《量子力学》题库

《虽子力学》题库一、简答题1试写了德布罗意公式或德布罗意关系式，简述其物理意义答：微观粒子的能量和动量分别 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为：其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来。等式左边的能量和动量是描述粒子性的；而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。2简述玻恩关丁波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？答：波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平■方）和在该点找到粒子的几率成正比。按这种解释，描写粒子的波是几率波。3根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。答：根据量子力学中波函数的几率解释，因为粒子必定要在空间某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率总和为1,因而粒子在空间各点出现的几率只决定丁波函数在空间各点的相对强度而不决定丁强度的绝对大小；因而将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，这是其他波动过程所没有的。4设描写粒子状态的函数可以写成Cl1C22,其中G和C2为复数，1和2为粒子的分别届丁能量E1和E2的构成完备系的能量本征态。试说明式子G1C22的含义，并指出在状态中测量体系的能量的可能值及其几率。答：C11C22的含义是：当粒子处丁1和2的线性叠加态时，粒子是既处丁1态，乂处丁2态。或者说，当1和2是体系可能的状态时，它们的线性叠加态也是体系一个可能的状态；或者说，当体系处在态时，体系部分地处丁态1、2中。>一,2在状态中测量体系的能量的可能值为E1和E2,各自出现的几率为G和2c。5什么是定态？定态有什么性质？答：定态是指体系的能量有确定值的态。在定态中，所有不显含时间的力学量的几率密度及向率流密度都不随时间变化。6什么是全同性原理和泡利不相容原理？两者的关系是什么？答：全同性原理是指由全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。泡利不相容原理是指不能有两个或两个以上的费米子处丁同一状态。两者的关系是由全同性原理出发，推论出全同粒子体系的波函数有确定的交换对称性，将这一性质应用到费米子组成的全同粒子体系，必然推出费米不相容原理。7试简述波函数的标准条件。答：波函数在变量变化的全部区域内应满足三个条件：有限性、连续性和单值性。8为什么表示力学量的算符必须是厄米算符？答：因为所有力学量的数值都是实数。而表示力学量的算符的本征值是这个力学量的可能值，所以表示力学量的算符的本征值必须是实数。厄米算符的本征值必定是实数。所以表示力学量的算符必须是厄米算符。9请写出微扰理论适用条件的表达式。F（0）HmnF（0）EnEmi，Eno）Emo）10试简述微扰论的基本思想。答：复杂的体系的哈密顿量&分成伊与，两部分。在°是可求出精确解的，而#'可看成对色。的微扰。只需将精确解加上由微扰引起的各级修正量，逐级迭代，逐级逼近，就可得到接近问题真实的近似解。11简述费米子的自旋值及其全同粒子体系波函数的特点，这种粒子所遵循的统计规律是什么？答：由电子、质子、中子这些自旋为一的粒子以及自旋为一的奇数倍的粒子组成的全同粒子体22系的波函数是反对称的，这类粒子服从费米(Fermi)—狄拉克(Dirac)统计，称为费米子。12通常情况下，无限远处为零的波函数所描述的状态称为什么态？一般情况下，这种态所届的能级有什么特点？答：束缚态，能级是分立的。13简述两个算符存在共同的完备本征态的充要条件，并举一例说明(要求写出本征函数系)。在这些态中，测量这两个算符对应的力学量时，两个测量值是否可以同时确定？答：两个算符存在共同的完备本征函数系的充要条件是这两个算符对易。例如，[L2,LZ]0,这两个算符有共同的完备本征函数系丫田(，)。14若两个力学量的算符不对易，对这两个力学量同时进行测量时，一般地它们是否可以同时具有确定值？它们的均方偏差之间有什么样的关系？