丹东师专学报一九九四年第三期关于非凸多边形及其内、外角和的探讨于利民王振山提要。本文给出了非凸多边形的内角和与外角和的计算
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关键词:非凸多边形内角和外角和,,在某些数学书目中仅对凸多边形及其内少有一个内角大于二且称大于二的内角为非凸,和角和的问了而对凸多。,角与外
题
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作论述非边多边形的凹角这样也可把至少含有一个内角、,,.形及其内外角和方面问题的研究笔者至今为凹角的多边形称为非凸多边形把小于7r的。,尚发在凸多关的。未现此试在边形有理论基内角称为非凸多边形的凸角,础上提出这个问题可算作是凸多边形有关理延长非凸多边形的任意一条边与它的邻边,.的广以、论推供探讨所成的在该多边、一非凸多边形的概念形外小于兀的那个,如果延长多边形的任何一条边整个多边,角称为非凸多边形不都在这边延长线的同旁,种多边形就称乏.的角如右图.形外为非凸多边形下列各图形都属于非凸多边],,.中的23,形匕匕匕.乙4均称为该非凸四边形的内角,且乙1匕2,玉匕4又称为该非凸四边形的凸角匕3称为该非,凸四边形的凹角而匕凡匕6,乙7,匕8均称为厂.八凸四的角在由图顺指出的坟该非边形外此可便图1图2二图了图4是:非凸多边形的每一个凸角与其相邻的外角之、、、、了,其中图图2图3图4可依次称为非凸四和均为兀而每一今凹角与其相邻的外角之和均,,,.边形非凸五边形非凸六边形非凸十边为2兀,.、、、形等等二非凸多边形的边数(l)凸角数(n)凹角,。可见判别一个多边形是否为非凸多边数(动及其它们间的关系:看下表、,形只要延长它的任一条边进行观察即可如由表可得:.果这个多边形不总是在它的任一边延长线的同命题1一1非凸n(n)4的自然数)边形的边,.旁则这个多边形就是非凸多边形数n等于该非凸n边形凸角个数p与凹角个数叼,.在非凸多边形内相邻两边的夹角称为非凸之和即:n=P+.q..多边形的内角非凸多边形至少有四条边非凸事实上,由非凸多边形的边数与内角个数相.多边形边数与内角的个数相同非凸多边形至等可知,非凸n边形有。个内角,而在非凸拉边形名称图形凸角p)个凹角q)个关系((非凸四边形厂认3)1)=3+1((4非凸五边形吐二了1=+1544.厂火了)2)=3+2((5非凸六边形吐了夕16=十I55,一止夕426=4卜2<3了6=了+3式又()()非凸七边形/刁617=6+1~437=4+了\二二/(3)(4)7=3+4一岁527=5+2卜二了一非凸n边形(”一1)1(n=P+q)(了)(摊一3),.,的内角中不是凸角就是凹角所以非凸n(n洲由前面已经知道,非凸n边形最少有一个。,,的自然数)边形的边数。等于该非凸边形凸角凹角最多有(n一3)个凹角且边数不同的非,,个数p与凹角个数q之和即凸多边形的凹角数可能不同也可能相同;边,,n=P一.q数相同的非凸多边形凹角数可能不同也可.nn,,命题I一’2非凸()4的自然数)边形能相同;那么对于凹角数相同而边数不同,.,最少有一个凹角最多有(n一3)个凹角的任意非凸多边形其外角和是个什么情形.n此命题的正确性也是显然的对非凸边形呢?.一.最少有一个凹角可通过反证法立即得证即假命题3有g(1蕊q簇n一J自然数)个内角n,设非凸边形一个凹角也没有则此多边形是凸为凹角的任意非凸n边形的外角和为,.多边形而这与题设是矛盾的万而)一(n十刃“一凡一(q+2).7rnn一,同法可证非凸边形最多有(3)个凹且当q确定时任意非凸n边形的外角和是.,.角假设非凸n边形有(n一2)个凹角则该多个定值.,..边形是不存在的所以命题是正确的证明:用归纳法证明我们还可以由前推得与命题1一2’相对应当q二I时,命题成立,即,二的另一个命题这就是凡(I)=气(I)一凡了一nn命非凸)多有n兀题工(4)边形最一(一)I+加一凡,.(n一)I凸角最少有3个凸角一(n+1)兀一凡、二非凸多边形的内角和与外角和=(n十I)兀一(n一2)7r.了nn非凸()4的自然数)边形的内角和=37T=(I本2)兀n,n同凸边形任意非凸(n)4的自然其中:瓦石)与气(I)分别表示有一个凹角数)边形都可通过画对角线的
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将其分成的任意非凸n边形的外角和与内外角之和,凡表,`.(n一2)个三角形而每个三角形的内角和又示内角和,二:,,都等于由此可得假设当q一k时命题成立即n..2凸)4的然内n兀7r命题非(n自数)边形的凡(k)=(+k)一凡=(k+2)成立n兀,角和为凡一(一2)当q=k一1时即任意非凸n边形有.,:n一,证明用归纳法可证当4时非凸四边(k+)I个凹角有【n一(k+1)1个凸角时有,,形可分成两个三角形如下图I即非凸四边形瓦获不万=l。一(k+I)]7r十(k”垠7T一凡.,s`=兀二一7rn=的内角和为2(42)当,时=Ln十(k+1)]兀一气,如图2,图3即非凸五边形的内角和为一【n十(k十了)]兀一(n一2她._十十“凡一3兀一(5一2)7t=【(k)I刁,.对I毛q`n一3的一切q命题都成立即有q(I(q续n一J自然数)个内角为凹角的任意非凸n边形的外角和在q确定时为定值:瓦而卜(q+2).7T,另需特别指出的是:在例题3中当凹角数q=O时(此时的多边形为凸多边形),外角和的,公式仍然有效.即:刃厕二(0*2)二=2二这正.,是凸多边形的外角和这样可把上述所推得图J的非凸多边形外角和公式的使用范围扩大到任,,.假设当n~k时命题成立即sk一(k一乃兀何多边形上去即:n,则当一k+I时此多边形即可分成(k一1)任何n边形(凸n边形与非凸n边形)的内,、,二.个三角形于是就有凡=(k一I)气(k+l)一2]兀角和为:凡二(n一2)7T,...所以对n)4的一切n命题都成立外角和公式为:瓦面二(q,2)二(其中:边.,,,,,2非凸n(n)4的自然数)边形的外角和数n)3的自然数凹角数q一OI2…n一3)
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