四、旋转体的侧面积(补充)三、已知平行截面面积函数的立体体积第二节一、平面图形的面积二、平面曲线的弧长定积分在几何学上的应用第六章一、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线与直线及x轴所围曲则边梯形面积为A,右下图所示图形面积为例1.计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积.解:由得交点例2.计算抛物线与直线的面积.解:由得交点所围图形为简便计算,选取y作积分变量,则有例3.求椭圆解:利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b时得圆面积公式一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程给出时,按顺时针方向
规定
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起点和终点的参数值则曲边梯形面积例4.求由摆线的一拱与x轴所围平面图形的面积.解:2.极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为对应从0变例5.计算阿基米德螺线解:到2所围图形面积.例6.计算心形线所围图形的面积.解:(利用对称性)心形线(外摆线的一种)即点击图中任意点动画开始或暂停尖点:面积:弧长:参数的几何意义例7.计算心形线与圆所围图形的面积.解:利用对称性,所求面积例8.求双纽线所围图形面积.解:利用对称性,则所求面积为思考:用定积分表示该双纽线与圆所围公共部分的面积.
答案
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:二、平面曲线的弧长定义:若在弧AB上任意作内接折线,当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧AB的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.则称(1)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长(3)曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分):例9.两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,成悬链线.求这一段弧长.解:下垂悬链线方程为例10.求连续曲线段解:的弧长.例11.计算摆线一拱的弧长.解:例12.求阿基米德螺线相应于0≤≤2一段的弧长.解:(P349公式39)三、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,特别,当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有例13.计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:方法1利用直角坐标方程则(利用对称性)方法2利用椭圆参数方程则特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积例14.计算摆线的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转而成的立体体积.解:绕x轴旋转而成的体积为利用对称性绕y轴旋转而成的体积为注意上下限!注分部积分注(利用“偶倍奇零”)例15.一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x轴的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.思考:可否选择y作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?提示:星形线星形线是内摆线的一种.大圆半径R＝a小圆半径参数的几何意义(当小圆在圆内沿圆周滚动时,小圆上的定点的轨迹为是内摆线)内容
小结
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1.平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2.平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程弧微分:直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意:求弧长时积分上下限必须上大下小3.已知平行截面面面积函数的立体体积旋转体的体积绕x轴:绕y轴:思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积A及边界长s.提示:交点为弧线段部分直线段部分以x为积分变量,则要分两段积分,故以y为积分变量.2.试用定积分求圆绕x轴上半圆为下求体积:提示:利用对称性旋转而成的环体体积V.
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