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上册数学期末专题六 作图专题一、五个基本尺规作图1．作一条线段等于已知线段．已知：线段a.求作：线段AB，使AB＝a.解：作法：(1)作射线AC；(2)在射线AC上截取AB＝a，则线段AB就是所要求作的线段．2．作一个角等于已知角．已知：∠α.求作：∠ECF，使∠ECF＝∠α.解：作法：画射线CF；再以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于E、D；以C为圆心，OD长为半径；然后再以N为圆心，ED长为半径画弧，交前弧于M，过M作射线AE可得∠ECF.如图所示：∠ECF即为所求．3．作一个角的平分线．已知：∠AOB.求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC.解：作法：①以O为圆心，适当长为半径画弧交OA于点M，交OB于点N(如图);②分别以M、N为圆心，都以不小于MN长为半径画弧，两弧交于点C；③作射线OC.则射线OC就是∠AOB的平分线．4．作一条线段的垂直平分线．已知：线段AB.求作：线段AB的垂直平分线MN.解：作法如下：如图，(1)分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于M、N两点；(2)作直线MN.直线MN就是所求作的垂直平分线．5．过一点作已知直线的垂线．(1)已知：直线l与直线外一点A.求作：直线AB，使AB⊥l于B.解：作法：如图：①在直线l上任取两点M、N；②分别以点M、N为圆心，MA，NA长为半径画弧，两弧相交于点Q③连接AQ，交直线l于B.则直线AB就是所求作的直线．(2)已知：直线l与直线l上一点A.求作：直线AB，使AB⊥l于A.(2)解：作法：如图：①以A为圆心，适当长为半径画弧，交l于M、N两点；②分别以M、N为为圆心，以大于MN长为半径画弧，两弧分别相交于P、B两点；③连接AB，则直线AB就是所要求作的．二、作角平分线及综合6．如图，在直线a上找出点P，使得点P到OA和OB的距离相等．作法：作∠AOB的平分线，交直线a于点P，则点P就是所要求作的点．7．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝60°.(1)用尺规作出∠BAC的平分线交BC于点D.(2)求∠ADC的度数．解：(1)如图(2)∵∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－50°－60°＝70°∴∠DAC＝∠BAC＝×70°＝35°∴∠ADC＝180°－∠DAC－∠C＝180°－35°－60°＝85°.8．已知△ABC，AB＝AC，∠A＝36°.(1)用尺规作∠ABC的平分线交AC于点D.(2)证明△BCD是等腰三角形．(1)解：如图所示，BD即为所求；(2)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.∵∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－36°)÷2＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠BDC＝36°＋36°＝72°＝∠C.∴BD＝BC，∴△DBC是等腰三角形．三、作垂直平分线及综合9．如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N是位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等？请画图
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．解：(1)连接MN；(2)作线段MN的垂直平分线l，交直线AB于C点，则C点即为所求．10．如图，A，B，C三点
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示三个村庄，为了解决村民子女就近入学的问题，
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，要使学校到三个村庄距离相等，请你在图中确定学校的位置．解：如图，作出AB和BC的中垂线，相交于点P，则点P是所求的到三村距离相等的点11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°.(1)用尺规作出AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F.(2)若BF＝3，求CF的长度．解：(1)如图所示：(2)连接AF.∵AB＝AC，∠BAC＝120°∴∠B＝∠C＝(180°－120°)＝30°又由(1)知BF＝AF∴∠FAB＝∠B＝30°∴∠FAC＝120°－30°＝90°∴CF＝2AF＝2BF＝2×3＝612.如图，已知甲村和乙村靠近公路a，b，为了发展经济，甲、乙两村准备合建一个工厂，经协商，工厂必须满足以下要求：(1)到两村的距离相等；(2)到两条公路的距离相等．你能帮忙确定工厂的位置吗？解：设a、b相交于点O.甲村为点E，乙村为点D.①以O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于直线a、b于点A、B；②分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点C，连接OC；③连接ED，分别以E、D为圆心，以大于ED长为半径画弧，两弧交于F、G两点，连接FG；④FG与OC相交于点H，则H即为工厂位置．四、网格作图13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(0，1)，B(3，2)，C(1，4)均在正方形网格的格点上．(1)画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；(2)将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位长度后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．解：(1)如图所示：△A1B1C1即为所求；(2)如图所示：△A2B2C2即为所求，点A2(－3，－1)，B2(0，－2)，C2(－2，－4)．14．在3×3的正方形网格图中，有格点三角形ABC和格点三角形DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称(A，B，C的对称点依次分别是D，E，F)，请在图中画出三个这样的△DEF.解：如图15.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(2，3)，B(3，1)，C(－2，－2)．(1)请在图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△A′B′C′(A，B，C的对称点分别是A′，B′，C′)，并直接写出A′，B′，C′的坐标．(2)求△A′B′C′的面积．解：(1)如图所示，点A′(－2，3)，B′(－3，1)，C′(2，－2)；(2)用大正方形面积减去三个直角三角形面积，S△A′B′C′＝25－＝6.5.16．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE.(1)在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点；(2)请直接写出△AEF与四边形ABCD的重叠部分的面积．解：(1)△AEF如图所示：(2)重叠部分的面积＝×4×4－×2×2＝8－2＝6.五、最短路径问题17．如图，小红要从一间房的A点出发到河岸打水后再送到另一间房的B点，请通过作图替小红找出最短的路径．画出小红走的路线．解：作点A关于河岸的对称点A′，连接A′B，交河岸于点O，则点O就是小红取水点，此时小红走的路线A→O→B就是最短路线．18．如图，E，F分别是△ABC的边AB，AC上的两定点，在BC上求一点M，使△MEF的周长最短．解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′F，交BC于点M，则M就是所求的点．谢谢！
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