答：不可能同时具有确定值。它们的均方偏差之间满足海森堡不确定性关系。15请写出线性谐振子偶极跃迁的选择定则。答：ll'l116指出下列算符哪个是线性的，说明其理由TOC\o"1-5"\h\z一cd2cn4x2马；②2;③dxkid2解：①4x2上是线性算符dxD2不是线性算符nD是线性算符K117指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。18下列函数哪些是算符Q万的本征函数，其本征值是什么?dxQx2,②ex，③sinx,④3cosx,⑤sinxcosx解：①〈x2)2dx2x2不是d2&的本征函数。dx2D%xdxex不是d2&的本征函数,dx其对应的本征值为1。D-^y(sinx)—(cosx)dxdxsinx可见，sinx是当的本征函数，其对应的本征值为一1。dx-d2④土(3cosx)dx2—(3sinx)dx3cosx(3cosx)3cosx是当dx2的本征函数，其对应的本征值为一1。d?……、d/…一」、一」…6—(sinxcosx)——(cosxsinx)sinxcosxSdxd2证：因为［2U*（x）E⑵，所以2mdx凑全微分得：（1221）'0积分得：1221’常数3试证明：一维运动的束缚态都是不简并的dx(sinxcosx)一d2•■-sinxcosx是3Z的本征函数，其对应的本征值为一1。19I可下歹0算符是否是厄米算符：TOC\o"1-5"\h\z„1---勒②2（堆丽解：①1*（做）2d；x（?x2）d因为？x>??x•■-xpx不是厄米算符。•111〔［^（堆？x?）］2d-“xpx）2d21（pxx）2d-1（诳*是厄米算符。20全同粒子体系的波函数应满足什么条件？答：描写全同粒子体系的波函数只能是对称的或是反对称的，且它们的对称性不随时间改变。二、证明题1已知粒子在中心力场中运动，试证明l?x（角动量在x方向的分量）是守包量C证：因为粒子在势函数为U（r）的中心力场中运动时，哈密顿算答是因为l?x与、有关而与r无关，且［&|?］0所以，［?x,任］02试证：对丁一维运动，设有两个波函数1及2是对应丁同一级量E的解，则''......■.一一.....1221常数。其中，“是对x的微商。证明：设1和2是对应丁同一能级E的不同本征态，则1221常数。在特例下，令122l'0,即由此得：1C'2所以1和2描述同一个态。4试在一维情况下证明哈密顿算符是厄米算符。证明：考虑一维情况源为厄密算符，2烟源为厄密算符，矿⑴为实数"招为厄密算符？??????？.'一五=^+P为厄密算符5已知轨道角动量的两个算符£1和J^共同的正交归一化本征函数完备集为上，44A4m取上二上士辽蚪试证明：晶上？弛是可和L共同本征函数，对应本征值分别为:巾+1炉，豚±w。?证丁亿'妇"即(鸵?•'士W?是£/的对应本征值为义」'+1)?的本征函数???????????????•.'士％是A的对应本征值为〔倒-功?的本征函数6.证明在定态中，几率流与时间无关。证：对丁定态，可令可见J与t无关。7在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U(x)U(x),证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为2d2厂dX"(X)U(X)(X)E(x)①将式中的乂以(x)代换，得2d2厂云(X)U(X)(X)E(x)利用U(x)U(x),得2d2广云(X)U(X)(X)E(x)③比较①、③式可知，(X)和(X)都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由丁它们描写的是同一个状态，因此(X)和(X)之间只能相差一个常数c方程①、③可相互进行空间反演(XX)而得其对方，由①经XX反演，可得③，(x)c(x)④由③再经XX反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。(x)c(X)⑤④乘⑤，得可见，c21当c1时，(X)(X),(x)具有偶于称,当c1时，(X)(X),(x)具有奇宇称,当势场满足U(x)U(x)时，粒子的定态波函数具有确定的宇称8证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是证：电子的电流密度为在球极坐标中为式中er、e、e为单位欠量nm中的r和部分是实数。