钢轨磨耗型波磨计算模型与数值方法

第 5 卷 　第 2 期 2005 年 6 月 交 通 运 输 工 程 学 报 Journal of Traffic and Transportation Engineering Vol15 　No12 J une 2005 收稿日期 :2005204220 基金项目 :国家自然科学基金重点项目 (59935100) ;教育部博士点基金项目 (2002063) ;全国百篇优秀博士学位论文作者专项基金项目 (200248) 作者简介 :金学松 (19562) ,男 ,江苏扬州人 ,西南交通大学教授 ,从事轮轨滚动接触力学研究. 文章编号 :167121637 (2005) 0220012207 钢轨磨耗型波磨计算模型与数值方法 金学松 ,温泽峰 ,王开云 (西南交通大学 牵引动力国家重点实验室 ,四川 成都 　610031) 摘　要 : 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 了国内外铁路钢轨波浪形磨损理论模型 ,提出了车辆轨道垂、横向耦合动力学、轮轨滚 动接触力学和钢轨材料摩擦磨损模型为一体的钢轨磨耗型波浪形磨损计算模型 ,发展了相应的数 值方法。模型中车辆结构和轨道下部结构被简化成等效的质量、弹簧和阻尼系统 ,钢轨用 Euler 梁 代替 ,并考虑它的垂向、横向弯曲变形和扭转变形 ,利用修改的 Kalker 三维弹性体非 Hertz 滚动接 触理论和相应的数值方法计算轮轨蠕滑力和摩擦功 ,假设材料单位面积磨损量正比于轮轨接触面 摩擦功密度。利用该模型和相应的数值方法分析了几个磨耗型波磨情况 ,结果表明该模型可以模 拟轨道多种缺陷 (轨缝、扁疤、凹坑、轨枕间距、随机不平顺等因素)引发的钢轨磨耗型初始波磨和发 展规律 ,可以模拟由于钢轨在机械加工或打磨过程中形成的初始波磨的演化过程 ,可以通过改善轨 道特性来消除或减少波磨的发生和发展。 关键词 :铁道工程 ;钢轨波磨 ;演化 ;滚动接触 ;材料磨损 ;车辆轨道动力学 中图分类号 :U213142 　　　文献标识码 :A Theoretical model and numerical method of rail corrugation J in Xue2song , Wen Ze2feng , Wang Kai2yun (State Key Laboratory of Traction Power , Southwest Jiaotong University , Chengdu 610031 , China) Abstract : The t heoretical models of rail corrugation were analyzed , a t heoretical model and it s numerical met hod for rail corrugation at t ributed to material wear were p ut forward. In t he model , t he non2Hertzian rolling contact theory of wheel and rail system , rail material wear model and coupling dynamics of rail vehicle and t rack in t he vertical and lateral directions were combined , a passenger car and t he st ruct ure under rails were replaced by t he systems consisting of dampers , sp rings and equivalent mass bodies , and t he Euler beam was utilized to model t he rails accounting for bending and twisting deformations , Kalkerpis non2Hertzian rolling contact t heory of t hree2dimensional