第五章 四边形第23课 多边形与平行四边形1.多边形的内角和外角：n边形内角和是__________，外角和是______.一、考点知识，2.平行四边形的性质：如图，在▱ABCD中，(1)AB∥________，AD∥________；(2)AB＝________，AD＝________.(3)∠DAB＝∠________，∠ABC＝∠________，∠DAB＋∠ABC＝__________，∠DAB＋∠ADC＝__________.(4)AO＝________，OD＝________.(5)▱ABCD是________(填序号)．①轴对称图形，②中心对称图形.(n-2)·180°360°CDBCCDBCBCDADC180°180°OCOB②3.平行四边形的判定：如图，在四边形ABCD中，(1)若AB∥________，AD∥________，则四边形ABCD是平行四边形.(2)若AB＝________，AD＝________，则四边形ABCD是平行四边形.(3)若AB∥________，________＝________，则四边形ABCD是平行四边形.(4)若∠DAB＝∠________，∠ABC＝∠________，则四边形ABCD是平行四边形.(5)若AO＝________，OD＝________，则四边形ABCD是平行四边形.CDBCCDBCCDABCDBCDADCOCOB【例1】若凸n边形的内角和为1260°，求从一个顶点出发引的对角线条数.【考点1】多边形的内角和外角二、例题与变式解：六条【变式1】如果正多边形的一个外角为36°，那么这个多边形的边数有________条.10【考点2】平行四边形的性质【例2】如图，在▱ABCD中，M，N是对角线BD上的两点，BN＝DM，请判断AM与CN有怎样的关系呢？并证明你的结论.解：AM=CN，AM∥CN.证明:在△ABM与△CDN中,∵BN=DM,又BM=BN－MN,DN=DM－MN.∴BM=DN.①又四边形ABCD是平行四边形,从而AB=CD,②∠ABM=∠CDM.③由①②③.得△ABM≌△CDN(SAS)∴AM=CN（全等三角形对应边相等）.【变式2】如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1＝∠2.(1)求证：AE＝CF；(2)求证：AF∥CE.解：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB=CD，AB∥CD，∴∠CDF=∠ABD.∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠CFD.在△ABE和△CDF中，∠AEB＝∠CFD,∠CDF=∠ABD,AB＝CD.∴△ABE≌△CDF（AAS）.∴AE=CF.（2）由（1）,得△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵∠1=∠2，∴AE∥CF.∴四边形AECF是平行四边形.∴AF∥CE.【考点3】平行四边形的判定【例3】如图，A，E，F，C在同一直线上，已知BE∥DF，∠ADF＝∠CBE，AF＝CE.求证：四边形DEBF是平行四边形.证明：∵BE∥DF，∴∠BEC=∠DFA.∵在△ADF和△CBE中，∠BEC=∠DFA，∠ADF=∠CBE，AF=CE，∴△ADF≌△CBE（AAS）∴BE=DF.又∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形.【变式3】如图，在△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点．求证：四边形DECF是平行四边形.证明：∵D，F，E是△ABC各边的中点，∴DF，DE是△ABC的中位线.∴DF∥BC，DE∥AC.∴四边形DECF是平行四边形.A组1.六边形的内角和为______，外角和为__________.三、过关训练3.如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠B＝180°，∠A＋∠D＝180°.求证：四边形ABCD是平行四边形.2.一个平行四边形的一个外角是38°，这个平行四边形的内角的度数分别是____________________.720°360°38°,142°,38°,142°证明：∵∠A+∠B=180°，∠A+∠D=180°，∴AD∥BC，AB∥DC.∴四边形ABCD是平行四边形.B组4.已知：如图，E，F分别是▱ABCD的边AD，BC的中点．求证：AF＝CE.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，且E，F分别是AD，BC的中点，∴AE=CF.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，即AE∥CF.∴四边形AFCE是平行四边形.∴AF=CE.解：过C作CE∥AB交AD于点E,∵∠A+∠B=180°.∴AD∥BC∴∠D+∠C=180°.∴∠D=30°.又∵CE∥AB,∴四边形ABCE是平行四边形.∴AB=CE=8，AE=BC=6，∠BCE=∠A=120°.∴∠DCE=150°－120°=30°=∠D.∴CE=DE=6.∴AD=AE+DE=8+6=14.5．如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝6，∠A＝120°，∠B＝60°，∠BCD＝150°，求AD的长．C组6．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝60°，M，N分别是AD，BC的中点，BC＝2CD.(1)求证：四边形MNCD是平行四边形；(2)求证：BD＝MN.证明:（1）∵ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵M,N分别是AD,BC的中点，∴MD=NC.MD∥NC，∴MNCD是平行四边形.（2）如题图，连接ND，∵MNCD是平行四边形，∴MN=DC．∵N是BC的中点，∴BN=CN.∵BC=2CD，∠C=60°，∴△NCD是等边三角形．∴ND=NC，∠DNC=60°．∵∠DNC是△BND的外角，∴∠NBD+∠NDB=∠DNC.∵DN=NC=NB，∴∠DBN=∠BDN=∠DNC=30°.∴∠BDC=90°．∵tan∠BDC=，∴DB=DC=MN．
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