刀切法与刀切估计量性质

泪�头大学学报 �自然科学版 !∀ # ∀ ∃ % �& ∋ !(一( ) ∗ 刀切法与刀切估计+ 性质 洪 再 吉 �经 济 系 亨 摘 要 本文介绍一种作参数的估计方法—刀切法 �,− . / / 0 123 , 并讨论刀切估计量的性质及其应用 ∗ 关键词 刀切法 ∃ 伪值 ∃ 刀切估计鼠 刀 切法是一种非参数的估计方法 ∗ 近 ( )多年来 , 许多人致力研究这一方法所得到的 估计量的性质 , 得到十分满意的结果 ∗ 这个方法原是 4 5 3 0 6 51 ��3 7�8 作为减少偏差而引 入的 , 后来又由 9 5 / 3: 7“〕提议作为稳健区间估计的方法 , 即在标准统计方法不存在或 难于应用的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 中 , 利用刀 切法建立近似的置信区 间 ∗ 有不少统计学家 , 对刀切法估计 量的性质 , 诸如偏差 、 方差 、 均方误差 、 相合性以及渐近分布等作了深入的研究 ∗ 本文 在于介绍方法 、 估计量的某些性质以及应用 ∗ 一 、 什么是刀切法 〔”; <〕 设 二 ∃ , ⋯ , = , 是抽自某一总体 > 的随机样本 , · 二工, ⋯ , 二 , 是独立同分布随机变量 ∗ 又 设 ) 是 > 的分布函数 ? �为 ) 的一个参数 , 并设有一个 估 计 ) 的 方 法 �例 矩 法 、 最 大似然方法以及最小二乘法等 , 运用此方法得到 ) 的一个估计量是 3 二 # �劣 , , ⋯ , 义 , �有偏或无偏 ∗ 根据 − , 我们构造一个刀切估计量如下 ∋ 第一步 将 二 ! , ⋯ , = , 分为 ≅ 组 , 每组大小为 Α , 即 0 Β ≅ Α 第二步 去掉其中第 2 组后 , 用余下的大小为 。 一 入的子样本来求 时所得的估计量 ∗ 第三步 求伪值 �Χ Δ 3 5 Ε 6 Φ − �5 3 − , 并用−一‘记此 万 产户、 子产、‘二 ∀ # 一 �≅ 一 ! # Γ , Β # Η �≅ 一 ! �# 决 � ! 第四步 求伪值的算术平均 , 得到 ) 的刀切估计量 不文! ∀习了年 < 月 ! 日收到 ∗ 第 ! 期 刀切法与刀切沾计量性质 , �# Β 古客瓦Β ≅言一 ‘“ 一 ‘’ �( 八失·艺1Ι! 产Ι 称, �) 为 − 的一阶刀 切计+ 估 ∗ 为简学∗ , 在下 面我们称它为 , 一估计+ , 称其相应的方 法为, 一方法 ∗ , 一方法是 4 5 3 0 6 51 ��3 在 !∀ % ∀年提出的 , 后又在 ! ∀ϑ < 年做了推广的 ∗ 最简单的场合 是取 ≅ 二 。 , Α 二 ! 。 后面我们总指限于这种情形 ∗ 下面举几个例子来说明这个方法怎样应用 ∗ 例 ! 设 二 ∃ , ⋯ , 二。 是抽自总体 > 的随机样本 , ) 二 Κ �尤 是一个参数 ∗ 取 Λ 的一个沽计 量为 Μ 、 Γ− 二 Ν 若取 ≅ Β 0 , Α Β � , 则 Ο 、 Γ) 一 1 一 劣 , Β 0 一 ! 劣 �一一 、 > ‘ 。0 一 ! Β � , ⋯ , ” � Π 艺川, ∗月!!一、0 # ∃ Β , Ο3 一 � , ∃ 一 ! Β 艺二Θ 一 艺“ , 二 “ Θ∗ � Θ盘 1 故由式 � ( 知 , 口的 ,一估计量为 一劣一一�氏 ·艺川� ! ∀ 二 例 # 设 ∃ % , ⋯ , ∃ , 抽自总体 & , ∋ ( 犷。