elastic bodies was modified to calculate t he creep forces and f rictional work density on t he contact patch of wheel and rail . It was assumed that t he material lo ss unit area of t he contact patch was proportional to the f rictional work density t hat determines t he wear depth of t he rail running surface. The presented model and it s numerical method were used to analyze two kinds of corrugation cases. The result s show t hat t he initiation and develop ment of t he corrugations caused by various t rack defect s , such as t rack gap , scratch , dent , sleeper pitch and random geomet ry irregularities can be analysed , t he evolution of initial corrugation on rail running surface caused by manufact uring and grinding can be simulated , t hey are feasible to protect the initiation and develop ment of rail corrugation. 1 tab , 9 figs , 26 ref s. Key words : railway engineering ; rail corrugation ; evolution ; rolling contact ; material wear ; vehicle and t rack dynamics Author resume : Jin Xue2song(19562) , male , professor , 86228287634355 , xsjin @home. swjtu. edu. cn. 0 　引　言 钢轨波浪形磨损一直是铁路运输业难以解决的 技术问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ,它的形成和发展导致车辆轨道强烈的振 动和噪声 ,缩短车辆轨道结构零部件的使用寿命 ,影 响列车的运行品质 ,严重的钢轨波磨会导致列车脱 轨[1～22 ] 。钢轨波磨理论和数值分析可分为 2 类 :第 1 类是在频域内分析车辆轨道的动态特性和磨损量 之间关系 ,计算模型是线性的[2～7 ,14～17 ] ,其优点是有 效地节省计算时间 ;第 2 类是在时间域内分析车辆 轨道耦合动力学的瞬态作用和钢轨接触表面长期磨 损之间相互作用的循环过程[8～11 ,18～22 ] ,这种方法更 容易展示波磨演化规律 ,但计算模型是非线性的 ,求 解很困难 ,占很长的机时。轮轨波磨如何形成和扩 展不仅与车辆的速度、轴质量、车辆轨道结构动态特 性、轮轨材料和接触表面状态有关 ,还与车轮轨道结 构的缺陷有关。轨道的几何缺陷和不规则性 ,如有 周期性和随机性变化的轮轨接触表面、粗糙度、轨枕 间距和不均匀的支撑刚度、运营后轮轨接触表面的 损伤和结构变形等。它的理论和数值计算的研究涉 及到多学科 ,如固体接触力学、滚动接触理论、结构 力学、计算方法、材料学、摩擦学、有限元理论和方法 等。目前理论和数值模型只能同时考虑简化的车辆 轨道动力学模型、赫兹模型的轮轨滚动接触理论和 线性材料磨损模型。车辆动力学模型只能考虑垂向 动力学作用 ,横向动力学行为的影响要么忽略 ,要么 被简化。1 个轮对 2 个车轮的相互作用或同时考虑 1 个转向架 4 个车轮和钢轨的相互作用对波磨的影 响没有文献报道。