电感理论计算

第三章片上螺旋电感的RLC模型片上电感的电感值随频率变化特性可以分为三个区域[56]，工作区域（Ⅰ）、自激荡前后区域（Ⅱ）、自激荡之后区域（Ⅲ），如图3.1所示。区域（Ⅰ）是片上电感真正工作区域，在该区域电感的L值基本保持不变。在区域（Ⅱ），电感的L值由正值变为零（第一自激荡点），再变为负值。实际上，在第一自激荡频率之上，片上电感已经 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 现为电容了。区域（Ⅲ）就是电感的容性区域，该区域电感的品质因子为零。片上电感的区域（Ⅱ）的L值不稳定和确定第一自激荡频率较困难使得其应用受到很大的限制。为了清楚地了解片上电感在区域（Ⅰ）和（Ⅱ）的特性（品质因子、串联电感值、第一自激荡频率等），许多人提出了各种各样的电感模型。而在设计电路时，用电磁场仿真工具能准确模拟RF频段片上电感的性能。但是这些工具仿真时间长、运算效率低，不利于电路设计和性能优化。为图3.1片上电感的L值随频率变化的特性（低阻硅衬底）了简化模拟、缩短电路设计周期，片上电感的RLC集总电路建模成为国内外研究的热点。3.1电感模型参量计算片上电感常常采用一端口形式或两端口形式应用于射频IC，因而片上电感（a）（b）图3.2传统的单π电路结构：（a）物理模型；（b）等效电路图0的集总模型也相应有两类：一端口和两端口模型。一端口应用时，片上电感一端接地，一端接入电路；两端口应用时，电感两端都不接地而接入电路中。两端口模型的一端接地便转化为一端口模型。图3.2中是片上电感的最常用的两端口单π物理模型[43]。该两端口π模型是由片上电感的寄生电容和电阻组成的串联和并联支路所构成。串联支路由电感自身的物理量组成，模型参数中Ls表示片上电感的电感量，Rs表示电感的串联电阻，Cs表示电感线圈内部间的边缘电容。两条对称的并联支路由衬底的寄生参量构成，模拟了衬底的损耗。Cis表示电感和衬底间的耦合电容，Csub和Rsub分别表示衬底的电阻和电容。该模型能模拟电感导体的趋肤效应和衬底的损耗。通过计算模型中各参量的值，可以准确模拟分析不同频段电感的性能。具体的参量计算如下。3.1.1电感值Ls片上电感的电感值L参数与多项结构参数（如外径、线宽、线间距等）和工艺参数（金属材料、膜厚等）有关，如增加圈数N或内径Din和降低线宽W或间距S可使电感值增大，且电感值与N和Din密切相关。因而很难由已知结构参数精确获得电感值，或由设计的电感值直接获得版图参数。这使得集成电路的设计精确度、难度和周期大大增加。目前有许多种算法来计算片上电感的电感值，如Greenhouse算法、Jenei算法和一些简化的Wheeler公式、电流近似公式和数值拟和公式等。本文针对其中的几种算法进行比较。一、Greenhouse算法[1]1974年，Greenhouse基于经典的Grover分立电感算法，提出了一种考虑互感的精确算法计算片上电感的电感值。该算法分别计算每段电感的自感值Lself和互感值M，将两者叠加后获得总的电感值Ltotal。1、自感的计算常规直导体的自感计算公式为[1]：2lAMDTL0.002l[ln1.25]（3.1）0GMDl4其中L是电感值（uH），l是导体长度（cm），u是导体磁导率。T是频率修正因子，对于不同频率的值参见[1]。GMD是导体截面的几何平均间距，计算一条导体时，GMD是两条虚拟线段间的距离，虚拟线段间的互感与实际导体的自感相同。AMD是导体截面的算术平均间距，计算一条导体时，AMD是该导体截面周边上所有点间的平均距离。导体截面不同，T、GMD和AMD值也不同[1]。对于截面为长方形的薄膜导体，即厚度t→0,T≈1（在近似直流频率时）1GMD=0.22313(w+t)AMD≈w/3根据上述条件，片上电感每段导体的自感可由下面简化公式计算，2lwtL0.002l(ln0.50049)（3.2）0wt3l迭代后。LselfL0(3.3)2、互感的计算在计算大尺寸分立电感时，负互感相对于电感值是非常小的，因而可以忽略不计。当电路尺寸不断缩小至μm量级时，线段间的影响越来越大，负互感会占电感值的30％，因而不可忽略。