8）空间中的最大正交指数函数系

8）空间中的最大正交指数函数系 8)空间中的最大正交指数函数系 第38卷第4期 2010年7月 河南师范大学(自然科学版) JournalofHenanNormalUniversity(NaturalScience) ,Z.38No.4 July.2010 文章编号:1000—2367(2010)04—0016—04 L2(告)空间中的最大正交指数函数系 仲明 (陕西师范大学数学与信息科学学院,西安710062) 摘要:研究由具有一个参数紧支撑的博雷尔概率测度族构成的调和 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 中的伯努利测度(A?(o,1))的 性质.针对给定的A,考虑在空间中的正交指数函数系的最大化与极大化.通过对r和零点的分析,证明 E(户r(吉))(户是奇数)是L空间的最大正交指数函数系. 关键词:迭代函数系(IFS);伯努利测度;正交指数函数;谱测度 中图分类号:O174.21文献标志码:A 1简介 设I1R是一个有限集合,令E(r):一{P(z):一e":),?r}.如果E(r)中的函数在L()空间中 互相正交,那么称r是正交的.当E(r)构成L.()空间中的标准正交基时,称r是空间L()中的谱集,为 谱测度,并把(,I1)称为谱对.本文中所讨论的谱测度是由Fuglede?的一个着名猜测所引起的谱集的自然 推广. 设M—l(A?(0,1)),D一{1~--1).联系到自仿迭代函数系(IFs){(z)一(z+)}d?.,则存 在 唯一的概率测度:一M,.满足等式 +.:),(1) 且supp(t*)一T(M,D):一{?M-Jd,:d?D},这个称为支撑在T(M,D)上的自仿测度(伯努利测度). 设s一{0,s),联系到它的对偶迭代函数系(IFS){(z)===M()+s}?s.令 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示0关于迭代函数 系{)s的轨道,即 finite. n:一{?(?)5:?s},(2)J—o,, 其中M是M的共轭转置. 假设存在集合,—使得E(n)在L.()空间中正交,则对任意y?yz?, <el,e.>L.()一le2~i(7172'dE,()一五(),1一y2)一0,(3) 其中五M,.表示M,.的傅里叶变换.结合式(1),对任意?R,五()一.(M一)五M,D(M一). 于是通过迭代后有 五^()一IID(M)===?COS(2aa拿),(4) 其中mD)=一""? 收稿日期:2010—01—10 基金项目:国家自然科学基金(10871123) 作者简介:仲明(1986--),男,江苏泰州人,陕西师范大学硕士研究生,研究方向:谱自仿测度理论 1—2 一 ?一 一 第4期仲明:L(詈)空间中的最大正交指数函数系 记zq,)表示五的零点,可见, z(五)一{?R:志三三三1,使得c.s(2不kt)一.}一{:m?z,愚三三三1}.(5) 在本文中讨论一专的情形.在J.rgensen和Pedersen文中已经得到 :a?{0,2))==={0,2,16,18,…), E(Fi-,是L.()空间的标准正交基.在Jorgensen嘲文中又得到了E()不是L.(F-1)空间的正交基,但是 它的最大正交指数函数系. 2主要结果 定理1E()是L(号)(1<户<8是奇数)空间中的最大正交指数函数系. 证明首先,证明正交性.由式(5)知,z(五号)一{:m?z,愚1). 由于E()是L.(古)空间的标准正交基,则对于任意的?),z?rl,有y1一),z?Z(gf),即存在 是三三三1,m?z,使得y一y一一,其中p(2+1)是奇数,从而—z?z(五号). 于是,E()是L.(詈)空间中正交指数函数系. 要证正交指数函数系E()是L(鲁)空间中最大的,就是要证对于任意的?R\E-~,则存在y?, 使得<e>?0.由式(3)知,这就是要证明一yz(五号). 若z(五号),令y一0,从而t—yz(五号). 下面考虑,?z(五号)的情况.通过分析z(五号)中元素的性质,可以将其写成更简化的形式 z(一{?z,忌三三三1,三三三(2+1)).