本文将文献 [ 8～11 ]的钢轨计算 模型只考虑车辆轨道垂向耦合动力学的影响 ,推广 到考虑垂向与横向耦合作用对钢轨波磨演化的影 响 ,数值方法中由过去的只能计算 1 个车轮和钢轨 作用下的波磨 ,推广到可计算同 1 个转向架 4 个车 轮和轨道作用下波磨形成过程 ,分析钢轨 2 种磨耗 型波磨的形成和发展过程。 1 　钢轨磨耗型波磨理论模型 111 　钢轨磨耗型波磨理论模型简介 钢轨波磨计算模型通常包含车辆轨道动力学模 型、轮轨材料磨损 (或其他损伤模型) 和轮轨滚动接 触力学模型 (图 1) 。当列车通过 (曲线) 轨道时 ,由 于轨道不规则性可能存在 ,导致列车和轨道之间振 动 ,则轮轨之间载荷和蠕滑率将要发生波动 ,波动的 频率主要依靠轨道的固有频率 ,车轮和钢轨之间的 摩擦功沿着钢轨也作波动变化 ,波动的频率和轮轨 之间载荷频率相同 ,这样钢轨滚动接触面上材料的 塑性变形和磨损量也将按同样的频率变化。钢轨这 种不规则磨损和变形与轨道初始不规则几何缺陷相 叠加 ,导致下趟列车通过时车辆轨道结构振动加剧 , 钢轨不均匀磨损和塑性变形加大。随着车辆通过次 数加大 ,钢轨顶面不均匀磨损和塑性变形不断累积 而逐渐形成波磨。图 1 钢轨波磨计算模型就是根据 车辆轨道动力学和钢轨不均匀磨损 (或变形)的循环 相互作用关系确定的。在图 1 中 ,ξjk 和 Pwrzk分别为 轮轨之间的蠕滑率和垂向载荷 ,下标 j = 1 ,2 ,3 分别 为轮轨之间的纵向、横向和自旋方向 ; k 为车轮的编 号 ; Yw i 和ψw i 分别为第 i 个轮对横移量和摇头角。 ξjk 、Pwrzk 、Yw i和ψw i由车辆轨道动力学分析求得。当 Yw i和ψw i瞬时值 k 、i 为斜体确定时 ,则由轮轨接触 几何求得轮轨接触角δk 和轮轨间的法向间隙 h k ,δk 和 h k 在轮轨滚动接触分析中将要用到。 图 1 　钢轨磨耗型波磨分析模型 Fig. 1 　Calculation model of rail corrugation 112 　车辆轨道结构动力学模型 曲线轨道半径 R0 为 300 m ,缓和曲线长为 80 m , 圆曲线长为 100 m ,外轨超高为 100 mm ,轨底坡为 1/ 40 ,轨间距为 1 437 mm ,轨枕间距为 600 mm ,采用 60 kg/ m 钢轨铺设。假设旅客列车以速度 v0 通过该曲 线 ,为了减少计算工作量 ,考虑半个车体 ,见图 2。车 轮的名义滚动半径 r0 为 45715 mm。由于半个车体 31第 2 期　　　　　　　　　　金学松 ,等 :钢轨磨耗型波磨计算模型与数值方法 图 2 　半个车辆通过曲线 Fig. 2 　Half passenger car passing through a curved track 只有 1 个转向架 2 个悬挂系统支撑车辆厢体 ,不能保 持平衡 ,故在理论建模和分析中 ,假设车体无摇头、点 头运动 ,则其对钢轨波磨发展过程的影响被忽略。事 实上 ,车体的摇头和点头运动只是低频的 ,一般在 2 Hz 以下 ,对 5 m 以下波长的波磨影响不大 ,所以 ,上 述假设不会影响本文的分析精度。 图 2 的简化计算模型见图 3 [23 ] 。车辆结构简化 成多刚体、弹簧和阻尼系统 ,钢轨用欧拉梁代替 ,轨 枕处理成刚性体 ,道床处理成等效质量块 ,等效质量 块之间用等效的垂向剪切弹簧和阻尼元件连接 ,道 床的横向运动和地基运动忽略。为了叙述方便 ,转 向架前轮对左右轮分别定义为车轮 1 和车轮 2 ,后 轮对左右车轮分别定义为车轮 3 和车轮 4。图 3 中 带有不同下标的字母 Z 为车辆要考虑的各零部件 的垂向位移量 , Y 为相应的横移量 ,θ为点头角位 移 , <为侧滚角 , Pwrzk ( k = 1 , 2 , 3 , 4) 为转向架 4 个车 轮和钢轨之间的垂向载荷 ,带有不同下标的字母 C 和 K 分别为各零部件之间连接处的等效阻尼系数 和等效弹簧刚度系数。 图 3 所示的系统微分方程推导十分繁琐 ,包含 了数十个微分方程[23 ] ,它们用矩阵形式表示为 E( M , K, C, X, X· , X··, Pwrz ) = 0 (1) Pwrz = ( Pwrz1 , Pwrz2 , Pwrz3 , Pwrz4 ) (2) 式中 : M 为质量矩阵 ; K和 C 分别为刚度矩阵和阻 尼矩阵 ; X、X· 和 X··分别为位移矩阵、速度矩阵和加 速度矩阵 ; Pwrz为轮轨之间法向载荷矩阵。 