线代框架之二次型
1.定义:二次型
(其中
,即
为对称矩阵,
)。只含平方项的二次型称为二次型的标准形(此时二次型的矩阵为对角矩阵)
经过
化为
标准形(其中
).注:二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由
唯一确定的.标准形的系数只在1,-1,0三个数中取值的称为二次型的
规范
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形,任意二次型均存在可逆变换化为规范形。
2.合同:
与
合同 设A和B是n阶矩阵,若有可逆矩阵C使得
,则称A与B合同。合同的性质:
;合同变换不改变二次型的正定性.
√ 两个矩阵合同的充分必要条件是:它们有相同的正负惯性指数.√ 两个矩阵合同的充分条件是:
√ 两个矩阵合同的必要条件是:
用正交变换法化二次型为标准形:
1 写出二次型的矩阵A;②求出
的特征值、特征向量;③对
个特征向量正交化,单位化;
④ 构造
(正交矩阵),作变换
,则
新的二次型为
,
的主对角上的元素
即为
的特征值.技巧:取正交的基础解系,跳过施密特正交化。例如:
取
,
.
用配方法化二次型为标准形:原则:配方时每次把一个字母处理干净
3.正定二次型:惯性定理:设有二次型
,秩为r,有两个可逆变换
及
使得
及
则
中正数个数与
中正数个数相等。
正惯性指数 二次型的标准形中正项项数
;负惯性指数二次型的标准形中负项项数
(
为二次型的秩)。二次型的规范形唯一,实对称矩阵的正(负)惯性指数等于它的正(负)特征值的个数.
正定二次型
不全为零,
.正定矩阵 正定二次型对应的矩阵.
正定矩阵的性质:①若
为正定矩阵
也是正定矩阵. ②若
为正定矩阵
为正定矩阵,但
不一定为正定矩阵.
为正定二次型充要条件
(之一成立):
1
,
;
2
的正惯性指数为
(或规范形n个系数全为1);
3
的特征值全大于
;
4
的所有顺序主子式全大于
;
5
与
合同,即存在可逆矩阵
使得
;
6 存在正交矩阵
,使得
(
大于
).
7 存在可逆矩阵
,使得
;
为正定矩阵的必要条件:①
; ②
.