计算行列式的方法

计算行列式的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 1、 利用行列式的性质化为上（下）三角形行列式 【例 1】 计算下列行列式 （1） 11111 111 3322 2221 1111 1 " " """""" " " " nnnn n axaaa aaxaa aaaxa aaaax D −−− + = ； （2） )0( 11111 11111 11111 11111 11111 21 1 3 2 1 ≠ + + + + + = − n n n n aaa a a a a a D " " " """""" " " " （3） n nn n a aa a aa a D −− − −− −− = − + 11000 1000 00110 0011 0001 1 2 21 1 1 " " """""" " " " （三对角行列式） 解 （1） 注意到该行列式的最后一行元素全是 1，且第 i 行主对角线元素的右边均为 ia ，因此，只需最后一行的 ia− 倍加到第 i行，即可将行列式化为下三角形。 1+nD = 11111 0 00 000 0000 111 33232 221 1 " " """""" " " " nnnnnnn axaaaaaa axaaaa axaa ax −−−− −−− −− − −−− )())()(( 321 naxaxaxax −−−−= " （2）将第一行的（-1）倍加到第 i 行（i=2,3, …,n），可得 n n n aa aa aa aa a D 000 000 000 000 11111 1 11 31 21 1 " " """""" " " " − − − − + = − 由于 0≠ia ，将第 i列的 ia a1 倍加到第一列（i=2,3, …,n） n n nn a a a a a a a a a a a aa 0000 0000 0000 0000 11111 1 3 2 1 1 1 3 1 2 1 1 " " """""" " " "" − − ++++++ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += ∑ = n i i n a aaaa 1 321 11" （3）将该行列式的第一行加到第二行，再把所得的行列式第二行加到第三行，再把所 得行列式的第三行加到第四行，…，如此下去，最后把所得行列式的第 n 行加到第 n+1 行， 可得： n nn n nn n a aa a a a aa a a a D −− − = −− − −−= −− + 11000 1000 00100 0010 0001 11000 1000 00110 0010 0001 1 2 1 1 2 2 1 1 " " """""" " " " " " """""" " " " 1 10000 1000 00100 0010 0001 11000 1000 00100 0010 0001 2 1 2 1 == −− == " " """""" " " " " " """""" " " " " n n n a a a a a a a 2、 降阶法 先利用行列式的性质将行列式化为某行（列）只含一个（或尽量少）的非零元素，然后 按此行（列）展开，由此转换成较低阶行列式的计算。 【例 2】 计算下列行列式 （1） ab a a a ba Dn 000 0000 0000 0000 000 " " """""" " " " = (2) nn nn Dn −− − − − = 11000 00220 00011 1321 " """""" " " " 解 （1）第一列只有两个非零元素，所以按第一列展开，得 ( ) ( ) 000 000 000 000 1 000 000 000 000 1 111 a a a b b a a a a aD nn " """"" " " " " " """"" " " ++ −+−= 第二个行列式按第一行展开 ( ) ( ) ( ) 221111 00 00 00 11 −−++− −=−−+= nnnnn aba a a a bbaa " """" " " （2）注意到从第二行开始每行元素的和为零，所以，把第二，三，，，n 列加到第一列， 可得 nn nnn Dn −− − − −++++ = 11000 00220 00010 132321 " """""" " " "" 按第一列展开 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 !11121 2 1 1100 0022 0001 2 1 1 +−=−−−+= −− −−+= − nnnn nn nn n" " """"" " " ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 22 222121 2 111 2 1 0001 001 001 001 2 1 2 −−−−−− +−=−−+= − −− −− −−+= n nnnnn nnnnnn n n n nn " " " """"" " " τ 3、 递推公式法 利用行列式的展开公式，将 n阶行列式表示成具有相同结构的较低阶行列式的线性关系 式 baDD nn += −1 或 21 −− += nnn bDaDD ，再根据所得的关系式递推求出所求的 n 阶行列 式的值。 