如果轮轨不发生严重轮缘贴靠时 ,轮轨的法向 载荷为 Pwrn = ( Pwrn1 , Pwrn2 , Pwrn3 , Pwrn4 ) ≈ ( Pwrz1 cosδ1 , Pwrz2 cosδ2 , Pwrz3 cosδ3 , Pwrz4 cosδ4 ) ≈ 图 3 　车辆轨道模型 Fig. 3 　Vehicle2t rack model ( Pwrz1 , Pwrz2 , Pwrz3 , Pwrz4 ) (3) 式中 : Pwrnk ( t) 为车轮 k 和钢轨之间的法向载荷 ,考 虑初始波磨 Z0 ( x1 , x2 ) 和车辆通过时引起的新的磨 损 UNW ( x1 , x2 ) 对轮轨接触面上法向载荷的影响 ,有 Pwrnk ( t) = CH [ Zwnk - Zrnk +δ0 - Uw ]3/ 2 Zwnk - Zrnk +δ0 - Uw > 0 Zwnk - Zrnk +δ0 - Uw ≤0 (4) U n = max[ Z0 ( x1 , x2 ) + UNW ( x1 , x2 ) ] (5) 式中 :下标 k = 1 , 2 , 3 , 4 分别为车轮 1～4 ; Zwnk 和 Z rnk分别为车轮和钢轨在接触点处的垂向位移 ;δ0 为车辆在直线轨道上处于对中位置时 ,车轮和钢轨 41 交 　通 　运 　输　工 　程 　学 　报 　　　　　　　　　　 　2005 年 之间的法向挤压量 ;Uw 为沿钢轨接触面最大不均匀 磨损深度 ; Z0 ( x1 , x2 ) 为钢轨接触表面初始波磨的深 度函数 ;坐标 x1 和 x2 分别为考虑磨损的钢轨接触 表面的纵向和横向坐标。应当注意的是 ,方程 (4) 是 非线性的赫兹单向压缩弹簧 ,其中系数 CH 是与轮 轨赫兹接触条件有关的刚度系数 ,对于磨耗型车轮 和 60 kg/ m 钢轨接触时 , CH 为 1113 ×1011 N/ m[23 ] 。 文献[23 ]发展了一个数值方法求解方程 (1) , 并详 细讨论了该数值方法的收敛性和稳定性。 考虑轨道结构零部件之间连接的等效弹簧和阻 尼可能对钢轨波磨形成的特征有影响 ,它们的有关 数值列于表 1 之中。表中参数的下标 y 和 z 分别为 横向和垂向 ;下标 r、s 和 b 分别为钢轨和轨枕、轨枕 和道床块以及道床块和路基之间的等效连接弹簧和 阻尼 ;w 为道床等效质量块之间的等效垂向剪切弹 簧和阻尼。对表 1 中所给定的参数值 ,利用前面所 介绍的车辆轨道动力学模型和脉冲激励法[10 ,11 ] ,发 现轨道的 2 个固有频率 f A (40 Hz) 和 f B (740 Hz) 易被激振起来 ,也就是说 ,当车辆通过该线路时 ,由 于轮轨滚动接触作用 ,轮轨系统易发生振动 ,振动频 率包含 40 Hz 和 740 Hz ,所以 ,这 2 个振动频率控 制着初始波磨的发展。 表 1 　车辆轨道结构等效弹簧和阻尼系数 [23 ] Tab. 1 　Structure parameters of vehicle and track 刚度 Kry/ (N ·m - 1 ) 刚度 Krz / (N ·m - 1 ) 刚度 Ksy/ (N ·m - 1 ) 刚度 Ksz / (N ·m - 1 ) 刚度 Kw / (N ·m - 1 ) 刚度 Kb / (N ·m - 1 ) 21947 ×107 718 ×107 31 0 ×107 71 0 ×107 718 ×107 615 ×107 阻尼 Cry/ (Ns ·m - 1 ) 阻尼 Crz / (Ns ·m - 1 ) 阻尼 Csy/ (Ns ·m - 1 ) 阻尼 Csz / (Ns ·m - 1 ) 阻尼 Cw / (Ns ·m - 1 ) 阻尼 Cb / (Ns ·m - 1 ) 51 0 ×104 510 ×104 61 0 ×104 61 0 ×104 810 ×104 311 ×104 113 　轮轨滚动接触力学模型 到目前为止 ,在材料弹性范围内分析轮轨滚动接 触行为 , Kalker 三维弹性体非 Hertz 滚动接触理论和 相应的数值方法是十分理想的[24 ] 。