微积分定义及计算中存在的问题

8 第 29 卷 第 8 期 湖南科技学院学报 Vol.29 No.8 2008年8月 Journal of Hunan University of Science and Engineering Aug.2008 微积分定义及计算中存在的问题 张 俐 （湖南省商务职业技术学院 基础课部，湖南 长沙 410205） 摘 要：在一些《微积分》教材及教辅书中关于不定积分的定义及积分运算中存在着缺陷，并因忽视被积函数定义域问 题而产生一些错误。 关键词：不定积分；高等数学；微积分 中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1673-2219（2008）08-0008-04 目前在《数学分析》或《高等数学》教材中，有部分教 材或教辅书中存在着不定积分的定义及积分运算的错误，试 析如下。1 1 不定积分定义中的问题 不定积分是高等数学中的一个非常基本且又十分重要 的概念，它是整个积分学的初始篇、基础篇、也是关键篇。 对不定积分概念的理解不仅仅关系到该知识点的掌握，而且 影响到积分学后续内容的学习。 现今，大多数教材关于不定积分的定义为： 函数 )(xf 在区间 I 上的全体原函数称为 )(xf 在 I 上 的不定积分，记作 ∫ dxxf )( 。 从此定义可以看出，若 )()( xfxF =′ ， Ix∈ ，则 )( xf 的 不 定 积 分 是 一 个 函 数 族 ( ) ( ) ( ){ }IxxfxFCxF ∈=′+ , （C 为任意常数）。在这 种定义下，∫ dxxf )( 为 )(xf 的全体原函数，则有些推导将 很难解释。 如用分部积分法计算 ∫ xdxex sin 如下： ∫ xdxex sin = ∫ xxdesin = ∫− xdxexe xx cossin = ∫−− xdxexexe xxx sincossin …① 于是 2 ∫ xdxex sin = 1cossin Cxexe xx +− …② ∫ xdxex sin = Cxxex +− )cos(sin21 收稿日期：2008－04－20 作者简介：张俐（1973－），女，湖南省商务职业技术 学院讲师，从事高等数学教学。 第一个问题是：②式中 ∫ xdxex sin 的系数 2 如何解 释？根据上述定义， ∫ xdxex sin 是一个函数集合，而两个 相同的集合的并，仍应是同一个集合，则系数 2 的出现不合 逻辑。 第二个问题是：②式中的 1C 如何解释？许多教材对这 个问题是这样解释的：同一个函数的两个原函数之间彼此相 差 一 个 常 数 ， 所 以 应 加 上 一 个 常 数 1C ， 但 是 这 里 ∫ xdxex sin 是集合，而不是函数。当然，如果不加 1C ，则 ②式的右边又不是函数集合，所以也不合逻辑。 我在查阅了一些国外的微积分教材后，发现他们对不定 积分的定义更加严谨。 如 University of Maryland at College Park 的 《CALCULUS》教材中对不定积分的定义是这样的： Let f be continuous on an interval I , Any antiderivative of f on I is also called an indefinite integral of f on I and is denoted by ( )dxxf∫ .(设 f 是区间 I 上的函数，则 f 在 I 上的任何一个逆导数叫做 f 在 I 上的 不定积分，并记为 ( )dxxf∫ 。)[1] 俄罗斯的《数学分析》教材中对不定积分的定义是： ( )dxxf∫ 是 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示函数 f 在所考虑的区间上的任何一个 原函数的记号。[2] 这里实际表明了记号 ∫ dxxf )( 并非表示 )(xf 的全体 原函数集合，而是表示这个集合中的每一个元素，即 )(xf 的 不定积分 ∫ dxxf )( 与 )(xf 任意一个原函数涵义完全相同。 在这种涵义下，上面的两个问题都可以得到合理的解释 了。因此，为了避免在举例中所出现的矛盾，对于不定积分 的定义我们可以这样修改： 不 定 积 分 ∫ dxxf )( 表 示 )(xf 的 任 一 原 函 数 ， 若 9 )()( xfxF =′ ， Ix∈ ， 则 不 定 积 分 的 表 达 式 为 ： CxFdxxf +=∫ )()( ，其中 C 为任意常数。 2 积分计算中常见的问题 在不定积分的定义中，被积函数 )(xf 的定义域和其原 函数的定义域是同一区间。而在积分计算中，许多的教材及 教辅书中往往忽视这一点，从而造成解题的错误或不完整。 2.1 改变了被积函数的定义域的问题 许多教材中在求某些积分问题时，常采用将分子分母同 乘或同除某式的方法。例如求积分 ∫ + dxxsin1 1 时，将被积 函数 xsin1 1 + 分子分母同乘以 xsin1− 后化为 x x 2cos sin1− 即 xxx sectansec2 − ， 再 分 项 求 积 分 ， 可 得 结 果 cxx +− sectan 。这解法看似巧妙，但仔细思考会发现， 被积函数的定义域和其原函数的定义域不相同。产生这种错 误的原因是，在分子分母同乘以 xsin1− 时，已限定了 1sin ≠x 即 2 2 ππ +≠ kx ，这与原来被积函数的定义区间不 符。 