问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
的提出以2l为周期的傅里叶级数一、问题的提出前面已讨论周期为2π的f(x)展成傅立叶级数(包括定义在[−π,π],[0,π]上的函数的展开）现在的问题:如何将周期为2l的f(x)展成傅立叶级数(包括定义在[−l,l],[0,l]上的函数的展开)
方法
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:进行变量代换把周期为2l→2π
分析
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：设f(x)，周期为T=2l,满足狄氏条件,π作变换t=xx∈[−l,l]⇒t∈[−π,π]lltΔf(x)=f()=F(t)周期T=2π,π∞a0+∑ancosnt+bnsinnt2n=1⎧F(t)t为连续点⎪=⎨F(t+0)+F(t−0)t为间断点⎩⎪2∞a0+∑ancosnt+bnsinnt2n=1⎧F(t)t为连续点⎪=F(t+0)+F(t−0)⎨t为间断点⎩⎪2πx∵t=F(t)=f(x)l∞a0⎡nπnπ⎤+∑⎢ancosx+bnsinx⎥2n=1⎣ll⎦⎧f(x)x为连续点⎪=⎨f(x+0)+f(x−0)x为间断点⎩⎪21π1la=F(t)dt=f(x)dx0π∫−πl∫−l1π1lnπa=F(t)cosntdt=f(x)cosxdxnπ∫−πl∫−ll1π1lnπb=F(t)sinntdt=f(x)sinxdxnπ∫−πl∫−ll(n=1,2, )二、以2l为周期的傅里叶级数定理设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理的条件,则它的傅里叶级数展开式为∞a0nπxnπxf(x)=+∑(ancos+bnsin),2n=1ll其中系数an,bn为1lnπxan=f(x)cosdx,(n=0,1,2, )l∫−ll1lnπxb=f(x)sindx,(n=1,2, )nl∫−ll(1)如果f(x)为奇函数,则有∞nπxf(x)=∑bnsin,n=1l2lnπx其中系数b为b=f(x)sindx,(n=1,2, )nnl∫0l(2)如果f(x)为偶函数,则有∞a0nπxf(x)=+∑ancos,2n=1l2lnπx其中系数a为a=f(x)cosdxnnl∫0l(n=0,1,2, )例1设f(x)是周期为4的周期函数,它在[-2,2)⎧0−2≤x<0上的
表
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达式为f(x)=⎨,将其展成⎩k0≤x<2傅氏级数.yk解∵l=2,满足狄氏充分条件.−4−2024x1012a=0dx+kdx=k,02∫−22∫012nπan=k⋅cosxdx=0,(n=1,2, )2∫0212nπkb=k⋅sinxdx=(1−cosnπ)n2∫02nπ⎧2k⎪当n=1,3,5, =⎨nπ,⎩⎪0当n=2,4,6, k2kπx13πx15πx∴f(x)=+(sin+sin+sin+ )2π23252(−∞
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