第一章多元正态分布课件

第一章多元正态分布目录上页下页返回结束§1.1多元分布的基本概念§1.2统计距离和马氏距离§1.3多元正态分布§1.4均值向量和协方差阵的估计§1.5常用分布及抽样分布第一章多元正态分布一元正态分布在统计学的理论和实际应用中都有着重要的地位。同样，在多变量统计学中，多元正态分布也占有相当重要的位置。原因是：许多随机向量确实遵从正态分布，或近似遵从正态分布；对于多元正态分布，已有一整套统计推断方法，并且得到了许多完整的结果。目录上页下页返回结束第一章多元正态分布多元正态分布是最常用的一种多元概率分布。除此之外，还有多元对数正态分布，多项式分布，多元超几何分布，多元分布、多元分布、多元指数分布等。本章从多维变量及多元分布的基本概念开始，着重介绍多元正态分布的定义及一些重要性质。目录上页下页返回结束§1.1多元分布的基本概念目录上页下页返回结束§1.1.1随机向量§1.1.2分布函数与密度函数§1.1.3多元变量的独立性§1.1.4随机向量的数字特征横看表1-1，记，它表示第个样品的观测值。竖看表1-1,第列的元素表示对第个变量的n次观测数值。下面为表1-1…n…2…1…变量序号目录上页下页返回结束§1.1.1随机向量因此,样本资料矩阵可用矩阵语言表示为:定义1.1设为个随机变量，由它们组成的向量称为随机向量。目录上页下页返回结束§1.1.1随机向量若无特别说明，本书所称向量均指列向量§1.1.2分布函数与密度函数目录上页下页返回结束定义1.3：设=,若存在一个非负的函数,使得对一切成立，则称（或）有分布密度并称为连续型随机向量。一个维变量的函数能作为中某个随机向量的分布密度，当且仅当§1.1.3多元变量的独立性目录上页下页返回结束对一切成立。若为的联合分布函数，分别为和的分布函数，则与独立当且仅当（1.4）定义1.4：两个随机向量和称为是相互独立的，若注意:在上述定义中，和的维数一般是不同的。若有密度，用分别表示和的分布密度，则和独立当且仅当(1.5)§1.1.4随机向量的数字特征是一个维向量，称为均值向量.目录上页下页返回结束当为常数矩阵时，由定义可立即推出如下性质：1、随机向量的均值设有个分量。若存在，定义随机向量的均值为)(ûëûëéPPm)()6.1)()((2121μX=úúúúùêêêêé=úúúúùêêêê=XEXEXEEmm§1.1.4随机向量的数字特征目录上页下页返回结束2、随机向量自协方差阵称它为维随机向量的协方差阵，简称为的协方差阵。称为的广义方差，它是协差阵的行列式之值。目录上页下页返回结束§1.1.4随机向量的数字特征3、随机向量X和Y的协差阵设分别为维和维随机向量，它们之间的协方差阵定义为一个矩阵，其元素是，即当A、B为常数矩阵时，由定义可推出协差阵有如下性质：目录上页下页返回结束§1.1.4随机向量的数字特征（3）设X为维随机向量，期望和协方差存在记则对于任何随机向量来说，其协差阵∑都是对称阵，同时总是非负定（也称半正定）的。大多数情形下是正定的。在数据处理时，为了克服由于指标的量纲不同对统计分析结果带来的影响，往往在使用某种统计分析方法之前，常需将每个指标“标准化”，即做如下变换目录上页下页返回结束§1.1.4随机向量的数字特征中国人民大学六西格玛质量管理研究中心随机向量数字特征的例子中国人民大学六西格玛质量管理研究中心例1-1请注意：样本资料阵在形式上与在MINITAB软件中的工作表是完全一致的，工作表的第i行表示第i个样品，工作表的第j列表示对第j个变量的观测值，变量名称常列在表头中国人民大学六西格玛质量管理研究中心样本均值向量的计算中国人民大学六西格玛质量管理研究中心样本协方差阵（也称为样本方差阵）的计算中国人民大学六西格玛质量管理研究中心样本协方差阵（也称为样本方差阵）的计算由于样本协方差阵是对称的，会话区窗口结果中只显示了协方差阵的下三角部分，所以整个样本协方差阵全部写出则应是：如果采用存储功能，则存储的样本协方差阵就是整个方阵而不是三角阵，这个矩阵对角线上的3个数74.6222、70.2222、34.9，分别是基础焊接技术（BWT），焊接技术提高（AWT）和焊接车间实践（PWW）三门课成绩的样本方差。