(6) 进一步地,可以将j1击中的元素写成z(五罟)的形式.令y一?a8?I1吉,设i是使得a?0的最小的 指标,J—i+1, y一.一2+塞a一{?乒?4c2+i=jaj8一一丢??8c+ 骞ai8一一{??+骞警8一一2c+骞?8H." 由上面式子可以知道,如果又有y?z(五詈),则),一,从而2+1一(1+68+68z+…+ bq8)(6?{0,1),一i+1,q==="in—). 情形1d—o,考虑将t?z(五昔)写成式(6)的形式,一(2n+1)2(6三1(mod3))是偶数,将2n+1 表示成八进制数2n+1一b.+?b8(6.?{1,3,5,7},b?{o,1,2,…,7),i一1,2,,),一2(6o+ ?b8).设i是使得b{o,1}的最小指标.考虑工1吉中的元素, y1—2,y2—2?b8,Jy.===2(?b8+8), 在上式中,如果i>0,则b.一1. 若i一0,则,,y一2[(6.一1)+?b8],b.?(3,5,7}. 于是,2\E(b.一1)+?b8],或者4\E(b.,1)+?b8],但是8』,[(60,1)+?b8].故有,一),一2? 8 n? 河南师范大学(自然科学版)2010卑 2n1(口1E2Z+1),b一3l1—2,或者t—y1—2?4a2(口2E2Z+1),b===3l2—2.可见,t—y1—2广? 2n:2.z一1n1,3/1—1三2(mod3),或者—y1—2.fz?4a2—2312口2,3l2三O(mod3).即,t--y1z(五鲁). 若i,>0,则b.一1.若b为奇数,则一一2b8[(6一1)+?bi8(6,?{3,5,7)),于是,i—i一1 Z\E(b一1)+?b8],或者4\E(b一1)+?bi8一].鲁+1i—i1 但是8』,[(6一1)+?bi8].故有,一一2.,?2a(口E2Z+1),或者,一73—2._.' 4口2(n2E2Z+1).可见,t一),3—2.1?2a1—23/1ml口1,3l1—1兰2(rood3),或者t一:==2.?4a2— 2.z口2,3l2兰0(rood3).即,t一z(五号). 若b,为偶数,则,一一2b8z[6+?bi8z(6E{2,4,6)),于是,2\[6+?bl8]或者4\Eb+ ?bi8],但是8XEb68i].故有,t—y2—23f1一?2a(nE2Z+1),或者t—y2—2.z一.?4a2(n2 E2Z+1).可见,t,y2—2.广?2a1一~3/1--1口1,3l1—1三2(rood3),或者t—y2—2z一?4a2—2a2,31z 三O(mod3).即,t—yzz(五号). 情形2d一1,虑将,E(五号)写成式(6)的形式,一(6三l(m.d3),户J/(2n+1)).将2n+ 1表示成八进制数2n+1—6.+?68(6.E{1,3,5,7),bE{0,1,2,…,7),一1,2,…,m),(6.+ ?b8).设i是使得6{0,)的最小指标.考虑中的元素,z=1 .一1i1 y一2,一2.?8i,一2(?8+8),一0t一0r 在上式中,如果i>0,则b.一P. 若:o,则一y一婺[(一)+?68],6.?{1,3,5,7}\). 于是,Z\E(b.一)+68],或者4\E(b.一)+?68],但是8J,[(6.一声)+?68].故有,,一y一 6 .口(口?+1),一一,或者一),.一?.(n.?1),一z— i . = 可1 222Zb312t24a2Z+b3l2见,,一),t一21一? 2a1—2一1口1,3l1—1兰2(rood3),或者—yl一2.f2一?4a2—2口2,3l2三0(rood3).即,t—ylZ(专)? 若i>0,则b.==:P.若b为奇数,则 一 y.一婺8z[(6一一)+?bi8](6E{1,3,5,7)\{)),rt—i+1 于是,z\E(b一p)+?bi8一],或者4\E(b:一)+?bl8].i--i+1+1 但是8XE(b,一)+?bi8].故有,一y.一2,?2口(口E2Z+1),或者,一ys一2'2一? 4口2(n2E2Z+1).可见,t—y3—2,?2a1—2.一n1,3l1—1兰2(rood3),或者t—y3—2?2?4a2— 23f2口2,3l2三0(mod3).