一 刃 ∀ 二 护 ) 取 护 的一个估计量为 ∋ ∗ ( ∃ + 一 戈 ∀ “ ·艺+,− 取 . ( / , 0 ( 1 , 2 3 且利用式 4 ∀ , 则 名 ∋ 一 ‘( 5 − 一习/ 一 −留 劣 , 一 ∃ 一 6 ∀ “ ( 了% 矛7 8 一 − / , 竺叹 ,丁节—犷万三9义 谊一 工 夕一气几 : 1 声, ( 1 , ) ” , 拄 于是由式 # ∀ 可得 ∋ “ 的 �一估计量为 � ∋ ∗ ∀ ( 5 −5 夸。二/ 一 −份幼 ’ 一 ∃ ∀ # ( / 气了一下 ; ,刀 一 1 从往时叫 , 我们知道它是无偏的 , 即有 < 〔� ∋ “月 ( ∋ “ 例 4 考虑回归估计的函数 ∋ ( + 助 的情形 ) 设回归模型为 了 二 & 口十 = 其中 汕头大学学报 �自然科学版 第 % 卷 �总第 < 期 口Β �口! , ⋯ , 月, ‘ , : Β �: , , ⋯ , Ρ 一 ‘ , 3 Β �3 】, ⋯ , 3 。 声 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 矩阵为> ∗ , 。, 秩尸二 。�> Β Χ ∗ 利用最小二乘法得 月的估计为尽Β �> ’> 一 , > ‘Ρ , 作为参数口的函数− Β 2 �助 的一个 估计可取为 − Β 了�幻 ∗ 取 ≅ 二 。 , Α Β ! , 删去矩阵> 和Ρ 的第 ‘行 , 分别记余下的矩阵为 > 一 , 和Ρ一 , ‘二 ! , ⋯ , 。 , 并重新计算 月的最小二乘估计 , 得到 尽‘, 即 尽Γ , Β �> 二∗ > 一 ‘ 一‘> 二‘Ρ 一 ‘ 从而得 3一 , 由式 � ! , Β 2�月一 作伪值 − , , 再由式 � ( 得 口Β Θ� 幻 的, 一 估计量为 , �# Β ,仁2�月 〕Β 。2 �尽 一宁争币一 , � % 例 Π 的方法不仅是对 回归情形的 , 而且对一般的参数 的函数 2�) 的 , 一估计量也是 适 用的 ∗ 若 ) 是 ) 的无偏估计 量 , 则 2�− 往往不是 2 �6 的无偏估计 , 因此 Θ� < 完全 有资格作为 , 一方法的对象 ∗ 例 % 考虑 比沽计 设 �二 , , : , , ⋯ , �= ∋ , : , 是抽自二维总体 �> , Ρ 的随机样本 , 取3 二 Κ �: Μ Κ �> 作为参数 ∗ 我们总可以 用 言Β 客: 。Μ 客二 作为 3 的一种估计 ∗ 由此出发 , 我们可以 构造比 �即 ) 的 , 一估计量 ∗ 取 ≅ 二 ” , Α 二 ! ∗ 则 公一乒Μ 买‘ , 由式 � ( 得比的 , 一估计量为 翻 Γ Γ 万: 心, �日 Β 0 · 二! 一 一 � , ∋ 一 ! ·月 互二, 亩一 ! ∗ 互:,去乏令丁 ‘一 ! 石二潇 , ,一方法也可应用于经济计量中的联立方程模型的估计 ∗ 二 、 ,一 估计量的性能 �一 , 一估计里的偏差 设 ) 是 ) 的一个估计量 , 通常定义 Κ 以 ) 一 3 为估计量言的偏差 , 其中下标? 是 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 第 !期 刀切法与刀切估计最性质 示数学期望是对总体> 的分布 ?取的 ∗ 为书写方便 , 后面我们略去下标 ? , Κ 谊 ∗ &Σ 记 Κ , �口 为 对许多估计量 − , 其数学期望常可写为 “�1 二 “·毛令 � ϑ 其中 − , 可以是 − 的函数 , 但不是样本大小 ” 的函数 。 