ie2rsin(im.2imnm)eem2rsinnm可见，JerJe09如果算符？、？满足关系式????1,求证①？?2?2?2②???3?3?2证：①？?2?2?(1?2?)②？?3?3?(2??2?)10证明：?x?y?zi证：由对易关系?x?y?y?x2i?z及对易关系?x?y?y?x0,得上式两边乘?z,得:?y?zi?2••?2111证明(2)SS3）和A组成的正交归一系。证：S1）S(1)S1/2(Slz)1/2(S2z)][1/2(S1z)1/2(S2z)]1/2(S2z)1/2(S2z)=11/2(S2z)=01/2(S2z)1/2(5z)1/2(S1z)[1/20)1/2如)0]=0同理可证其它的正交归一关系。证明12对丁无限深势阱中运动的粒子（如图所示）并证明当n时上述结果与经典结论一致。［解］写出归一化波函数：2nx/』、—sin(1)aa先计算坐标平■均值:利用公式：xsinpxdxxcospxpxsinpxcospxq、侍xcospxdx——(3)PP—r—2—2—xcospxp1-^sinpx(5)3p计算均方根值用(x02x2x,x以知，可计算x利用公式x2cospxdx—x2sinpxp122n22(6)在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在(0,a)范围中运动，各点1的几率密度看作相同，由丁总几率是1,几率密度-。a故当n时二者相一致。13设q,pih,f(q)是q的可微函数，证明下述各式：[一维算符]q,p2f(q)2hipf.(证明)根据题给的对易式及q,f(q)0；[q,pf(q)p]ih(fqpf)(证明)同前一论题[q,f(q)p2]2ihfp[证明]同前一题论据：[p,p2f(q)]-p2f'i[证明]根据题给对易式外，另外应用对易式h一i[p,pf(q)p]丁pfpi(证明)论据同(4):[p,f(q)p2]hfip2i(证明)论据同(4):14设算符A,B与它们的对易式[A,B]都对易。证明（甲法）递推法，对第一公式左方，先将原来两项设法分裂成四项，分解出一个因式，再次分裂成六项，依次类推，可得待证式右方，步骤如下：按题目假设重复运算n-1次以后，得15证明】（P#冲：）是厄密算符证明）本题的算符可以先行简化，然后判定其性质是厄密算符，因此原来算符也是厄密的。另一方法是根据厄密算符的定义：用丁积分最后一式：前式=说明题给的算符满足厄密算符定义。16定义[A,e?]ABBA（反对易式）证明：其中?,F?],F?]4[[A,H],H]（2）dtII此式遍乘2即得待证式18试证明：一维运动的束缚态都是不简并的证明：设1和2是对应丁同一能级E的不同本征态，则1221常数。在特例下，令12210,即由此得：1C'2所以1和2描述同一个态。19证明泡利矩阵满足关系+CFtT=0i*-a■卢,=2j(js???20试在一维情况下证明哈密顿算符是厄米算符。证明：考虑一维情况d/为厄密算符，2烟为厄密算符，矿⑴为实数?⑴为厄密算符？??????？「一，=宁+於为厄密算符21已知轨道角动量的两个算符月和上共同的正交归一化本征函数完备集为'如,4444取士屿,试证明：£±心？?也是月和与共同本征函数，对应本征值分别为：巾+1肖七S土玲。?证、也£」=。即区)?•五士」制？是目的对应本征值为'+1)?的本征函数???????????????•.z士丫血是;的对应本征值为S-也？的本征函数2222证明：描写全同粒子体系的波函数的对称性不随时间改变证明：设t时刻波函数是对称的，用s表示，因为H?是对称的，所以H?s在t时刻也是对称的，由知，T在t时刻也是对称的，故在下一时刻的态函数：S—jdt也是对称的以此类推，波函数在以后任意时刻都是对称的。同理可证，若某一时刻波函数反对称，则以后任一时刻的波函数都是反对称的。三、计算题1由下列定态波函数计算几率流密度：从所得结果说明1表示向外传播的球面波，2表示向内（即向原点）传播的球面波。解：由和七只有r分量11在球坐标中r0—eerrrsin』与r同向。表示向外传播的球面波。可见，J2与r反向。表示向内（即向原点）传播的球面波。2一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解：U（x）^ft无关，是定态|可题。