样本离差阵等于样本协方差阵乘以n−1，所以例1-1样本离差阵就是中国人民大学六西格玛质量管理研究中心样本相关阵R计算：中国人民大学六西格玛质量管理研究中心样本相关阵R计算：由于样本相关阵是对称的，对角线上全是1，会话区窗口结果中只显示了扣除对角线后的下三角部分，所以整个样本相关阵全部写出则应是：如果采用存储功能，则存储的样本相关阵就是方阵而不是三角阵。§1.2统计距离和马氏距离欧氏距离在多指标统计分析中,距离的概念十分重要,样品间的不少特征都可用距离去描述。大部分多元方法是建立在简单的距离概念基础上的。即平时人们熟悉的欧氏距离,或称直线距离.如几何平面上的点p=(x1,x2)到原点O=(0,0)的欧氏距离,依勾股定理有目录上页下页返回结束§1.2统计距离和马氏距离但就大部分统计问题而言，欧氏距离是不能令人满意的。这里因为，每个坐标对欧氏距离的贡献是同等的。当坐标轴表示测量值时，它们往往带有大小不等的随机波动，在这种情况下，合理的 办法 鲁班奖评选办法下载鲁班奖评选办法下载鲁班奖评选办法下载企业年金办法下载企业年金办法下载 是对坐标加权，使得变化较大的坐标比变化小的坐标有较小的权系数，这就产生了各种距离。欧氏距离还有一个缺点，这就是当各个分量为不同性质的量时，“距离”的大小竟然与指标的单位有关。目录上页下页返回结束§1.2统计距离和马氏距离目录上页下页返回结束这时显然AB比CD要长。现在，如果用mm作单位，单位保持不变，此时A坐标为（0，50），C坐标为（0，100），则结果CD反而比AB长！这显然是不够合理的。§1.2统计距离和马氏距离目录上页下页返回结束因此，有必要建立一种距离，这种距离要能够体现各个变量在变差大小上的不同，以及有时存在着的相关性，还要求距离与各变量所用的单位无关。看来我们选择的距离要依赖于样本方差和协方差。因此，采用“统计距离”这个术语，以区别通常习惯用的欧氏距离。最常用的一种统计距离是印度统计学家马哈拉诺比斯（Mahalanobis）于1936年引入的距离，称为“马氏距离”。§1.2统计距离和马氏距离目录上页下页返回结束下面先用一个一维的例子说明欧氏距离与马氏距离在概率上的差异。设有两个一维正态总体。若有一个样品，其值在A处，A点距离哪个总体近些呢？由图1-2图1-2§1.2统计距离和马氏距离目录上页下页返回结束由图1-2可看出,从绝对长度来看,A点距左面总体G1近些,即A点到比A点到要“近一些”（这里用的是欧氏距离，比较的是A点坐标与到值之差的绝对值），但从概率观点来看，A点在右侧约4处，A点在的左侧约3处，若以标准差的观点来衡量，A点离比A点离要“近一些”。显然，后者是从概率角度上来考虑的，因而更为合理些，它是用坐标差平方除以方差（或说乘以方差的倒数），从而化为无量纲数，推广到多维就要乘以协方差阵∑的逆矩阵，这就是马氏距离的概念，以后将会看到，这一距离在多元分析中起着十分重要的作用。§1.2统计距离和马氏距离马氏距离设X、Y从均值向量为μ，协方差阵为∑的总体G中抽取的两个样品，定义X、Y两点之间的马氏距离为(1.21))()(),(1/2YXΣYXYX--=-dmXG(1.22))()(),(1/2μXΣμXX--=-Gdm的马氏距离为与总体定义目录上页下页返回结束§1.2统计距离和马氏距离设表示一个点集，表示距离，它是到的函数，可以证明,马氏距离符合如下距离的四条基本公理:；（1），（2）当且仅当；（3）（4）目录上页下页返回结束§1.3多元正态分布多元正态分布是一元正态分布的推广。迄今为止,多元分析的主要理论都是建立在多元正态总体基础上的,多元正态分布是多元分析的基础。另一方面，许多实际问题的分布常是多元正态分布或近似正态分布，或虽本身不是正态分布，但它的样本均值近似于多元正态分布。本节将介绍多元正态分布的定义，并简要给出它的基本性质。目录上页下页返回结束§1.3多元正态分布目录上页下页返回结束§1.3.1多元正态分布的定义§1.3.2多元正态分布的性质§1.3.3条件分布和独立性§1.3.1多元正态分布的定义|∑|为协差阵∑的行列式。