2.2 对被积函数的定义域范围讨论不严谨的问题 例 1 求积分 ∫ − dxx2sin1 解： ∫ − dxx2sin1 dxxx∫ −= 2)cos(sin ∫ −= dxxx cossin ( ) Cxx ++±= sincos 此题的解答初看起来好似没有问题，而且许多的教材及 教辅书上都是给出这样的 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 。但仔细研究就会发现其存在 的漏洞： 当 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−∈ 4 2, 4 32 ππππ kkx （ k 为 整 数 ） 时 有 0sincos ≥− xx ，又因为有 ( )′+ xx cossin xx sincos −= xx cossin −= 所以当 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−∈ 4 2, 4 32 ππππ kkx （k 为整数）时， xx cossin − 的原函数应为： ( ) 11 sincos CxxxF ++= 。 当 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++∈ 4 52, 4 2 ππππ kkx （ k 为 整 数 ） 时 有 0cossin ≥− xx ，且因为 ( )′−− xx sincos xx cossin −= xx cossin −= 所以当 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++∈ 4 52, 4 2 ππππ kkx （k 为整数）时， xx cossin − 的原函数应为： ( ) 22 sincos CxxxF +−−= 故，此题正确的解法应为： ∫ − dxx2sin1 dxxx∫ −= 2)cos(sin ∫ −= dxxx cossin ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++∈+−− ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−∈++ = 4 52, 4 2,sincos 4 2, 4 32,cossin 2 1 π π π π π π π π kkxCxx kkxCxx (k 为整数) 由于被积函数 xx cossin − 在 ( )+∞∞− , 上是连续的，由不 定 积 分 的 定 义 可 知 ， 函 数 )(1 xF 与 )(2 xF 应 在 点 4 2 ππ += kx 处 连 续 ， 于 是 有 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + 4 2 4 2 21 π π π π kFkF ，由此解得 2212 += CC ， 这样求得的不定积分应为： ∫ − dxx2sin1 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ++∈++−− ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−∈++ = 4 52, 4 2,22sincos 4 2, 4 32,cossin π π π π π π π π kkxCxx kkxCxx （k 为整数， C 为任意常数） 例 2 求积分 ∫ xdxarcsin 解： ∫ xdxarcsin ∫−= xxdxx arcsinarcsin ∫ − −= dx x xxx 21 arcsin ( )∫ − − += 2 2 1 1 1 2 1arcsin xd x xx Cxxx +−+= 21arcsin 在大多数教材中都是这样的解法，但我们可以注意到此 题中被积函数的定义域为 [ ]1,1− ，而不定积分 ∫ − dx x x 21 中的被积函数的定义域为 ( )1,1− ，因而最后所求的不定积分 应视为在区间 ( )1,1− 内求得的。这也就是说，被积函数 xxf arcsin)( = 的定义域与其原函数的定义域不相同，这当 然是不正确的。 那么这样的不定积分应如何求解呢？我们可利用导数 的定义来讨论两个端点 1−=x 和 1=x 处的问题。 解法如下： （1）当 ( )1,1−∈x 时有 ∫ xdxarcsin ( )∫ −−= dxxxxx 21arcsin ( ) Cxxx +−+= 21arcsin 10 （2）设 21arcsin)( xxxxF −+= [ ]1,1−∈x 。 