其定态S一方程在各区域的具体形式为2mdx2I(x)U(x)1(x)E1(x)Q2d222mdx2(x)E2(x)2d2Z22mdx3(x)U(x)3(x)E3(x)3由于(1)、⑶方程中，由丁U(x),要等式成立，必须即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为d22(x)dx22mE2(x)0令kn—xdx1a绊其解为2(x)AsinkxBcoskx④根据波函数的标准条件确定系数A,B,由连续性条件，得得A2asin0a.msinxbansin—xdxaamn2En22ma^(n1,2,3,)可见E是量子化的。2(0)1(0)庄2(a)3(a)®B0Asinka0n2(x)Asin——xa由归一化条件对应丁En的归一化的定态波函数为3求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。解：(x)12x22xe2di(x)令dx0,得显然不是最大几率的位置可见x-匚是所求几率最大的位置。I4一维谐振子处在基态(x)由1(x)的表达式可知，x0,x时，1(x)0。(1)势能的平■均值U⑵动能的平■均值T动量的几率分布函数。解:1(1)?U-22xdx⑶c(p)*p(x)*_9(x)?2(x)dx(x)dx动量几率分布函数为5氢原子处在基态(r,r/ao(1)r的平均值;2⑵势能旦的平■均值;r最可几半径；动能的平均值；动量的几率分布函数。解：(1)Fr(r,,)d2r/a°2・rersindrdd(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为令/。0,a0(r)0为几率最小位置a°是最可几半径TOC\o"1-5"\h\z21211一2(r—)(sin—)—2rrrsinsin*(5)c(p)p(r)(r,,)d动量几率分布函数6设t=。时，粒子的状态为求此时粒子的平■均动量和平■均动能。解：（x）A[sin2kx*coskx]A[%（1cos2kx）^coskx]可见，动量pn的可能值为02k2kkk2k22k222k22,Pf,…2k22动能旦的可能值为0空一2对应的几率n应为上述的A为归一化常数，可由归一化条件，得•A1/动量p的平■均值为7设氢原子处丁状态求氢原子能量、角动量平■方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。解：在此能量中，氢原子能量有确定值角动量平■方有确定值为角动量Z分量的可能值为其相应的几率分别为13—，—44其平均值为8试求算符F?ieix—的本征函数。dx解：F?的本征方程为ceFeix（F是F的本征值）盹里：En对角元:xmm当时，mnxmna2_._2m顼axsin—xdx0aa22a,.mn..(sin—x)x(sin——)dxa0aad2d9设波函数(x)sinx,求[(一)x][x一]?dxdx解：原式[(—)x][(—)x][x&[xQ]dxdxdxdx10证明：如果算符A?和E?都是厄米的，那么(A+B?)也是厄米的证：1*(AE?)2d活2d怕2dA+e?也是厄米的。11求欧雄?解：踞W(yPZ剧)W任(他评=012求奂？xLx?&父xLy?伫父xLZ?解：&?xiX(弟弟)父救磴羽)=013求在动量表象中角动量Lx的矩阵元和L：的矩阵元"13PrPr解：(Lx)pp(―)e(y?zz?y)ed14求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元解：基矢：un(x)J—sin—xaa222n15求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。解：^?打22x22x22216求连续性方程的矩阵表示解：连续性方程为(*T?t写成矩阵形式为T?*)17设一体系未受微扰作用时有两个能级：E01及E02,现在受到微扰H?的作用,微扰矩阵元为H12H21a,HuH22b；a、b都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。解：由微扰公式得〈旦匚(1)⑴侍E01H11bE02H22b能量的二级修正值为18计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。