Greenhouse在算法中引入了正、负互感量，电流方向相同的两导体间互感为正值，而电流方向相反的导体间互感为负值。计算所有导体段的互感后，叠加获得总互感M。MMM(3.4)M,M2lQ(3.5)ll2GMD2GMD（）Qln12123.6GMDGMDll其中GMD是两条导体间的几何平均距离。计算两条导体时，GMD是指两条等效线段间的距离，等效线段的互感与实际两导体的互感相同。GMD近似为两导体的距离。精确的GMD公式见[1]。则片上电感的总电感值为：LtotalLselfM。（3.7）Greenhouse算法将每圈电感分为四段导线，分别计算每段导线的自感和正负互感后叠加获得总电感值。该算法较为精确，但非常烦琐、效率不高，设计人员不能从电感的版图参数直接获得电感值。且随着电感圈数的增加，算法的运算时间会成指数增加，不便于实际的设计应用。二、三种闭合公式算法[42]为了简化电感值计算，1999年Standford大学提出了改进的Wheeler公式、电流近似公式和数值拟和公式来计算片上电感。利用这三个闭合公式可从电感的结构参数直接算出电感值。1、改进的Wheeler公式Wheeler提出了多个计算平面分立电感的公式[42]，经过修正，S.Mohan提出了基于Wheeler公式的片上电感算法。该算法根据电感结构的内外径比例，考虑了正、负互感。2ndavgLK10(3.8)1K22ddoutin（3.9）doutdindavgdoutdin2（3.10）其中K1、K2是电感结构因子，见表3.1[42]。表3.1不同电感的结构因子电感结构K1K2方形2.342.75六边形2.333.82八边形2.253.552、电流近似公式片上电感的整体结构对称，因而电磁场理论分析平行线段的电流分布具有均匀和对称性，而相邻垂直的线段电流垂直分布。由于垂直线段间的互感为零，所以只需计算自感和平行线段间的互感。最后获得的公式为20ndavgc1c22L(lnc3c4)2（3.11）[42]其中ci是电感结构因子，见表3.2。当s<3w时，该公式误差在8％内。但当s/w增大时，此算法误差较大。表3.2不同电感结构因子电感结构c1c2c3c4方形1.272.070.180.13六边形1.092.230.000.17八边形1.072.290.000.19圆形1.002.460.000.203、数值拟合公式此算法基于数值拟和方法，计算电感的各项版图参数对其电感值的影响因子，并建立版图参数与电感值的MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1716980717121_1式。适用于固定的电感模型库。12345Ldoutwdavgns（3.12）[38]其中β、αi为电感结构因子，见表3.3。表3.3不同电感结构因子电感结构βα1α2α3α4α5方形1.62•10-3-1.21-0.1472.401.78-0.030六边形1.28•10-3-1.24-0.1742.471.77-0.049八边形1.33•10-3-1.21-0.1632.431.75-0.0493上述三个公式适用于计算近直流时，0.5nH～100nH的片上电感，版图参数范围为Dout＝100μm～480μm，w＝2μm～0.3Dout，s=2μm~3μm，Din＝（0.1～0.9）Dout。在此范围内80%的电感，用这三种算法计算误差在8%以内[42]。算法比较精确，而且简便高效，设计人员可以从电感的版图参数直接估算出电感值。但算法只能计算线宽和间距为常数的结构且版图参数在一定范围内的片上电感，算法适用的电感范围有限，不够灵活。三、分圈迭代逼近算法分圈迭代逼近算法是基于版图工艺参数，能精确快速双向计算各种不规则形状、线宽和间距变化的片上电感的电感值和版图参数。本算法针对不同几何结构（如四边形、八边形、六边形和圆形），结合不同工艺参数，采用分圈迭代平均算法计算自感值，用整体平均算法计算互感值，可以实现对金属导体线宽和间距变化的不规则电感L值的计算。1、自感分圈算法片上电感的总电感值L应由自感Lself和互感M两部分组成：LLselfM（3.13）其中每段导体的自感值为[1]：2lwt（）L00.002lln0.500493.14wt3l以每圈电感为单位，先计算每圈电感的总长lquan(i)，再求出每段电感的平均长度。