【例 3】 计算下列行列式 2, 1000 0000 0010 0001 1221 ≥ − −− = −− n aaaaa x x x x D nnn n " " """""" " " " 解 按第一列展开，得 ( ) 100 000 001 0001 1 100 000 001 1 1221 − − − −+ − − = + −− x x x a aaaa x x x xD nn nn n " """"" " " " " " """"" " " ( ) ( ) 111 11 −+− −−+= nnnn axD nn axD += −1 得递推关系式： nnn axDD += −1 由此递推得 nnn axDD += −1 nnn aaxDx ++= −− )( 12 nnnnnnn axaaxDxaxaDx +++=++= −−−−− 1232122 )( nnn nn nnnn axaaxaxDx axaaxDx +++++== +++= −− −− −−− 12 2 3 3 2 2 12 2 3 3 "" ( ) nnnnn axaaxaxaxax ++++++= −−−− 12233212 " nnn nnn axaaxaxaxax ++++++= −−−−− 122332211 " 4、 拆分法 利用行列式的性质 4将行列式拆分成若干个同阶行列式之和，然后求出各行列式的值， 即可求得原行列式的值。 【例 4】 计算下列行列式 2 21 2 2 212 121 2 1 1 1 1 nnn n n n xxxxx xxxxx xxxxx D + + + = " """" " " ； 解 由于此行列式任何一行（列）的任何倍数加到另一行（列）都只能使行列式变得更 为复杂，。因此我们考虑按最后一列将行列式拆成两个。即 2 21 2 2 212 121 2 1 21 2 212 21 2 1 2 21 2 2 212 121 2 1 1 1 1 01 01 1 01 01 nnn n n nn nnn n n n xxxxx xxxxx xxxxx xxxx xxx xxx xxxxx xxxxx xxxxx D " """" " " " """" " " " """" " " + + ++ + = + ++ ++ = 将第一个行列式按第 n 列展开，得到阶数为 n-1 阶形式与原行列式完全相同的行列式，对第 二个行列式，先从第 n 行提出一个公因子 nx ，再从所得行列式的第 n 列提出公因子 nx = ( ) 2 12111 12 2 212 1121 2 1 1 1 1 11 −−− − − + + + + −× nnn n n nn xxxxx xxxxx xxxxx " """" " " + n n n n xxx xxxxx xxxxx x " """" " " 21 2 2 212 121 2 1 1 1 + + = 1−nD + 1 1 1 21 2 2 212 121 2 1 2 " """" " " xx xxxx xxxx xn + + 将第 n 列的 ( )ix− 倍加到第 i 列（i=1,2,…,n-1） = 1−nD + 21 2 1 2 100 10 01 nnn xD x x x += − " """" " " 得到递推关系式 nD 2 1 nn xD += − 由此递推得： nD 2 1 nn xD += − 212 −− += nn xD 2nx+ 221 xD +==" 221 nn xx +++ −" 2 2 2 11 xx ++= 221 nn xx +++ −" 5、 加边法 在原行列式之中增加一行一列，得一 n+1 阶行列式，通过计算该行列式得到原行列式的值。 【例 5】 计算行列式 n n nn n n nn n n n xxx xxx xxx xxx D " " """" " " " 21 22 2 2 1 22 2 2 1 21 111 −−− = 分析：此题很象范德蒙德行列式，但从方幂上看，缺了 n-1 次幂。因此，增加一行一列， 使之成为范德蒙德行列式。再利用范德蒙德行列式的结论来计算。 解：构造 n+1 阶范德蒙德行列式 n n n n nn n n n n nn n n n n nn nn nn n xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx F 121 1 1 11 2 1 1 2 1 22 2 2 1 2 1 22 2 2 1 121 1 1111 + − + −−− − + −−− + + + = " " " """"" " " " 由范德蒙德行列式的结论知， =+1nF ( )∏ +≤<≤ − 11 nij ji xx 现将行列式 1+nF 按第 n+1 列展开，可得 =+1nF 1111111121132112111 ++++−++−−++++++ +++++++ nnnnnnnnnnnnnnnnn AxAxAxAxAxA " 比较 1+nnA 和所求行列式 nD 可看出， nD 其实是行列式 1+nF 中第 n行第 n+1列元素 1 1 − + n nx 的 余子式，即 有 1+nnA = ( ) ( ) nnnn DD −=− ++ 11 ， 因此所求行列式 nD 是行列式 1+nF 按第 n+1 列展开时展开式中 1 1 − + n nx 的系数的反号。 又 =+1nF ( ) ( ) ( )∏∏∏ = + ≤<≤+≤<≤ −−=− n j jn nij ji nij ji xxxxxx 1 1 111 ( )( ) ( ) ( )∏ ≤<≤ +++ −−−−= nij jinnnn xxxxxxxx 1 12111 " ， 由此可看出，在 1+nF 的展开式中， 1 1 − + n nx 的系数为 ( )∏∑ ≤<≤= −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛− nij ji n j j xxx 11 ， 因此 nD ( )∏∑ ≤<≤= −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= nij ji n j j xxx 11 。