23解：Amk2「mk4esmkc3由选择定则1,知2s1s是禁戒的故只需计算2p1s的几率而「212X212p有三个状态，即210,211211先计算z的矩阵元zrcos⑵计算x的矩阵元xrsincos(3)计算y的矩阵元yrsinsin-sin(eei)rsin(eiei)2i⑷计算f19求线性谐振子偶极跃迁的选择定则解：Amk「mk由Xk2Xmkk1时，Xmk022即选择定则为mmk120一维无限深势阱(0xa)中的粒子受到微扰&和Sy的测不准关系:作用，试求基态能级的一级修正。解：基态波函数(零级近似)为..•能量一级修正为21求在自旋态1(Sz)中，2解：在Sz表象中1(sz)、Sx、Sy的矩阵表示分别为二在1(Sz)态中2讨论：由Sx、sy的对易关系[&，Sy]iSz要求(Sx)2(Sy)2222Sz4(Sx)2(Sy)216在；(Sz)态中,Sz「JSx)"Sy)216可见①式符合上式的要求。22求Sx-01及S210yi的本征值和所届的本征函数。0解：gx的久期方程为§x的本征值为设对应丁本征值-的本征函数为21/2a〔由归一化条件1/21/2即2a121a1对应丁本征值-的本征函数为1/22TOC\o"1-5"\h\z设对应丁本征值-的本征函数为1/222b2由本征方程Sx1/2-1/2922b2由归一化条件，得即2a221•,-a2-1b2二2.2对应丁本征值-的本征函数为211/21同理可求得&的本征值为歹其相应的本征函数分别为23求自旋角动量(cos,cos,cos)方向的投影本征值和所届的本征函数。TOC\o"1-5"\h\z在这些本征态中，测量gz有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？Sz的平■均值是多少？解：在Sz表象，Sn的矩阵元为其相应的久期方程为22即：2—cos2—(cos2cos2)04所以Sn的本征值为-n2设对应丁Sn-的本征函数的矩阵表小为2由归一化条件，得1coscosicosTOC\o"1-5"\h\z取aJ，得b[-22(1cos)可见，Sz的可能值为-一2222』相应的几率为1cos塑―C£^WS22(1cos)2同理可求得对应丁&-的本征函数为2在此态中，Sz的可能值为-2相应的几率为1；s1R2i(r)Yii(,)24设氢的状态是2•3「—R21(r)丫10(,)2①求轨道角动量z分量|?z和自旋角动量z分量Sz的平■均值;②求总磁矩的z分量的平■均值(用玻尔磁矩子表示)。解：①小可改写成从小的表达式中可看出？z的可能值为0相应的几率为相应的几率G2为13(4)②Mz-^Lz225一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？解：体系可能的状态有4个。设两个单粒子态为i,j,则体系可能的状态为26设体系处丁C1Y11C2Y20态，求I?的可能测值及其平■均值。俨的可能测值及相应的几率1?,付，的可能测值。(解)(1)按照习惯的表示法盅(，)表示角量子数为l,磁量子数m的，(俨,1?)的共同本征函数，题材给的状态是一种俨,1?的非本征态，在此态中去测量俨,竹都一.…、.一、22只有不确正，下面假正ClC21从(，)CiYiiC2Y20看出，当体系处在Yii态时,lx的测值，处在丫20态时，lx的测值为零。?在态中的平■均值乂从波函数看出，1也可以有两种值，体系处¥〔态中时？2测值为当体系处在Y20态时12的测值为TOC\o"1-5"\h\z-、一、一.、■一.22相应的几率即表示该态的展开式项系数的复平方：|ci,C2I12的并态中的平均值关丁在态中代，K的可能测值可以从对称性考虑来确定，当使用直角坐标表示算符时1?1?1?有轮换对称性由于在态中［2可有一种量孑数［〔2所，x，，y，，x,以将1z轮换1x的结果，知道1x的可能测值只能是1x2,,0,,2同理，1y的可能测值也是这此值1y2,,0,,227设粒子处在宽度为a的无限深势阱中，求能量表象中粒子坐标和动量的矩阵表小O［解］一维无限深方势阱的归一化波函数是：这波函数是能量本征函数，任何力学量F?的矩阵元是：此公式用丁坐标矩阵：此式不适用丁对角矩阵元，后者另行推导。当m=n时，得对角矩阵元：xmmasin2m^xdxI(2)20a2动量矩阵元(非对角的)2imn(1(1)nm1)⑶(n2m2)Pmm28粒子在二维无限深势阱中运动,已知U（xv）x,y）0,0xa,0ya其他区域.mxnx.9sincosdx0(4)a解：（1）二维无限深势阱中运动的粒子，其能级为,22、(n〔n2),n"21,2,3...a2所以其基态能级为En，而第一激发态能级为E12E（2）粒子的波函数为所以1221,第一激发态是二重简并的。