即,—y3z(五詈). 若b为偶数,则 ,一一 婺8z[+?bi8一(?{2,4,6)),, ,=i+1 于是,z\Eb,+妻68i--i],或者4\Eb;+?68],但是8』,[6+?bl8r.t].故有,,一y2—2.? 第4期仲明:L.(告)空间中的最大正交指数函数系 2a:(al?2Z十1),或者t—y2—22_.?4a2(a2E2Z+1),司见,t—y2—2"l_.?2al一2l,al,3ll一1三 2(mod3),或者t一72—2.z,?4a2—2.f2n2,3l2三0(mod3).即,t—y2z(五号). 情形3>1,考虑将,?z(五号)写成式(6)的形式,一堡竺(6兰1(m.d3),』,(2+1)). 将 2咒+1表示成八进制数2佗+1—60+耋6(6.?{1,3,5,7),6?{.,1,2,…,7)一1,2,…,),,一P笔(1 +妻68).令y一2,则 其中pXb.+?b8,8Xb0+?b8,于是2\2(6.+?b8)一P但是2(6.+?b8)一P不能被 2(尼>1)整除,故t一7睡z(五号). 综上所述,对于任意的tER\,存在7Er吉,使得t—yz(五鲁).从而定理得证. 推论1E(pr+)是L.(号)(1<P<8,P是奇数)空间中的最大正交指数函数系. 证明首先,证明正交性.对于任意的px?PzE吉,则存在71?),zE,使得pl--p2一户(y一72). 由定理1正交性的证明可知,),一yEz(五号)一{?:Ez,忌1三三=o},即, P一P(7一y)?{:m?z,忌?1}一z(. 从而证明了E(pF~)是L(昔)空间中的正交系. 下证最大性.对于任意的t?R\pF~,存在t?R\r上,使得t—pt.又由定理1知,tER\r?,故存在 y?,使得一yz(五号).若一刀一p(t一)?z(五号),于是,p(t,y)一?竺(忌三三=1),从 而,一y=:=?z(五r昔),于是产生矛盾.故,,一),z(五号)(户),?古).故结论成立. [13 [2] [3] [43 参考文献 FugledeB.Commutingself-adjointpartialdifferentialoperatorsandagrouptheoreticproble m[J2.JFuntAnal,1974,15:101—121 JorgensenPET,PedernenS.DensenanalysticsubspacesinfractalLz—spaces[J].JAnalMath,1998,75:185—228. JorgensenPET,KornelsonK,ShumanK.FamiliesofspectralsetsforBernoullic0nvolutions 口].arXiv,2009,11:2435. DutkayDE.Quasiperiodiespectraandorthogonalityforiteratedfunctionsystemmea— suresEJ].Mathz,2009,261(2):373—397. MaximalOrthogonalExponentialSystemsinL2(詈) ZHONGMing (CollegeofMathematicsandInformationScience,ShaanxiNormalUniversity,Xian710062,China) Abstract:TheresearchisabouttheharmonicanalysisofBernoullimeasures/~awhichisaoneparametersystemofcorn pactsupportedBroelprobablymeasuresonR.Foragiven^.ThemaximalfamilyandtheFourierbasesinL()arestudied. IthasbeenprovedthatE(户r告)(isanodd)arethemaxima1OrthogonalexponentialsinL畔). Keywords:iteratedfunctionsystem(IFS);Bernoullimeasure;orthogonalexponential;spectralmeasure