-.z椭圆中的一组“定值〞命题圆锥曲线中的有关“定值〞问题，是高考命题的一个热点，也是同学们学习中的一个难点。笔者在长时间的教学实践中，以椭圆为载体，探索
总结
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出了椭圆中一组“定值〞的命题，当然属于瀚宇之探微，现与同学们分享。希望对同学们的学习有所帮助，也希望同学们能在双曲线、抛物线等的后续学习中，能够利用类比的
方法
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，探索总结出相关的结论。命题1经过原点的直线与椭圆相交于M、N两点，P是椭圆上的动点，直线PM、PN的斜率都存在，则为定值.证明：设，，，则〔*〕，而点P、M均在椭圆上，故，，代入〔*〕便可得到.练习：A、B分别是椭圆的左右两个顶点，P是椭圆上异于A、B的任意一点，则.〔
答案
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：〕.命题2设A、B、C是椭圆上的三个不同点，B、C关于轴对称，直线AB、AC分别与轴交于M、N两点，则为定值.证明：设，，，则直线AB的方程为，令得M点的横坐标，同理可得N点的横坐标，于是，由于，因此有.练习：设分别是椭圆的上下两个顶点，P是椭圆上异于的动点，直线分别交轴于M、N两点，则.〔答案：25〕.命题3过椭圆上一点任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于M、N两点，则直线MN的斜率为定值.证明：设直线PM的方程为，则直线PN的方程为，联立和组成方程组，消去y可得.设，则，可得，同理可得，则，，于是，故直线MN的斜率为.练习：椭圆，过点作两条倾斜角互补且不平行于坐标轴的直线，分别交椭圆于P、Q两点，则直线PQ的斜率为.〔答案：〕.命题4分别过椭圆上两点作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于M、N两点，则直线MN的斜率为定值.证明：设直线PM的方程为，联立和组成方程组，消去y可得.设，则，可得，同理可得，则，，于是有.因为点P、Q都在椭圆上，所以，，两式相减可得，同理可得，令①，②，则，将①、②代入便有，即直线MN的斜率为定值.练习：分别过椭圆上两点作两条倾斜角互补且不平行于坐标轴的直线，交椭圆于另外两点P、Q，则直线PQ的斜率为.〔答案：〕.与圆锥曲线焦点弦相关的一个优美结论众所周知，焦点弦的性质能够表达圆锥曲线几何特征，是研究圆锥曲线时的主要对象之一，在历届高考中也占有重要的地位．笔者根据焦点弦所在直线的倾斜角、焦点分焦点弦所成的比以及圆锥曲线的离心率之间的关系得出一个优美结论，并结合高
考试题
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彰显了它的重要作用，希望能和读者共勉．一．结论及证明定理焦点在轴上的圆锥曲线，经过其焦点的直线交曲线于、两点，直线的倾斜角为，，则曲线的离心率满足等式：．下面以椭圆为例证明之．证明：如图1，弦过椭圆的左焦点，左准线为，由可设，()，当直线的倾斜角为锐角时，如图〔〕，显然，分别过两点作、，垂足分别为，过点作，由椭圆的第二定义可得，在中，，故，如果点、的位置互换，则，则有．当直线的倾斜角为钝角时，如图〔〕，显然，同理在中，可得，故，如果点、的位置互换，则，则有．当直线的倾斜角为直角时，显然且，等式成立；当直线的倾斜角时，弦为椭圆长轴，显然易得原等式也成立．综上，在椭圆中等式恒成立．证毕．当圆锥曲线为双曲线〔如图2〕时，同样可以证明等式成立；当曲线为抛物线〔如图3〕时，离心率，等式简化为〔其中〕．总之，在任意圆锥曲线中，对于其焦点弦所在直线的倾斜角，焦点分对应弦的比值〔〕，总有等式成立，它将看似没有必然联系的三个量有机地结合在一起，显得如此和谐、优美，更加表达了数学的魅力．由于在解决具体的数学问题中，大多遇到的焦点弦的斜率是存在且不为0的，所以，根据直线的倾斜角和斜率的关系，不难得出：推论1焦点在轴上的圆锥曲线，经过其焦点的直线交曲线于、两点，直线的斜率为〔〕，，则曲线的离心率满足等式．当圆锥曲线的焦点在轴上时，同理还可得推论2焦点在轴上的圆锥曲线，经过其焦点的直线交曲线于、两点，假设直线的倾斜角为，斜率为〔〕，，则曲线的离心率满足等式，．