目录上页下页返回结束定义1.5：若元随机向量的概率密度函数为：则称遵从元正态分布，也称X为元正态变量。记为定理1.1将正态分布的参数μ和∑赋于了明确的统计意义。有关这个定理的证明可参见文献[3]。多元正态分布不止定义1.5一种形式，更广泛地可采用特征函数来定义，也可用一切线性组合均为正态的性质来定义等，有关这些定义的方式参见文献[3]。目录上页下页返回结束§1.3.1多元正态分布的定义定理1.1：设则§1.3.2多元正态分布的性质目录上页下页返回结束1、如果正态随机向量的协方差阵∑是对角阵，则X的各分量是相互独立的随机变量。证明参见文献[4]，p.33。容易验证，，但显然不是正态分布。2、多元正态分布随机向量X的任何一个分量子集的分布（称为X的边缘分布）仍然遵从正态分布。而反之，若一个随机向量的任何边缘分布均为正态，并不能导出它是多元正态分布。例如，设有分布密度§1.3.2多元正态分布的性质目录上页下页返回结束3、多元正态向量的任意线性变换仍然遵从多元正态分布。即设，而维随机向量，其中是阶的常数矩阵，是维的常向量。则维随机向量也是正态的，且。即遵从元正态分布，其均值向量为，协差阵为。4、若，则若为定值，随着的变化其轨迹为一椭球面，是的密度函数的等值面.若给定，则为到的马氏距离。§1.3.3条件分布和独立性目录上页下页返回结束我们希望求给定的条件分布，即的分布。下一个定理指出：正态分布的条件分布仍为正态分布。设p≥2,将X、μ和Σ剖分如下：证明参见文献[3]。目录上页下页返回结束§1.3.3条件分布和独立性定理1.2：设，Σ>0，则(1.28)目录上页下页返回结束§1.3.3条件分布和独立性定理1.3：设，Σ>0，将X，μ，Σ剖分如下：则有如下的条件均值和条件协差阵的递推公式：(1.29)(1.30)其中，证明参见[3]目录上页下页返回结束§1.3.3条件分布和独立性服装标准例子定理1.2和定理1.3在20世纪70年代中期为国家标准部门制定服装标准时有成功的应用，见参考文献[3]。在制定服装标准时需抽样进行人体测量，现从某年龄段女子测量取出部分结果如下：X1：身高，X2：胸围，X3：腰围，X4：上体长，X5：臀围，已知它们遵从N5（μ，Σ），其中再利用（1.30）式得这说明,若已知一个人的上体的长和臀围,则身高、胸围和腰围的条件方差比原来的方差大大缩小。此时我们可看到在定理1.2中，我们给出了对X、μ和Σ作形如(1.25)式剖分时条件协差阵的表达式及其与非条件协差阵的关系，令表示的元素，则可以定义偏相关系数的概念如下：定义1.6：当给定时，与的偏相关系数为：目录上页下页返回结束§1.3.3条件分布和独立性偏相关系数以x1表示某种商品的销售量，x2表示消费者人均可支配收入，x3表示商品价格。从经验上看，销售量x1与消费者人均可支配收入x2之间应该有正相关，简单相关系数r12应该是正的。但是如果你计算出的r12是个负数也不要感到惊讶，这是因为还有其它没有被固定的变量在发挥影响，例如商品价格x3在这期间大幅提高了。反映固定x3后x1与x2相关程度的偏相关系数r12；3会是个正数。§1.3.3条件分布和独立性在上面制定服装标准的例子中，给定X4和X5的偏相关系数为：目录上页下页返回结束§1.3.3条件分布和独立性定理1.4：设将X、μ、Σ按同样方式剖分为其中，证明参见文献[3]§1.4均值向量和协方差阵的估计上节已经给出了多元正态分布的定义和有关的性质,在实际问题中,通常可以假定被研究的对象是多元正态分布,但分布中的参数μ和Σ是未知的,一般的做法是通过样本来估计。目录上页下页返回结束§1.4均值向量和协方差阵的估计均值向量的估计在一般情况下,如果样本资料阵为：目录上页下页返回结束§1.4均值向量和协方差阵的估计即均值向量μ的估计量,就是样本均值向量.这可由极大似然法推导出来。推导过程参见文献[3]。目录上页下页返回结束设样品相互独立,同遵从于P元正态分布,而且,Σ>0,则总体参数均值μ的估计量是§1.4均值向量和协方差阵的估计协方差阵的估计总体参数协差阵Σ的极大似然估计是目录上页下页返回结束§1.4均值向量和协方差阵的估计目录上页下页返回结束其中L是离差阵，它是每一个样品（向量）与样本均值（向量）的离差积形成的n个阶对称阵的和。