如考虑车轮 m 次 滚动后钢轨接触表面磨耗深度 w ( k)3 的影响 (图 4) , Kalker 三维非 Hertz 滚动接触理论模型需要改写为 　 min C = 12 p Ii , A liJ j p J j + { [ ( hJ + w ( k - 1) 3 J - 　　　hmin ) - q] pJ3 + W Jτ - u′Jτ) pJτ} A 0 s. t . pJ3 ≥0 　　| pJτ| ≤bJ 　　A 0 ∑ M J = 1 pJ3 = P 　　Π X∈A c (6) 式中 :下标 i , j = 1 , 2 , 3 分别为图 4 中坐标轴 x1 、x2 和 x3 3 个方向 ;τ= 1 , 2 分别为图 4 中坐标轴 x1 和 x2 2 个方向 ; I、J 为图 5 中矩形单元的编号 ; A IiJ j 为 力和位移之间的影响系数[24 ] ; p Ii为接触表面上单元 I 处作用力密度分量 ; hJ 为轮轨接触面之间法向间 图 4 　轮轨法向间隙的变化 Fig. 4 　Description of normal distance variation 隙在单元 J 中心处的 分量 ,即图 4 中 h 的离 散值 ; w ( m - 1)3 J 为车轮滚 过 m - 1 次后在 x3 方 向磨耗的深度 ; q 为轮 轨在 x 3 方向的接近量 (未知) ; u′Jτ为轮轨滚动 图 5 　可能接触区 Fig. 5 　Potential contact area 计算过程中在时间步 t′ 时 , J 单元处接触质点 对之间的弹性位移差 ; A c 为可能的接触斑区 域 ; bJ 为 J 单 元 处 Coulomb 摩擦定律的 极限值 ; W Jτ为 J 单元 处轮轨界面相对刚性 滑动分量。这些参数 详细描述见文献[24 ]。按数学规划法求得式 (5) 的 解[24 ] , pJi和 u′J i就此求得。需要注意的是在式 (5) 中 仅对重复的下标求和。在计算中 ,静动 Coulomb 摩 擦系数为 f = f′ = 013。选择矩形单元面积 A 0 = ΔxΔy = 018 ×018 = 0164 mm2 (图 5) ,每一个时间步 内 ,可能的接触单元总数为 M = 21 ×21 = 441 ,车轮 沿钢轨移动步长为 018 mm ,即一个网格的间距 ,见 图 6。每滚动一个步长时 ,钢轨型面的磨损量对下 列滚动接触的影响都要考虑。 图 6 　磨耗面计算图解 Fig. 6 　Schematic illust ration of wear calculation 114 　钢轨材料摩擦磨损计算模型 与单位面积摩擦功成正比的材料磨损模 型为[25 ,26 ] Δm ( x1 J , x2 J ) = Cw f w ( x1 J , x2 J ) (7) 　　考虑图 5 中单元 J ,式 (7) 可写成 Δm ( x1 J , x2 J ) = Cw f w ( x1 J , x2 J ) = 　　CJ | S J1 pJ1 + S J2 pJ2| (8) 51第 2 期　　　　　　　　　　金学松 ,等 :钢轨磨耗型波磨计算模型与数值方法 　　从上一个计算时间步 t′到当前时间步 t , J 单元 处质点对总的滑动量 S Jτ为 S Jτ = W Jτ + p Iτ′A Iτ′Jτ - u ′ Jτ (9) 　　考虑车轮第 1 次通过后钢轨接触表面 J 单元的 磨耗深度 w (1) J = Cw | S Jτp Jτ | /ρ (10) 图 7 　磨耗量分析图解 Fig. 7 　Analysis illust ration of wear quantity 如图 7 所示 ,式 (10) 中 Cw 为 110 ×10 - 9 kg/ ( N ·m ) [18 , 20 ] , ρ 为 718 ×103 kg/ m 为钢轨 材料密度。材料的泊 松比和剪切弹性模量分 别为 013 和 71812 5 × 104 N/ mm2 。车轮滚 过 m 次后 ,总的磨耗深 度由每次磨耗深度累 加得到。 2 　数值结果 211 　初始波磨演化分析 新铺设的钢轨或刚打磨后的钢轨 ,可能具有不 同波长的初始波磨。