量子力学自测题8 量子力学自测题8 一、填空题（本题25分） 1．自由粒子平面波函数 的动量不确定度 ，坐标不确定度 。 2．波函数 是否自由粒子的能量本征态？答： 。如果是，能量本征值是 。该波函数是否是动量本征态？答： ，因为 。 3．设 是两个互为不对易的厄米算符。在下列算符 （1） ； （2） — ； （3） ； （4） + 中，算符 和 的本征值必为实数。 4．设两个电子散射波的自旋波函数 ，则散射波的空间波函数应为 。因此微分散射截面 。 5．设一个二能级体系的两个能量本征值分别为E1和E2，相应的本征矢量为 。则在能量表象中，体系Hamilton量的矩阵表示是 ，体系的可能状态是 ，在各可能状态下，能量的可能测值是 ，相应的几率是 。 二、（本题15分） 1．已知在坐标表象中，自由粒子的坐标本征函数为 求在动量表象中坐标的本征函数。 2．氢原子中的电子在径向坐标 的球壳内出现的几率为 。已知， ，求IS电子的径向几率最大的位置。 三、（本题15分） 1．求证： ， ， 分别为角动量算符 的本征值为 的本征态。 2．试证明：在电子的任意自旋态 下，只要 ，则自旋角动量 的平均值必为零。 四、（本题15分） 1．已知 其中，A、B为与Pauli矩阵 对易的任意两个矢量算符。试证明： ， 其中，p为三维动量， 为三维角动量。 2．设力学量 （不显含时间）为守恒量。求证： 的平均值不随时间改变，即 五、（本题15分） 已知一维谐振子处于基态，坐标的不确定度 求该谐振子跃迁到第一激发态所需能量。 六、（本题15分） 设一电子在沿x方向的均匀磁场B中运动。在t=0时，电子的自旋向z轴的正向极化。求： （1）在任意时刻t，电子的自旋波函数。 （2） 的平均值。 （3） 的测值为 和— 的几率。
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