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会考试卷第一卷(选择
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共60分)一、选择题:本大题共14小题:第(1)—(10)题每小题4分,第(11)-(14)题每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(1)已知集合A={0,1,2,3,4},B={0,2,4,8},那么A∩B子集的个数是:() A、6个B、7个C、8个D、9个(2)式子4·5的值为:() A、4/5 B、5/4 C、20 D、1/20(3)已知sinθ=3/5,sin2θ<0,则tg(θ/2)的值是:() A、-1/2B、1/2C、1/3D、3(4)若loga(a2+1)<loga2a<0,则a的取值范围是:() A、(0,1)B、(1/2,1)C、(0,1/2)D、(1,+∞)(5)函数f(x)=π/2+arcsin2x的反函数是() A、f-1(x)=1/2sinx,x∈[0,π] B、f-1(x)=-1/2sinx,x∈[0,π] C、f-1(x)=-1/2cosx,x∈[0,π]D、f-1(x)=1/2cosx,x∈[0,π](6)复数z=(+i)4(-7-7i)的辐角主值是:() A、π/12B、11π/12C、19π/12D、23π/12(7)正数等比数列a1,a2,a8的公比q≠1,则有:() A、a1+a8>a4+a5B、a1+a8<a4+a5C、a1+a8=a4+a5D、a1+a8与a4+a5大小不确定(8)已知a、b∈R,条件P:a2+b2≥2ab、条件Q:,则条件P是条件Q的() A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件(9)椭圆的左焦点F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在Y轴上,那么P点到右焦点F2的距离为:() A、34/5 B、16/5 C、34/25 D、16/25(10)已知直线l1与平面α成π/6角,直线l2与l1成π/3角,则l2与平面α所成角的范围是:() A、[0,π/3]B、[π/3,π/2]C[π/6,π/2]、D、[0,π/2](11)已知,b为常数,则a的取值范围是:() A、|a|>1B、a∈R且a≠1C、-1<a≤1D、a=0或a=1(12)如图,液体从一球形漏斗漏入一圆柱形烧杯中,开始时漏斗盛满液体,经过3分钟漏完。已知烧杯中的液面上升的速度是一个常量,H是漏斗中液面下落的距离,则H与下落时间t(分)的函数关系用图象
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示只可能是:() (13)已知函数f(x)=-x-x3,x1、x2、x3∈R,且x1+X2>0,X2+X3>0,X3+X1>0,则f(x1)+f(x2)+f(x3)的值:() A、一定大于零B、一定小于零C、等于零D、正负都有可能(14)如图,一正方体棱长为3cm,在每个面正中央有一个入口为正方形的孔通过对面,孔的边长为1cm,孔的各棱平行于正方形的孔通过对面,孔的边长为1cm,孔的各棱平行于正方体各棱,则所得几何体的总表面积为() A、54cm2B、76cm2C、72cm2D、84cm2二、填空题:本大题共4小题:每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上。 (15)已知函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则其面积为_____________。 (16)直线l与直线y=1,x-y-7=0分别交于P、Q两点,线段PQ的中点坐标为(-1,1),那么直线l的斜率为______________。 (17)设f(x)为偶函数,对于任意x∈R+,都有f(2+X)=-2f(2-X),已知f(-1)=4,那么f(-3)=____________。 (18)等差数列{an}中,sn是它的前n项之和,且s6<s7,s7>s8,则: ①此数列公差d<0;②s9一定小于s6;③a7是各项中最大的一项;④S7一定是Sn中最大值。 其中正确的是______________(填入序号)。三、解答题:本大题共6小题:共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (19)(本小题满分10分)解关于x的方程:logax+2(2a2x+3ax-2)=2(a>0且a≠1)。 (20)(本小题满分12分)设△ABC的两个内角A、B所对的边的长分别为a、b。