例如对例 ( 的 − Ο有 Κ� 孙 Β 竺!。 ∋ Β 。 ∋ 一里 这时 − ∋ 二 一 − Ο , − Ο Β − Π Β ⋯ 口Β 劣 �, 二 川 − 戈 �= � , 二 , , Κ �# Β Λ。 又对 区间 �Λ , 3 上的均匀分布 , 取 3 的估计量为 则 − 二 − 一 < # #Β 廿一一 Η 不 一 一几 十 。 。“0 0 一 0 ,‘∗工Τ& Η心∗∗一!!毛、月 0一十, �刀日�一一一 这时 。 , 二 ∋ 。 ( ∋ 。二 “ · ( ∋ ∗ 二 ∋ 劝 ( ∋ 。 ( ” ) ( � 补可以减少偏差的原因如下 % 为简单 , 取 。 ( 。 , 0 ( 1 ) 假定 。的估计量 言的数 学期望有形为式 > ∀ 。 于是一 阶 �一估计量的数学期望为 万〔“必〕( 万−·扣一 ‘, 一浦 二 。 ! ? 夕奥。一 ” 一5 1亨二 / ‘ ” 客 “·又、 旦气下二 、几 一 1 少 ( ∋ 一 ≅ #/ / 一 1 ∀ # ” 一 1一 矛而万正匡“, , Α ∀ 由此可见 , “ 一 “ ! 时 , 即标 “的有偏估”时 , “偏差“ 毛箭耐 Β∀ 作 “ “的 估计时 , 偏差减少了 , 即式 Α ∀中已消失了 汇‘阶的偏差项 ) 若 ∋ Χ 今Δ而 ∋ % ( 伽 ( ·“ ( ! , 则� = ∀ 成为 ∋ 的无偏估计了 ) 若 ∋ 原为无偏估计 , 则 ∋ Χ ( ∋ % ( “ · ( ! , � !∀ 仍为 ∋ 的 无偏估计 ) 故从偏差的角度讲 , 在式 > ∀的条件下 , � = ∀ 减少了估计量的偏差 ) 事 实 上 , 从前面的例 1 与例 # , 我们已经看到了这一点 ) 因此 �一方法可以作为减少偏 差 或 产生无偏估计的一种手段 ) 但我们也要提醒一下 , 并不是使用 � 一方法总能减少偏差的 ) 相反地 , 下面 的 例子 说明在某些情况下 , 也可能增大偏差 就其绝对值而言 ∀ ) 例 > · 设估计量 = 具有性质 < 口一 Α ∀ ( ∋ 2 / 乞 !‘ 汕头大学学报 �自然科学版 第 % 卷 �总第 < 期 其中 − 为与 。 无关的常数 ∗ 则由 � ( 可知有 Κ 〔, ‘言 〕一 二�· 阳言一 ”尹买瓦 、尸、、Υ 旱, 二 3 一 −几 �0 一 ! 故 ςΚ 7 , �口 〕一 ) 卜 0 Υ � 关于 , �) 和 3 的偏差的进一步比较可看 7 % 〕 �二 关于 ,一估计 ∗ 的方差 从式 � < 我们已经看到 ,一估计量是减少偏性的一种切实可行 的方法 ∗ 但是 ,一估 计量式 � ( 的方差或均方误差会发生什么变化呢 Ω 我们可 以通过具体 的 ,一估计 量 去 实际求 出它的方差或均方误差 , 并和原来估计量 − 的方差或均方误差比较 ∗ 不难举出例 子 , 说明 ,一估计量的方差或均方误差 �记为Ξ Σ Κ 有时变小了 , 有时差不多 , 有时变 大了 ∗ 遗憾的是 , 后最这种情况往往是较普遍的 ∗ 例 < 对例 ( 中的护 , 设其方差 俘在 且为 厂 − ∋ � − “ ∗ 则有 ∋ 二 ∋ , �知 一 犷二�∋ 几粼 Υ 厂。 ∋ 必 即 , �护 的方差变大了 ∗ 但由于护 是有偏的 , 故比较方差实际上是不恰当的 ∗ 从 均方 误差的角度去比较 , 则有 Ξ Σ Κ 7 , �− Ο 8 Β 矛乙一 !、 Ο ? 。 Τ �争 ∋ , 。 。 , 八, 、 。 , 气 。 、 。 , , 了 飞 、 , 。 , 代 。 、 , , , , 代 、 !