29求一维谐振子的坐标及Hamilton量在能量表象中的矩阵表示。提示：可利用公式：及i0aEn1n2角车：线性谐振子的能级为?????七写出第一激发态的能级；问第一激发态的能级是否简度，若是简并，是几重简并？以下的线不知如何去掉?WSAD_W对应的能量本征函数*,??«卜?利用公式(1)??(2)孔iH-1)30质量为的粒子在一维势场U（X）0,00,a中运动。设状态由波函数a描述。求（1）粒子能量的可能值及相应的几率；（2）粒子的平■均能量E;（3）写出状态在能量表象中的波函数。4./x、2/x、(x)sin(—)cos(一)..aaa而一维无限深势场中的能量本征函数为2.nx，一sina对应的本征值为所以本题中，粒子的能量的可能值是EiE322',出现的几率均为2a1/2。(2)EnICn|27(222a922a22（也可由2a求出）（3）由（1）得，所以，在能量表象中,31设在渗（无微扰时的哈密顿算符）表象中，在的矩阵表示为其中玲5＜谖,?试用微扰论求能级二级修正。解：在丑。表象中,32求在状态YY1(S)10(，)1(S)11(，)2z2z二23中算符£的本征值。解：心(L?zSz)所以’算符'的本征值为233已知厄密算符A和？是二行二列矩阵，且二世二I???，岛十内，二。？？（1）求算4444符孔占的本征值，（2）在A表象下求算符AE的矩阵表示。解：（1）?:??R二1?设R的本征值为????????????则？？且中=工甲？?????？网叩=朋叩=4甲????????????又？？R一？？？？？？？？？？/!'二二?????????-???斤二1???????????4=±1?同理算符』■，占的本征值也为±1?在A表象，算符/的矩阵为一对角矩阵，对角元素为本征值，即5=1112??????????????????设知为』利用？？？一’I.(0也八B=勺????I奶L°J??B为厄密算符5+=5厂0虬［J。时即？???？’，，1-???????'--—Li%可。司7又？????？、-.???????'■1—1???取:*>?????0一axaava34(1)粒子在二维无限深方势阱U，甘汕，l"赫，请写出能级,其他区域和能量本征函数；(2)加上微扰H'xy,求最低能级的一级微扰修正。22解：？(1)无微扰时，E；0：2―(n2n；)(2)最低能级为基态能级Eh。基态非简并,所以35试在M为对角的表象中，（1）求Sx的本征值和所届的本征函数；（2）在§x的本征值为—的本征态中，求S，的平■均值；2y中，测Sy的可能值及相应的几率。解：（1）设Sx的本征态及所届的本征值为由此可得：―,a2b22由1得:a2b21TOC\o"1-5"\h\z11当2时’ab72，1而1当2时’ab土'17211（2）Sx的本征值为一的本征态为1空22所以，Sy1Sy1022（3）将Sx的本征值一的本征态展开为：x2两边相等，得.21所以，当Sy五时几率A；....21当Sy5时几率|B^x2"d236（1）证明（x）Ae）p（—）？是H2x2dx2（3）在Sx的本征值为一的本征态x2的一个本征函数并求出相应的本征值；（2）求x在（x）态中的平■均值。取9)=(一好"]????????…/1JI•■■■■■■■■■即????????????甲（上）是#的本征函数。本征值37一维谐振子在七二。时的归一化波函数为所描写的态中g,o）=+展吒（对十夺心）式中，吼②是谐振子的能量本征函数，求（1）G的数值；（2）在样（xQ）态中能量的可能值，相应的概率及平■均值；（3）"。时系统的波函数。［解］（1）?M,??归一化，点，Eg=—ft£D=—Eq二一弘珀网,=—2,5；??????????????????2,5；E3=--,%；???-以⑶co时，yis方以花,）=二6队〔小卢??所以：甚11-的n-4严+底"38已知体系的能量算符为八就*叭*⑶，其中ES>0t为轨道的角动量算符。视项为微扰项，求能级至二级近似值。计算过程中可用公式：£J如—Jq+解）（「-脚+1）K—4）q4■次+1）忙踵+］）的精确解为？?？本征函????????????????本征能量?＞豌=HQ+1)食+次泌按微扰论？?？、「f一T.「•'：-利用了公式能量二级修正为.