〔推论的证明从略，读者可以自行完成．〕二．结论的应用例1．〔2021年全国Ⅱ卷〕是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于，两点设，则与的比值等于．解析：焦点弦所在直线的倾斜角为，，则由定理可得，所以．例2．〔2021年卷〕过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于、两点〔在轴左侧〕，则．解析：根据抛物线的对称性知，设，由推论2可得，所以．例3．〔2021年全国Ⅰ卷〕双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点，假设，则的离心率为〔〕A．B．C．D．解析：由推论1得，应选A．例4．〔2021全国Ⅱ卷文理〕椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为〔〕的直线与相交于两点假设，则〔〕A．1B．C．D．2解析：由推论1得，解得，应选B．例5．〔2021全国Ⅰ卷文理〕是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为．解析：如图4，由题意可得，，设直线的倾斜角为，则，由定理可得，所以．由此可见，本文的结论在解决与圆锥曲线焦点弦相关的问题时非常快捷，既防止了繁琐的代数运算，又节省了不少时间，可谓是圆锥曲线有力工具之一．直线与圆锥曲线的关系问题典型例题：例1.〔2021年省文5分〕P，Q为抛物线上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于A，则点A的纵坐标为【】(A)1(B)3(C)4(D)8【答案】C。【考点】利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法。【解析】∵点P，Q的横坐标分别为4，2，∴代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8，2。由得，∴。∴过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2。∴过点P，Q的抛物线的切线方程分别为。联立方程组解得。∴点A的纵坐标为4。应选C。例2.〔2021年省理5分〕如图，双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为。假设以为直径的圆切于菱形，切点分别为A，B，C，D。则〔Ⅰ〕双曲线的离心率e=▲；〔Ⅱ〕菱形的面积与矩形的面积的比值▲。【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕。【考点】双曲线的离心率及实轴虚轴的相关定义，一般平面几何图形的面积计算。【解析】〔Ⅰ〕由，解得。〔Ⅱ〕由得，又直线的方程为，而直线的方程为，联立解得，∴，。例3.〔2021年全国大纲卷理12分〕抛物线与圆有一个公共点，且在处两曲线的切线为同一直线。〔1〕求；〔2〕设、是异于且与及都相切的两条直线，、的交点为，求到的距离。【答案】解：〔1〕设，对求导得。∴直线的斜率，当时，不合题意，∴。∵圆心为，的斜率，由知，即，解得。∴。∴。〔2〕设为上一点，则在该点处的切线方程为即。假设该直线与圆相切，则圆心到该切线的距离为，即，化简可得，解得。∴抛物线在点处的切线分别为，其方程分别为①②③。②－③得，将代入②得，故。∴到直线的距离为。【考点】抛物线与圆的方程，以及两个曲线的公共点处的切线的运用，点到直线的距离。【解析】〔1〕两个二次曲线的交点问题，并且要研究两曲线在公共点出的切线，把解析几何和导数的工具性结合起来。首先设出切点坐标，求出抛物线方程的导数，得到在切点处的斜率。求出圆心坐标，根据两直线垂直斜率的积为－1列出方程而求出切点坐标。最后根据点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离即圆的半径。〔2〕求出三条切线方程，可由〔1〕求出。、的切线方程含有待定系数，求出它即可求得交点坐标，从而根据点到直线的距离公式求出到的距离。
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