这些初始波磨也许是新钢轨在 碾轧加工过程或旧钢轨打磨过程中形成的。为了利 用前面所介绍的钢轨波磨计算模型 ,假设曲线钢轨 初始波磨具有下列函数表达形式 Z0L ( x1 , x2 ) = dp 1 - sin 2π( x1 + lb)λ 1 - sin 2πx2 λ0 Z0 T ( x1 , x2 ) = dp 1 - sin 2πx1λ 1 - sin 2πx2 λ0 (11) 式中 :第 1 式表示转向架前轮对滚过的初始波磨函 数 ;第 2 式表示后轮对滚过的初始波磨函数 ; dp 为 01001 25 mm , 则最大波深为 01002 5 mm ;λ0 为 30 mm ,为初始波磨沿钢轨接触面的横向宽度 ;λ为 30 mm ,为初始波磨的波长 ; lb 为 214 m ,为转向架 的轴距。如果列车以速度 80 km/ h 通过具有 30 mm波长的初始波磨曲线钢轨 ,则该波磨的通过 频率为 74017 Hz ,近似等于轨道易被激起的共振频 率 f B 。图 8 车轮 1～4 通过上述初始波磨 30 次后 , 由于初始波磨激发起轮轨之间的接触振动 ,而导致 新的不均匀磨损。新的波磨波长近似等于初始波磨 的波长 ,但新旧波磨的相位发生了改变。从图 8 结 果看 ,转向架高轨车轮 (外车轮) 引发的波磨向前移 动 ,这与过去单个车轮钢轨计算模型的结果相同 ,但 前轮对低轨车轮 (内车轮) 引发的新的波磨向后移 动 ,而后轮对低轨车轮引发的波磨位置几乎没有移 动。由于同一个转向架 4 个车轮与钢轨之间的载荷 和蠕滑率不同 ,则 4 个车轮下钢轨顶面新的磨损宽 度和深度是不同的 ,也就是说 ,4 个车轮下相同的初 始波磨演化的速度和形貌是不同的。 图 8 　初始波磨和新波磨等值线 Fig. 8 　Corrugation contours 212 　钢轨横向凹坑对初始波磨形成和发展的影响 假设曲线外钢轨顶部内侧具有一个横向凹坑 , 并具有下列函数的表达形式 ΔY0 ( x′1 ) = dp 1 - sin 2πx ′ 1 λ0 　(0 ≤x ′ 1 ≤λ0 ) (12) 式中 : dp 为 01025 mm ,则凹坑的最大深度为 0105 mm ;λ0 为 100 mm ,为横向凹坑的长度 ; x′1 为计算凹 坑长度的局部坐标。假设凹坑出现在圆曲线外轨顶 部的内侧 ,距缓和曲线和圆曲线连接处为 10 mm , 当车辆通过横向凹坑时 ,每个轮对外侧车轮都要通 过这个凹坑并将发生冲击振动 ,也将引起前轮对或 61 交 　通 　运 　输　工 　程 　学 　报 　　　　　　　　　　 　2005 年 后轮对和钢轨之间发生冲击振动 ,导致同一个转向 架 4 个车轮下钢轨同时产生波磨 ,并迅速扩展 ,贯穿 整个曲线段。图 9 为车轮 1～4 通过横向凹坑 30 次 后 ,由于冲击振动 ,导致不均匀磨损而形成具有不同 波长的磨耗型波磨。图中 A 和 B 位置为由于轮轨之 间冲击振动引起钢轨接触表面产生凹坑磨损。大约 580 mm 波长和轨道固有频率 38 Hz 有密切关系。 图 9 　不均匀磨损等值线 Fig. 9 　Undulatory wear contours 3 　结　语 对国内外钢轨波磨的理论模型进行了简单的述 评 ,提出了车辆轨道横向垂向耦合动力学、轮轨滚动 接触力学和钢轨材料摩擦磨损模型为一体的钢轨磨 耗型波磨计算模型 ,发展了相应的数值方法。该模型 突破现有钢轨波磨计算模型未能考虑车辆轨道横向 运动对波磨发展过程的影响 ,在钢轨磨损量和轮轨摩 擦功关系计算方面首次应用了非赫兹滚动接触理论。 利用该模型可以同时计算同一个转向架的 4 个车轮 反复作用下初始波磨波深、频率和相位的变化情况 , 可以模拟轨道多种缺陷 (轨缝、扁疤、凹坑、轨枕间距、 随机不平顺等因素)引发的钢轨磨耗型初始波磨和发 展规律 ,模拟由于钢轨在机械加工或打磨过程中形成 的初始波磨的演化过程。通过对钢轨波磨的数值仿 真和计算 ,有助于进一步了解磨耗型波磨形成的机 理 ,对改善轨道特性来消除或减少波磨的发生和发展 有重要的理论价值及应用前景。 参考文 献 : References : [ 1 ] 　Mair R I. 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