显然，当 ( )1,1−∈x 时，有 xxF arcsin)( =′ 当 1−=x 时， )1(−′F 1 )1()(lim 1 + −− = + −→ x FxF x 1 2 1arcsin lim 2 1 + −−+ = + −→ x xxx x π x x arcsinlim 1+−→ = )1arcsin(−= 同理，当 1=x 时，有 )1arcsin()1( =′F 所以 21arcsin)( xxxxF −+= 是 xxf arcsin)( = 在 [ ]1,1− 上 的 一 个 原 函 数 ， 从 而 有 Cxxxxdx +−+=∫ 21arcsinarcsin 2.3 对新引入变量的变化范围讨论不全面的问题 例 3 求下列积分 1． dx x ax∫ − 22 2． dx x axdx x ax a a a a ∫∫ −+−−− 2 222 22 解 1 ： 设 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ <≤= 2 0,sec πttax ， 则 有 taax tan22 =− ， tdttadx tansec ⋅= ， 所以 ∫∫ =− tdtadxx ax 2 22 tan ( )∫ −= dtta 1sec2 Catta +−= tan C x aaax +−−= arccos22 应用此结果再去解第 2 题可得： 解 2： adx x axdx x ax a a a a π 3 22 22 2 22 −= − + − ∫∫− − 这个结论显然是错误的。因为函数 x axxf 22 )( −= 是一个对称区间上的奇函数，按照定积分性质可知，奇函数 在对称区间上的积分为零。那么产生错误的原因是什么呢？ 是第 1 题的解题过程不完整而造成的。因为被积函数 x axxf 22 )( −= 的定义域为 ax ≥ 或 ax −≤ ，然而解题 过程中只注意到了 ax ≥ 的部分，而忽略了 ax −≤ 的部分， 这就造成了所求的原函数与被积函数的定义域不一致。完整 的解题过程应该是在解 1 的基础上添加如下过程： 当 ax −≤ 时，令 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ≤<= ππ ttax 2 ,sec ， 则有 taax tan22 −=− ， tdttadx tansec ⋅= ， 于是 ∫∫ −=− tdtadxx ax 2 22 tan ( )∫ −−= dtta 1sec2 Catta ++−= tan C x aaax ++−= arccos22 所以， dx x ax∫ − 22 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −≤++− ≥+−− = axC x aaax axC x aaax ,arccos ,arccos 22 22 应用此结论再去计算第 2 题，就可以得到正确的结果了。 在一些《高等数学》的教材中，在应用三角代换来解被 积函数中含有诸如 22 ax − ， 22 ax + ， 22 xa − 形式 的不定积分时，常对新引入的变量的变化范围不注意，甚至 有的干脆不提，从而导致了不应该有的错误的产生。 2．4 忽视了原函数的可导性的问题 在不定积分的定义中，若 CxFdxxf +=∫ )()( ，则应 有 )()( xfxF =′ ， Ix∈ 即我们所求的不定积分应该是可导 且连续的。但是在不少教辅资料中出现下面的问题： 例 4 设 ( ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > ≤≤+ < = 1,2 10,1 0,0 xx xx x xf ，求 ∫ dxxf )( 解：先分段求出(去掉分段点)： ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ >+ <<++ < =∫ 1, 10, 2 1 0, )( 3 2 2 2 1 xCx xCxx xC dxxf 再考虑分段点的情形：由于 0=x 是 )(xf 的第一类间 段点， 1=x 是 )(xf 的连续点，因此 )(xf 的不定积分只能 分别在 ( )0,∞− 和 ( )+∞,0 内得到，令 ( )32 1 2 2 1 lim 2 1lim CxCxx xx +=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++ +− →→ 解得： 23 2 1 CC += 因此有： ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ >++ <<++ < =∫ 1, 2 1 10, 2 1 0, )( 2 2 2 2 1 xCx xCxx xC dxxf 其中 1C 与 2C 是两个独立常数。 这显然存在有问题。因为，如果函数 )(xf 具有第一类 间断点，那么 )(xf 是不存在原函数的。 11 用达布定理证明： ( 反 证 法 ) 假 设 )(xf 存 在 原 函 数 )(xF ， 则 有 )()( xfxF =′ ， Ix∈ 。如果 )(xf 在 I 中含有第一类间断 点，即 )(xF ′ 在 I 中含有第一类间断点，则 )(xF ′ 在 I 中不 具有介值性，而这与达布定理的结论矛盾，所以假设不真， 命题成立。 现在我们来说明上例中的解题过程存在的问题： 按 照 不 定 积 分 的 定 义 ， 在 不 定 积 分 的 表 达 式 CxFdxxf +=∫ )()( 中，积分常数 C 只能是一个，而本题 却出现了两个独立的积分常数 1C 与 2C ，实际上如果 1C 与 2C 是互相独立的话， )(xf 的不定积分不仅不可导，甚至 连在 0=x 处的连续性也不可能得到保证。这些问题的出 现，原因是被积函数 )(xf 含有第一类间断点。所以，本题 试图去掉 0=x 后去求不定积分，想绕开函数 )(xf 的第一 类间断点去谈问题，显然是不正确的。 参考文献： [1] Robert Ellis，Denny Gulick. 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