复数Z1=a+bi,Z2=cosA+icosB。若复数Z1·Z2在复平面上对应的点在虚轴上,试判断△ABC的形状。 (21)(本小题满分12分)如图,在正三棱柱ABC—A1B1C1中,各棱长都等于a,D、F分别为AC1、BB1的中点。 (1)求证DF为异面直线AC1与BB1的公垂线段,并求DF的长。 (2)求点C1到平面AFC的距离。 (22)(本小题满分12分)某工厂有容量为300吨的水塔一个,每天从早上6时起到晚上10时上供应该厂生活和生产用水。已知该厂生活用水为每小时10吨,工业用水量W(吨)与时间t(单位:小时。定义早上6时t=0)的函数关系为w=100,水塔的进水量有10级,第一级每小时进水10吨,以后每提高一级,每小时的进水量增加10吨,若某天水塔原有水100吨,在供水同时打开进水管,问进水量选择第几级,既能保证该厂用水(水塔中水不空)又不会使水溢出。 (23)(本小题满分14分)设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且对任意a、b∈[-1,1],当a+b≠0时,都有>0。 (1)若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小。 (2)解不等式f(x-)<f(x-)。 (3)记P={x|y=f(x-c)},Q={x|y=f(x-C2)},且P∩Q=∞,求C的取值范围。 (24)(本小题满分14分)已知抛物线x2=4(y-1),M是其顶点。 (1)若圆C的圆心C与抛物线的顶点M关于X轴对称,且圆C与X轴相切。求圆C的方程。 (2)过抛物线上任意一点N作圆C的两条切线,这两条切线与抛物线的准线交于P、Q两点,求|PQ|的取值范围。数学(理科)第一卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共14小题:第(1)—(10)题每小题4分,第(11)-(14)题每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(1)已知集合A={0,1,2,3,4},B={0,2,4,8},那么A∩B子集的个数是:() A、6个B、7个C、8个D、9个(2)式子4·5的值为:() A、4/5 B、5/4 C、20 D、1/20(3)已知sinθ=3/5,sin2θ<0,则tg(θ/2)的值是:() A、-1/2B、1/2C、1/3D、3(4)若loga(a2+1)<loga2a<0,则a的取值范围是:() A、(0,1)B、(1/2,1)C、(0,1/2)D、(1,+∞)(5)函数f(x)=π/2+arcsin2x的反函数是() A、f-1(x)=1/2sinx,x∈[0,π] B、f-1(x)=-1/2sinx,x∈[0,π] C、f-1(x)=-1/2cosx,x∈[0,π]D、f-1(x)=1/2cosx,x∈[0,π](6)复数z=(+i)4(-7-7i)的辐角主值是:() A、π/12B、11π/12C、19π/12D、23π/12(7)正数等比数列a1,a2,a8的公比q≠1,则有:() A、a1+a8>a4+a5B、a1+a8<a4+a5C、a1+a8=a4+a5D、a1+a8与a4+a5大小不确定(8)已知a、b∈R,条件P:a2+b2≥2ab、条件Q:,则条件P是条件Q的() A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件(9)椭圆的左焦点F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在Y轴上,那么P点到右焦点F2的距离为:() A、34/5 B、16/5 C、34/25 D、16/25(10)已知直线l1与平面α成π/6角,直线l2与l1成π/3角,则l2与平面α所成角的范围是:() A、[0,π/3]B、[π/3,π/2]C[π/6,π/2]、D、[0,π/2](11)已知,b为常数,则a的取值范围是:() A、|a|>1B、a∈R且a≠1C、-1<a≤1D、a=0或a=1(12)如图,液体从一球形漏斗漏入一圆柱形烧杯中,开始时漏斗盛满液体,经过3分钟漏完。已知烧杯中的液面上升的速度是一个常量,H是漏斗中液面下落的距离,则H与下落时间t(分)的函数关系用图象表示只可能是:() (13)已知函数f(x)=-x-x3,x1、x2、x3∈R,且x1+X2>0,X2+X3>0,X3+X1>0,则f(x1)+f(x2)+f(x3)的值:() A、一定大于零B、一定小于零C、等于零D、正负都有可能(14)如图,一正方体棱长为3cm,在每个面正中央有一个入口为正方形的孔通过对面,孔的边长为1cm,孔的各棱平行于正方形的孔通过对面,孔的边长为1cm,孔的各棱平行于正方体各棱,则所得几何体的总表面积为() A、54cm2B、76cm2C、72cm2D、84cm2二、填空题:本大题共4小题:每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上。 (15)已知函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则其面积为_____________。 (16)直线l与直线y=1,x-y-7=0分别交于P、Q两点,线段PQ的中点坐标为(-1,1),那么直线l的斜率为______________。 (17)设f(x)为偶函数,对于任意x∈R+,都有f(2+X)=-2f(2-X),已知f(-1)=4,那么f(-3)=____________。 (18)等差数列{an}中,sn是它的前n项之和,且s6<s7,s7>s8,则: ①此数列公差d<0;②s9一定小于s6;③a7是各项中最大的一项;④S7一定是Sn中最大值。 其中正确的是______________(填入序号)。三、解答题:本大题共6小题:共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (19)(本小题满分10分)解关于x的方程:logax+2(2a2x+3ax-2)=2(a>0且a≠1)。 (20)(本小题满分12分)设△ABC的两个内角A、B所对的边的长分别为a、b。复数Z1=a+bi,Z2=cosA+icosB。若复数Z1·Z2在复平面上对应的点在虚轴上,试判断△ABC的形状。 (21)(本小题满分12分)如图,在正三棱柱ABC—A1B1C1中,各棱长都等于a,D、F分别为AC1、BB1的中点。 (1)求证DF为异面直线AC1与BB1的公垂线段,并求DF的长。 (2)求点C1到平面AFC的距离。 (22)(本小题满分12分)某工厂有容量为300吨的水塔一个,每天从早上6时起到晚上10时上供应该厂生活和生产用水。已知该厂生活用水为每小时10吨,工业用水量W(吨)与时间t(单位:小时。定义早上6时t=0)的函数关系为w=100,水塔的进水量有10级,第一级每小时进水10吨,以后每提高一级,每小时的进水量增加10吨,若某天水塔原有水100吨,在供水同时打开进水管,问进水量选择第几级,既能保证该厂用水(水塔中水不空)又不会使水溢出。 (23)(本小题满分14分)设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且对任意a、b∈[-1,1],当a+b≠0时,都有>0。 (1)若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小。 (2)解不等式f(x-)<f(x-)。 (3)记P={x|y=f(x-c)},Q={x|y=f(x-C2)},且P∩Q=∞,求C的取值范围。 (24)(本小题满分14分)已知抛物线x2=4(y-1),M是其顶点。 (1)若圆C的圆心C与抛物线的顶点M关于X轴对称,且圆C与X轴相切。求圆C的方程。 (2)过抛物线上任意一点N作圆C的两条切线,这两条切线与抛物线的准线交于P、Q两点,求|PQ|的取值范围。试题答案及评分
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一、CCDBC、DACBD、BDBC二、15、4π 16、- 17、-8 18、①②④三、19、解:设ax=t>0 则原方程变为logt+2(2t2+3t-2)=2 ∴2t2+3t2-2=(t+2)2 4分 整理得t2-t-6=0 解得t1=3,t2=-2 6分 ∵t>0,∴t2=-2舍去 当t1=3,即ax=3时x=loga3, 8分 经检验x=loga3是原方程的解 9分 ∴原方程的解为x=loga3 10分20、解:z1·z2=(a+bi)(cosA+icosB)=(acosA-bcosB)+i(bcosA+acosB) 4分 由题设得 6分 由式及余弦定理得:a· -b· =0 8分 整理得:(a2-b2)(c2-a2-b2)=0 ∴a=b或c2=a2+b2满足②式 10分 ∴ΔABC为等腰三角形或直角三角形 12分 21、 解:(I)在面AC1内过D作EG∥AC,交AA1于E,交CC1于G. 则E、G分别为AA1、CC1的中点,连结EF、GF、FC1 DF为异面直线AC1与BB1的公垂线段4分 在正三角形EFG中,DF=a 6分(II)设点C1到平面ACF的距离为h. 