�7Ρ 。 。 气仃 一 二 乙 气仃 “ 一 − ‘ 少一 Β 厂 − Τ 【4 “ 十 Ψ乙 叹仃“ 一 Ζ ‘ 」“ 厂 − Τ 叹口 ‘ Η 二 , − ‘刀 一 上两式相减 , 并经过计算可得 Ξ Σ Κ �− “ 一 万 Σ 万 7 , �− “ 8 Β 军产户 % 一汀 ‘“‘ � [ 其中 环‘为总体的 % 阶中心矩 , 且假定它存在 ∗ 犷 − ∋ �护 的表达式可见 7 [ 〕 式 � [ 是对存在 % 阶中心矩的任何总体 > 都适合的公式 ∗ 对一些具体分布来说 , 式 � [ 的右边常是小于 ) 的 ∗ 例如 , 对·正态分布 ∴ �拌, − Ο , 因 拌。 Β Π − % , 于是 由 式 � [ 得 Ξ Σ Κ �− 勺 一 对 Σ Κ 「, �护 〕Β 对随机变量尤在区 间 �) , ) 上的均匀分布有 Κ �> Β ) , − Ο Β 犷− Τ �> Β 一念∋知‘] “ 九“( , ∃ % Β 命”‘ 于是由式 � [ 得 入了Σ Κ �− Ο 一 Ξ Σ Κ 7 , �− “ 〕Β 温碧绍”‘] ) ’ 0 Υ � 第 ! 期 刀切法与刀切沽1卜量性质 京 对上述两情形 , 都说明, �− ( 的均方误差增大了 ∗ 为了改善均方误差 , 用高阶 ,一估计量内 甚至可以完全消除偏差 , 且不增加均 方误 差 ∗ 例 ! 的情况是 &Μ − ∋ 7 , �) 〕Β 厂 − ∋ �的 的例子 ∗ 为说明 ,一估计量既减少偏差又同时 减少均方误差 , 我们有 例 [ 设营、体> 在区 间 � Λ , Λ 上均匀分布 , 即> 有 概 率 密 度 Χ� = Β !Μ ) , Λ] 二] 入 ⊥ �= Β Λ , 其它 ∗ 并设 �= , , ⋯ , = , 为取自总体 > 的随机样本 , =� , 成⋯簇=� 司 为顺序统 计量 ∗ 取 − � ( 的最大似然估计 3 Β = Τ, , 夕 Β , ∋ , Α Β ! , 则 ) Γ 1 二 · 劣 2 , , 义�。 一 = , ] , ∋ 二 0 由式 Λ 的 ,一估计量为 二 , 会、 月 一 ! ,, 戈6 Β 劣Τ, Η — 戈= Τ 6 Θ一 劣 Τ, 一 0 为 比较 , �的与 − 的偏差与均方误差 , 需要 = 闹 , =� , 一 ∃ Θ的分布 ∗ 注意 , 一 般的 , 若总体 > 有分布函数 ? �= , 密度 函数 Χ� 劝 , 则 价月 的密 度 7Δ� 为 ⊥ 6Θ ,‘> , Β不丁带不丽万&? “ , “’一 ‘〔‘一 ? ‘Μ ,“’ 一 , , ‘二 , 而 、�� , 为 , �玄] 了 的联合密度为 �对二《 夕 户。, , , , �= , , Β一 ∃一一攀一气下 7尸 �= 8 ‘一 ‘7? �, 一 尸 �二 8 , 一 , 一 ,气0 一 ! 少 ς 气8 一 蕊 一 ! 尹 ς Ψ 0 一 8 尹 ς· 7 ! 一 ? �夕 !“ 一 ’Χ �二 Χ �夕 于是对本题有关密度为 ‘Τ , 、 Χ�, �二 Β 0 = ”一 ‘Μ 口“ , ) ] 二 ] 口 = �, 一 ! 一Χ �, 一 , �二 Β 0 �。 一 ! = 日 一 “�口一 二 Μ # ∗ , ) ] 二] 口 �‘ �。 一 , , = �, 一 ∃ 、Χ �二 , : Β 0 �0 一 � 夕一 “Μ # ” , Λ] 夕� 二] # 于是有 Κ �= �, Β 00 Η !3 , Κ �= 入户 二 月0 Η (日( , Κ �= �, 一 Β ” 一 ! 