然后利用公式（3.12）求出每圈电感自感值Lquan(i)。这样以圈为单位，也适合每圈线宽、间距不同的电感。具体如下：Niwwwwii112（）lquan(1)3.5din7sis13.15i122Niwwwwwwii1ii1ii1（）lquan(i)4din8sisisi13.16i2222wwdindoutw2ii1s（3.17）1i2liquan（）Lquan(i)2lquanln0.23.18nwt最后迭代求出总自感值Lself：Ni（）LselfLquan(i)3.19i12、互感整体平均算法互感值为正互感M+与负互感M－的和：4MMM（3.20）M,M2lQ（3.21）ll2GMD2GMD（）Qln12123.22GMDGMDll公式（3.21）、（3.22）中l是导线段的长度，GMD可近似为每段导体的平均长度ltotal/4n。在求互感时，采用整体平均算法[37]，求出电感导线总长度后，直接计算正负互感。并利用本电感结构的对称性，作了以下近似:电流方向相反的平行导线段间的相互作用因子为2n2负互感作用的导线段间平均距离GMD为导线长度lNin为整数时，ltotallquan1lquani0.5dinwNisNi（3.23）Nii2不为整数时，（）nltotallquan1lquani2.5dinwNisNi3.24i2根据公式（3.21），lM22n2(0total0.467)0.4670nl（3.25）24n2total22ll4nd4ndtotaltotal（3.26）M2ltotaln1ln114nd4ndlltotaltotal3n2Ni1Ni1dws[37]（3.27）32nNi1d为电流方向相同的平行导线间平均距离。从公式上比较三种电感值的算法，Greenhouse分段算法的效率最低，Jenei算法的精度最差，而分圈迭代逼近算法在效率和精度上介于两者之间，且能结合实际的工艺参数，根据相对方形电感周长，实现任意不规则外形片上电感值的运算和线宽间距变化的电感值计算。而Jenei和Standford等算法只能计算线宽间距不变的片上电感。HFSS是业界公认精度很高的电磁场三维仿真软件，因而在确定分圈迭代逼近算法的精度时以它的仿真结果LHfss为基准，同时比较Wheeler公式计算值LWheeler（Wheeler算法是三种闭合公式中精度较高的），以及与测试值比较。表3.4是用不同方法计算获得相应的电感值及其误差，其中Q1～Q4表示同一结构参数（外径Dout=400μm，线宽w=20μm，间距s=10μm，厚度t=1μm）的电感，但圈数分别为2.5、3.5、4.5和5.5；表中的e1、e2和e3分别为：5LWheelerLHfssL分圈算法LHfssL分圈算法Lmeae1、e2和e3。LHfssLHfssLmea总体而言，分圈迭代逼近算法的误差在5.5%以内，比Wheeler算法的误差小；而且与测试值的比较，误差也很小，在6.5％以内。表3.4分圈迭代算法与Wheeler算法及测试值的比较LLL分圈算法LmeaeeeHfssWheeler123(nH)（nH）（nH）（nH）(％)(％)(％)Q13.764.0153.743.8446.80.52.6Q25.65.9185.375.4085.74.16.5Q36.837.2786.496.5736.44.91.2Q47.377.9546.967.2257.95.53.63.1.2串联电阻RsRs是电感串联等效电阻。在高频时，由于金属导体存在趋肤效应，电流趋于导体表面，线圈的电阻值会随频率变化。具体的计算公式如下。l（）Rst3.28w(1e)（3.29）f其中δ是金属导体的趋肤深度。ω和f分别为电感的工作角频率和频率。3.1.3电容CsCs由线圈和线圈间的电容Cadj、电感层与终端引出层的电容Cunderpass组成。由于一个电感线圈上的每点电势几乎相等，所以Cadj很小，可以忽略。而下层终端引出结点与上层金属之间的电势差较大，所以Cunderpass可以近似电容Cs。221CsCunderpass(n－1)w（3.30）t21其中ε21、t21分别为电感层和终端引出层间介质的介电常数、厚度。