵃᵃ+ᵃᵃ，其中ᵃᵃ=√10，ᵃᵃ=1是常数，故ᵃᵃ+ᵃᵃ最小时，周长最小，取点ᵃ关于函数对称点ᵃʹ(2,3)，则ᵃᵃ=ᵃʹᵃ，取点ᵃʹ(−1,1)，则ᵃʹᵃ=ᵃᵃ，故：ᵃᵃ+ᵃᵃ=ᵃʹᵃ+ᵃᵃʹ，则当ᵃʹ，ᵃ，ᵃʹ三点共线时，ᵃᵃ+ᵃᵃ=ᵃʹᵃ+ᵃᵃʹ最小，周长也最小，其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。——《论语》我尽一杯，与君发三愿：一愿世清平，二愿身强健，三愿临老头，数与君相见。——《白居易》四边形ᵃᵃᵃᵃ的周长的最小值=ᵃᵃ+ᵃᵃ+ᵃᵃ+ᵃᵃ=10+1+ᵃʹᵃ+ᵃᵃʹ√=√10+1+ᵃʹᵃʹ=√10+1+√13.(3)如图，设直线ᵃᵄ交ᵆ轴于点ᵃ，直线ᵃᵄ把四边形ᵃᵃᵄᵃ的面积分为3:5两部分，又:ᵄ∵ᵄ△ᵄᵃᵃ△ᵄᵃᵃ=1ᵃᵃ×(ᵆ−ᵆ):1ᵃᵃ×(ᵆ−ᵆ)2ᵃᵄ2ᵃᵄ=ᵃᵃ:ᵃᵃ,则ᵃᵃ:ᵃᵃ=3:5或5:3，则ᵃᵃ=5或3，22即：点ᵃ的坐标为(3,0)或(1,0)，22将点ᵃ，ᵃ的坐标代入一次函数表达式：ᵆ=ᵅᵆ+3，解得：ᵅ=−6或−2，故直线ᵃᵄ的表达式为：ᵆ=−2ᵆ+3或ᵆ=−6ᵆ+3 ⋯⋯②，联立①②并解得：ᵆ=4或8（不合题意已舍去），故点ᵄ的坐标为(4,−5)或(8,−45)．其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。——《论语》