■-?在二级近似下？最"飕+占*+理一.3一……391(x)项财C2"),求5值解：由|(x)的归一化条件得：1=(x)|(x)=W|C2I2,4—1.i所以，C2—或C2—2240求在球谐函数Ym(，)所描述的态中，力学量LX和L?y的平■均值。解：因为l?zYmmYm所以，l?X-Ym(l?yl?zl?zL?y)Ymdi同理，LZ?xRLXiL?y另解：令I?I?XiLy,l??xil?y，得Lx1(1?I?),L?y-(L?L?)22i所以，LxLyo四填空题1(r,,)为归一化波函数，粒子在(，)方向、立体角d内出现的几率为??????????????????，在半径为r,厚度为dr的球壳内粒子出现的几率为????????????????????????。2A2I,I为单位矩阵，贝u算符A的本征值为o自由粒子体系，守叵；中心力场中运动的粒子守恒。力学量算符应满足的两个性质是?????????????????????????。厄密算符的本征函数具有？?????????????????????????????？。2-设C(p,t)为归一化的动量表象下的波函数，贝UC(p,t)dp的物理意义为。TOC\o"1-5"\h\z7-x,?x；LyE；日，？。a4A-*■8.如两力学量算符孔月有共同本征函数完全系，则［瓦片］二o.坐标和动量的测不准关系是。.在定态条件下，守恒的力学量是。.隧道效应是指O.量子力学中，原子的轨道半径实际是指o13.材血=尺仲用^㈤叩)为氢原子的波函数，月，顷的取值范围分别为?????????????????????????????????????????????????。14.对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为????????,考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为????????,如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为???????????????????。15.设体系的状态波函数为I*>,如在该状态下测量力学量F有确定的值人,则力学量算符含与态矢量I受的关系为。16.力学量算符血疚在态眇)下的平均值可写为部如荆伊如妙的条件为17.量子力学中的态是希尔伯特空间的;算符是希尔伯特空间的18.设粒子处于态俱二*+班+%v'}2V3，—为归一化波函数，「姑为球谐函数，则系数・七c的取值为？?????????？，Eg的可能值为,步本征值为京”出现的几率为??????????????。19.原子跃迁的选择定则为？？?？？？？？？?？？？？？？？？?？？？？？？?？？？？？？？。20.自旋角动量与自旋磁矩的关系为？???????????????????????？。21.斥为泡利算符，则石’-??????????，［&\巳］-???????,【月.今】=??????????????。22.E为自旋算符，则炉=??????????,[S=????????依J?1-l秘yJ-??????????????o乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是轨道磁矩与轨道角动量的关系是；自旋磁矩与自旋角动量的关系是费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有甲=26.考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为（已归一化），则在态'P下，自G旋算符31%J对自旋的平均可表示为;对坐标和白旋同时求平均的结果可表小为27.考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为的意义为;(已归一化)，则匚w*始E+ig*。五其它材料原子状态的四个量子数：主量子数n决定量子化的能量En=E1/n2角量子数l=0,1,2「-,(n1).决定量子化的角动量L=Jll1磁量子数mi=0,i,2,…，北决定角动量量子化的空间取向Lz=mih/(2)自旋磁量子数ms=dd/2说明自旋角动量在特定方向只能取两个值S=msh/(2)泡利不相容原理；量子数为n时，电子的量子态数(或第n壳层最多能容纳的电子数)为n-1zn=22l12n2l02a2