3.1.4衬底层寄生参数1Cislwis（3.31）2tis61Csublwc（3.32）2sub2Rsub（3.33）lwgsubCis模拟电感层与衬底层由于绝缘介质的存在而形成的电场，Csi、Rsi模拟高频时硅衬底的电容、电阻特性。其中csub、gsub是硅衬底的单位电容、电导，它们的值可由测量数据获得。εis、tis是电感层与衬底层间绝缘介质的介电常数、厚度。这些寄生参数会限制电感的品质因子和自谐振频率。3.2电感RLC模型分析根据第二章中的分析，片上电感最重要的参数是品质因子Q值、自谐振频率fSR和面积。品质因子Q和自谐振频率fSR能通过对模型参量的计算，得出定量的分析，而电感面积则受到电路性能的制约，很难进行定量分析。3.2.1电感的主要性能指标计算一、品质因子Q值品质因子Q值表征电感的能量损耗情况，是衡量电感性能的重要标志。从上述模型计算Q值时，将两端口模型接地并将Csi、Rsi和Cox分别用等效容抗Cp和阻抗Rp来代替，如图3.3所示，Ls、Rs和Cs保持不变。这样的简化模型便于Q的计算[27]。图3.3一端口接地的单π物理模型根据2.1.3节中Q值的定义式，片上电感的Q值为2磁场峰值能－电场峰值能Q＝（3.34）电感一个周期内的能量损耗电场峰值能和磁场峰值能分别由（3.35）、（3.36）式[7]决定：7V2CCE0SP（3.35）电场峰值2V2LE0S（）磁场峰值223.362[(LS)RS]一个信号周期内的能量损耗为：2V01RSE一周期内的能量损耗（3.37）2R22PLSRS1R(CC)其中，siissi（）RP2223.38CisRsiCis12(CC)CR2issisisi（）CPCis2223.391(CisCsi)RsiV0为通过电感端口的峰值电压。将（3.35）式、（3.36）式和（3.37）式代入（3.34）式可得LsRpRs2CsCpQ12LsCsCp（3.40）2RsRpLs1RsLsRs公式（3.40）表明Q值由等式右边的三项因子决定，其中：第一项表征存储的磁场能和电感线圈本身串联电阻上的能量损耗；第二项表征衬底损耗因子，即在半导体衬底上的能量损耗；第三项表征自谐振因子，描述了峰值电场能随频率上升而造成Q值的下降。从公式（3.40）衬底损耗因子分析，当RP趋于无穷大时，该因子为1。即当RSi趋于无穷大或者零时，衬底损耗最小。因此，插入金属接地屏蔽或采用高阻衬底都能降低衬底损耗。二、自谐振频率fSR当Q值为0时，电感达到其自谐振频率，即公式（3.40）为零时，可求出fSR。12RS(CSCP)fSR（3.41）2LS在自谐振频率时的Q值为零，当频率超过自谐振频率时，电感无静磁场能输出，此时已经表现为容性。因而，电感应用时，电路工作频率应在电感的自谐振频率范围。85.2高频在片测试系统及原理本文所涉及的片上电感的测试频段在100MHz－10GHz范围内。而在高频微波频段（模拟信号一般为300MHz－3000GHz），即当信号的波长与电路分立元件的几何尺寸相比拟时，电流、电压不再保持空间不变，必须把它们看作传输的电磁波。而基尔霍夫电压和电流定律都没有考虑这些空间变化，因此分析片上电感与滤波器的特性应采用特殊的高频测试系统及理论。本节主要概述了高频在片测试方法和片上电感的测试参数提取方法。5.2.1高频在片测试原理实际射频系统的特性不能再采用终端开路、短路的测量方法，即在低频应用中经常采用的测量电流、电压的方法。因为当采用短路法时，导线本身存在电感，而且其电感量在高频时非常大；而采用开路法时，会在终端形成负载电容。在这两种情况下，用于确定Z参量、Y参量、h参量以及ABCD参量所必需的开路和短路条件都不再严格成立。此外，高频时电信号涉及电波传播现象，由终端的不连续将导致有害的电压和电流波反射，并可能产生造成器件损坏的振荡。利用散射参数S，可以在避开不现实的终端条件以及避免造成待测器件（DUT）损坏的前提下，用两端口网络的分析方法确定射频器件几乎所有的特性。S参量表达的是电压波，它使我们可以用入射电压波和反射电压的方式定义网络的输入、输出关系。图5.3是S参数的两端口网络图。其中a1和a2是归一化的入射波，b1和b2是归一化的反射波。S11和S22是输入和输出端口的反射系数，S21和S12是正向传输和反向传输系数。