同一元相似，不是Σ的无偏估计，为了得到无偏估计我们常用样本协差阵作为总体协差阵的估计。§1.5常用分布及抽样分布多元统计研究的是多指标问题,为了了解总体的特征,通过对总体抽样得到代表总体的样本,但因为信息是分散在每个样本上的,就需要对样本进行加工,把样本的信息浓缩到不包含未知量的样本函数中,这个函数称为统计量,如前面介绍的样本均值向量、样本离差阵等都是统计量.统计量的分布称为抽样分布.在数理统计中常用的抽样分布有分布、分布和分布.在多元统计中,与之对应的分布分别为Wishart分布、分布和Wilks分布.目录上页下页返回结束§1.5常用分布及抽样分布1.5.2分布与分布1.5.1分布与Wishart分布1.5.3中心分布与Wilks分布目录上页下页返回结束分布有两个重要的性质:§1.5.1分布与Wishart分布在数理统计中,若(),且相互独立,则所服从的分布为自由度为的分布(chisquareddistribution),记为.目录上页下页返回结束1、若,且相互独立,则称为相互独立的具有可加性2.设(),且相互独立,为个阶对称阵,且(阶单位阵),记,则为相互独立的分布的充要条件为.此时,.这个性质称为Cochran定理,在方差分析和回归分析中起着重要作用.目录上页下页返回结束§1.5.1分布与Wishart分布(1.32)定义1.7设相互独立,且,记,则随机矩阵：所服从的分布称为自由度为的维非中心Wishart分布,记为,其中,,,称为非中心参数,当时称为中心Wishart分布,记为m目录上页下页返回结束§1.5.1分布与Wishart分布由Wishart分布的定义知,当时,退化为,此时中心Wishart分布就退化为,由此可以看出,Wishart分布实际上是分布在多维正态情形下的推广.下面不加证明的给出Wishart分布的5条重要性质:个随机样本,为样本均值,样本离差阵为维正态总体1.若是从中抽取的,则.相互独立.和(1)(2),目录上页下页返回结束§1.5.1分布与Wishart分布3.若,为非奇异阵,则,为任一4.若元常向量,满足则目录上页下页返回结束§1.5.1分布与Wishart分布2.若且相互独立,则特别的,设和分别为和的第个对角元,则：5.若,为任一元非零常向量,比值目录上页下页返回结束§1.5.1分布与Wishart分布§1.5.2分布与分布在数理统计中,若,,且与相互独立,则称服从自由度为的分布,又称为学生分布(studentdistribution),记为.如果将平方,即,则,即分布的平方服从第一自由度为1第二自由度为的中心分布.目录上页下页返回结束中心分布可化为中心分布,其关系为:显然,当时,有.定义1.8设,,,,,与相互独立,则称随机变量(1.33)所服从的分布称为第一自由度为第二自由度为的中心分布,记为目录上页下页返回结束§1.5.2分布与分布§1.5.3中心分布与Wilks分布在数理统计中,若,,且与相互独立,则称所服从的分布为第一自由度为第二自由度为的中心分布.记为.分布本质上是从正态总体随机抽取的两个样本方差的比.目录上页下页返回结束所服从的分布称为维数为,第一自由度为第二自由度为的WilksΛ分布,记为(1.34)定义1.9设,,,,且与相互独立,则称随机变量目录上页下页返回结束§1.5.3中心分布与Wilks分布目录上页下页返回结束§1.5.3中心分布与Wilks分布由于Λ分布在多元统计中的重要性,关于它的近似分布和精确分布不断有学者进行研究,当p和中的一个比较小时,Λ分布可化为F分布,表1-2列举了常见的情况.表1-2目录上页下页返回结束§1.5.3中心F分布与Wilks分布当不属于表1-2情况时,Bartlett指出用分布来近似表示,即近似服从.Rao后来又研究用F分布来近似,即目录上页下页返回结束§1.5.3中心分布与Wilks分布近似服从,其中不一定是整数,用与它最近的整数来作为F分布的第二自由度.目录上页下页返回结束§1.5.3中心分布与Wilks分布若,有.该结论说明,在使用Λ统计量时也可考虑的情形,有关Λ统计量的其他性质参见文献[1].目录上页下页返回结束