0 Η ! 小 ∗ ∗!!)自一一Η儿一0Κ �二凡一 ∃少 Β 了 壑李异丝一。(气0 十 ! 又材 十 乙 Κ �= �, = �, 一 _ Β 从而 Κ �) Κ 7 , �# 〕Β # 一 #0 �0 Η ! ’ Ξ Σ Κ �# 二 ( ) ,—— ⎯ 一�0 Η ! �0 Η ( Ξ Σ Κ 〔Θ �# 〕Β Κ 【, �口 一 口8 ( Β ( �0 Ο 一 宁之Η ! 0 Ο �” Η ! �” Η ( 汕头 片货学报 �自然科学版 第 % 卷 �总第 < 期 、 由 上 面 结 果可见 ∗! �3 的偏差比 6 减少了 , 且 , �) 的均方误差也 比 − 的减少了 , 即 有 αΚ 6,面卜 “ ς 二 , ∋�二! ] 。皇, Β ς刀 �民 “ α Ξ Σ Κ 仁, �) 8 Β ( �0 Ο 一 0 Η ! ”“�0 Η ! �0 Η ( # ( ] (0 “�0 Η ! �0 Η ( 口( Β Ξ 夕百 �) 于是 , 此时的 , �3 是 3 的很好的改进 ∗ 事实上 , 从 , �) 的表达式 , �句Β > 。·, Η ”禽! �> 了, 少一。一 , 》 > ‘·少, ·》 ( 直观 Γ Ψ可以看出 , 它比 =� 耐 合理得多 ∗ �三 用 ,一估计 , 来构造近似里信区 间 , �Λ 的渐近性质 , 首先是 9 5 / 3 : 叫 提出的 ∗ 在那里他提出 , 伪值 ) ∋ ��’ 二 � , 二 , ≅ 可以 视为近似独立同分布随机变量 , 并利用它们来构作近似置信区 间 ∗ 具体地说 , 9 5 / 3 了 猜测随机变量 [ ’_ , �口 一 口 夕、甲 +了。�扩一 �、奢厌一 , �、, ( � # 近似地为 ≅ 一 ! 自由度的 + 分布 ∗ 于是我们由此可以得到一个关于 口 的近似置信 区间 。 9 6 / 3 : 和别的人此后使用这个猜测启示的方法得到十分满意的结果 ∗ 尹、岛沪 产、曰 尹声 、9 5 / 3 : 猜测的直观根据是 , 把伪值 ) , , ⋯ , Λ。 看作近暇独立样本时 , , �3 便是样本 均 。αΨ , ς! Μ �。一 ! ∋ 竺 ∋可一 , �郭〕( 便是样本方差 ∗ 因此根据中心极限定理可以 猜 测 云一 ! 近似地有式 � # 在 〔% 〕 中 , 有关于近似置信区间方法的理论探讨 ∗ 〔% 〕 中并引用了一个例 子 , 说明在标准统计方法难于应用的情况下 , 利用 9 5 / 3 : 的猜想来构造置信区间 是一种可 行的方法 ∗ 但这一方法并不都是有效的 , 在 7 Π 」中 Ξ 1� �3 Τ 对均匀分布的 9 , 作了 深 入 细致的研究后得到结论 ∋ 此时 , 9 , 的渐近分布或是退化的或是非正态的 , 因而不 可 能 服从近似 + 分布 ∗ 关于 9 , 的适用性问题在一些文献中也作了讨论 ∗ 三 、 利用 ,一方法作估计量偏差和方差的估计 假定 已用随机样本 �二� , ⋯ , 汽 对分布参数 ) 作了估计 ) 二 )� 二 , , ⋯ , = , 。 那末 , 我们面临着如何求偏差百以 ) 一 口与方差犷− Τ? �3 �为简单 , 下面略去下标 ? 的 问 题 。 当我们没有充分理由对支配样本信 息的分布族作某种假定的时候 , 或是基本分布族 第 ! 期 刀 勿 次 与 刀 切 沾 1十景 性 谈 的性质虽然可以假定 , 但估计量或统计量本身是 卜分复杂以致实际上不可 能推导出它的 分布时 , 象上面这样的问题就很难精确地去解决 ∗ 这时我们可以采用 ,一方法估计 ∗ �一 关干偏差的估计 先引进一个记号 ∋ 介 Γ 、今声一、3 ∋ 。 , 口专或 � ∀ 那末关于偏差 Κ �− 一 日的4 6 3 0 6 5 1��3 的一个 2占计是 言Β �夕一 ! �口� ∗ 一 − � !) 所以用 � !) 作为偏差的估计 , 是基于 , 一估计量减少偏差的想法 , 即我们用 − 的偏 差 Κ �) 一 口减去, �3 的偏差 Κ 〔, �3 一 38 作为偏差的一种估计 , 即因 Κ �# 一 # 一 Κ 〔, �# 〕Η # Β Κ 7 # 一 , �日 」 故取偏差估计为 客+ , 一 ‘。一 ‘, ‘礼 一‘!+一≅≅·β Β 口一 , �− Β 3 一 χ ≅ − 例如 , 对例 ! , 可得丁 的偏差 β 二 ) ∗ 这时是正确的偏差估计 ∗ 对例 ( , 可得 护 的 偏差估计为 个 ! 劝 一 、 。Λ 二 一— 一一二叹 夕 �> ∗ 一 > ,‘”气 0 一 ! 州对例 [ , 得 = 闹 的偏差估计为 令 0 一 ! , 口 “ 一万一 火义闹 一 潇伽 一’ �二 关于方差的估计 怎样对 Λ 的方差 Φ − Τ� ) 作非参数估计 , 9 5 / 3 : 提出了使用 ,一方法 , 他的公 式 是 厂 − Τ �# 艺必 一礼” �! ! ,!一∗∀≅一一 在某些情况下已经证实用式 � ! ! 作为 犷−Τ �) 的估计是有用的 , 也有失败的 情 况 。 () 汕头大学学报 怕然科学版 第 % 卷 �总第 <期 参 考 文 献 介 , ∗,勺,∗,,Τ ∗,&0乙,⎯通ΕΦ99==�9)Γ尸)9 布 〔> 7 Η Α 〕 Η 了〕 Η Ι 〕 ≅ ϑ = / Κ ϑ 6 −−= , Λ ) Μ ) Ν 6 Κ Ο = 8 Φ 6 Π ∋ , 1Θ > Α Χ Ρ 4 % 4 > 4、 4 Α ! Σ ϑ Τ = Υ , � ) ς ) Ω ) 入1 ) > ) , 1Θ > Ι Χ # Θ % Α 1Ρ Λ 6 −−= Φ , Ξ ) Ψ ) �Φ ) Ω ) Λ 、 > ) , 1Θ Α Ρ Χ 4 > % 1 > Θ Ρ” 1 Α! > Ψ Φ ∋ Υ , Μ ) 9 ) ∋ / Ζ [ = 0 ϑ = ∋ / Υ , ς ) Ξ ) Σ 0 = Ψ = / = Φ ∋ −6∴ = Ζ �∋ = Τ Τ / 6 ] = [ 8 ∋ 8 6 ⊥ 8 6 = ⊥ ) _ = ⎯ α Κ Φ Τ % Λ ∋ Φ % = − β = Τ Τ = Φ ) 1 Θ χ # Λ 6 −−= Φ Ξ 。 Ψ ) Ν 6 Κ Ο = 8 Φ 6 Τ ∋ , 1Θ χΡ Χ Α 1 % 1: 1 > < ] Φ Κ / Ν ) Ω ) [ ) , 1Θ了Θ % χ % −、 # Α 复旦大学 ) 数理统计 第 1 分册 ) ∀ 北京 % 人民教育出版社, 1 Θ χ Θ % Ι 谢尔 登 · 罗斯著 Χ 一粼葡有, 杨振明译 )慨率沦初吸教涅 ) 北京 % 人民教育出版吐 ) 1Θ Ι1 % Ι! 、 ⊥1 Σ 0= �∋ = Τ Τ/ 6]= ∋ / Ζ δ Φ Κ δ= Φ 8 6 = ⊥ Κ ] Σ 0 = �∋ = Τ Τ / 6]= Ζ < ⊥ 8 6Ο ∋ 8 Κ Φ ⊥ 丫 Μ Κ / . ∗ ∋ 6+6 β = δ∋ Φ 8 。 。 / 8 Κ ] < ε ! ! ! 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