aab1s11a1s12a2（5.1）12S参数b2s21a1s22a2（5.2）两端口b1s11a20（5.3）bba1网络12图5.3S参数的两端口网络b2s22a10（5.4）a29b2s21a20（5.5）a1b1s12a10（5.6）a2采用S参数在片测试方法，测量片上电感和滤波器的高频性能，能使由导线和测试仪器引入的寄生效应最小，从而降低误差。配合此测试方法，在设计片上电感版图结构时，同时设计微探针的压测点和传输线地线（GSG－PAD），从而构成DUT图形，GSG－PAD的阻抗设计成50Ω。并设计一些由压测点和地线组成的各种与DUT相应的去嵌入图形，以便分析获得电感的精确测试参数。5.2.2在片测试系统片上电感的在片测试系统由AgilentPNAE8363B矢量网络分析仪（45MHz－40GHz）、CascadeMicrotechSummit110113微波探针台组成。该高频在片测试系统可测试S参数，工作频率为100MHz—10GHz。具体测试系统如图5.4所示。图5.4在片测试系统照片微波探针台是美国CascadeMicrotech公司生产的，工作频率可达40GHz，能测试6和8寸圆片，系统控制温度在-65℃—400℃。探针台配有间距不同的GSG微探针，间距分别为100μm、150μm和250μm。网络分析仪与微探针通过10电缆连接，被测件平放在探针台的圆盘中央，由计算机控制圆盘的移动。两对探针分别压在被测件的片上输入和输出端，当探针和压测点接触紧密时，网络分析仪上就可以显示被测器件的S参数曲线。在S参数测试前，必须高频校准从而去除所有由电缆、接插件的寄生量。本文测试图5.5ISS 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 SLOT校准时，采用ISS标准进行开路－短路－负载－通路校准。如图5.5所示。5.3测试数据处理方法表征片上电感性能的主要参数为电感值L、串联电阻Rs、品质因子Q值。而在片测试的数据为片上电感和探针压测点的S参数，必须经过去嵌入和参数提取后，才能获得L和Q值。5.3.1S参数的去嵌入用上述测试系统，测试开路PAD和DUT的S参数（如图5.6所示），并从DUT中去除由探针和仪器引入的寄生效应，可以获得更准确的单电感的参数。去嵌入的方法有很多种，本文采用OPEN法。图5.6开路PAD和DUT11具体去嵌入的步骤为：（1）上述系统测试所存储的数据 格式 pdf格式笔记格式下载页码格式下载公文格式下载简报格式下载 为Touchstone格式，即以实部和虚部形式存储S参数，具体的数据格式顺序为f（Hz）、S11（RI）、S21（RI）、S12（RI）、S22（RI）。将S参数转换为Y参数，见公式5.7－5.10。1(1s11)(1s22)s12s21y11（5.7）Z0(1s11)(1s22)s12s211s12y12（5.8）Z0(1s11)(1s22)s12s211s21y21（5.9）Z0(1s11)(1s22)s12s211(1s11)(1s22)s12s21y22（5.10）Z0(1s11)(1s22)s12s21（2）将开路PAD和DUT的Y参数进行去嵌入运算，见公式5.11。YDEEMBEDYDUTYPAD（5.11）（3）将去嵌入后的Y参数转化为S参数，最后获得去嵌入的S参数。(1yz)(1yz)yyz211022012210（）s1125.12(1y11z0)(1y22z0)y12y21z02yz120（）s1225.13(1y11z0)(1y22z0)y12y21z02yz210（）s2125.14(1y11z0)(1y22z0)y12y21z0(1yz)(1yz)yyz211022012210（）s2225.15(1y11z0)(1y22z0)y12y21z05.3.2测试参数提取对于滤波器，去嵌入的S21曲线就能表征其滤波性能。而对于单电感，必须对去嵌入的Y参数进行计算从中提取电感的L、Rs和Q值，才能分析单电感的12性能。见公式5.16－5.18。11LIm（5.16）wY121RsReal()（5.17）Y12Im(Y)Q11（5.18）Re(Y11)13