过A作AH⊥BC交BC于H,则AH为点A到面BC1的距离. ∵VC1-ACF=VA-CC1F,即SΔCC1F·AH=SΔACF·h 8分 ∵SΔCC1F=a2,AH=a,AC=a,CF=AF=a SΔACF=AC·=a2 10分 ∴h==a 即点C1到平面AFC的距离为a 12分22、解:设进水量选用第n级,在t时刻水塔中的水的存有量为: y=100+10nt-10t-100(0<t≤16) 2分 要是水塔中水不空不溢,则0<y≤300 即 对一切0<t≤16恒成立。 6分 令=x,x≥ 则-10x2+10x+1<n≤20x2+10x+1 而y1=-10x2+10x+1=-10(x-)2+≤(x≥) 8分 y2=20x2+10x+1=20(x+)-≥4(x≥) 10分 ∴3<n≤4 ∴n=4选择第4级进水量可满足要求 12分23、解:(I)对任意x1、x2∈[-1,1],当x1<x2时,由奇函数的定义和题设不等式得: 3分 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=(x2-x1)>0 即 f(x2)>f(x1) 5分 ∴f(x)在[-1,1]上是增函数,而a>b,∴f(a)>f(b) 7分 (II)由(I)得:-1≤x-<x-≤1 7分 解得: -≤x≤即不等式的解 9分 (III)P={x-1≤x-c≤1=}=[c-1,c+1],Q={-1≤x-c2≤1}=[c2-1,c2+1] 11分 P∩Q=Φ <=>c+1<c2-1或c2+1<c-1 13分 解得:c<-1或c>2 的取值范围是c<-1或c>2 14分24、解:(I)抛物线顶点M(0,1),圆C的圆心(0,-1),半径r=1。 ∴圆的方程为x2+(y+1)2=1 4分 (II)设N(x0,y0),P(a,0),由题设可知抛物线准线方程为y=0, 当直线NP的斜率存在时,则直线NP方程为y=(x-a) 即y0x+(a-x0)y -ay0=0 6分 当直线的斜率不存在时,满足上方程, 因直线NP与圆C相切,所以=1 即(y0+2)a2-2x0a-y0=0 8分 由y0≥1知y0+2≠0,上面关于a方程两根是P、Q两点横坐标a1+a2=,a1a2=, |PQ|=|a1-a2|===而x02=4(y0-1) ∴|PQ|== 10分 === 12分 ∵y0≥1,∴0<≤,∈(0,] ∴当=,即y0=10时,|PQ|max= 当=,即y0=1时,|PQ|max= ∴|PQ|的取值范围是 [,] 14分试题答案及评分标准一、CCDBC、DACBD、BDBC二、15、4π 16、- 17、-8 18、①②④三、19、解:设ax=t>0 则原方程变为logt+2(2t2+3t-2)=2 ∴2t2+3t2-2=(t+2)2 4分 整理得t2-t-6=0 解得t1=3,t2=-2 6分 ∵t>0,∴t2=-2舍去 当t1=3,即ax=3时x=loga3, 8分 经检验x=loga3是原方程的解 9分 ∴原方程的解为x=loga3 10分20、解:z1·z2=(a+bi)(cosA+icosB)=(acosA-bcosB)+i(bcosA+acosB) 4分 由题设得 6分 由式及余弦定理得:a· -b· =0 8分 整理得:(a2-b2)(c2-a2-b2)=0 ∴a=b或c2=a2+b2满足②式 10分 ∴ΔABC为等腰三角形或直角三角形 12分 21、 解:(I)在面AC1内过D作EG∥AC,交AA1于E,交CC1于G. 则E、G分别为AA1、CC1的中点,连结EF、GF、FC1 DF为异面直线AC1与BB1的公垂线段4分 在正三角形EFG中,DF=a 6分(II)设点C1到平面ACF的距离为h. 过A作AH⊥BC交BC于H,则AH为点A到面BC1的距离. ∵VC1-ACF=VA-CC1F,即SΔCC1F·AH=SΔACF·h 8分 ∵SΔCC1F=a2,AH=a,AC=a,CF=AF=a SΔACF=AC·=a2 10分 ∴h==a 即点C1到平面AFC的距离为a 12分22、解:设进水量选用第n级,在t时刻水塔中的水的存有量为: y=100+10nt-10t-100(0<t≤16) 2分 要是水塔中水不空不溢,则0<y≤300 即 对一切0<t≤16恒成立。 6分 令=x,x≥ 则-10x2+10x+1<n≤20x2+10x+1 而y1=-10x2+10x+1=-10(x-)2+≤(x≥) 8分 y2=20x2+10x+1=20(x+)-≥4(x≥) 10分 ∴3<n≤4 ∴n=4选择第4级进水量可满足要求 12分23、解:(I)对任意x1、x2∈[-1,1],当x1<x2时,由奇函数的定义和题设不等式得: 3分 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=(x2-x1)>0 即 f(x2)>f(x1) 5分 ∴f(x)在[-1,1]上是增函数,而a>b,∴f(a)>f(b) 7分 (II)由(I)得:-1≤x-<x-≤1 7分 解得: -≤x≤即不等式的解 9分 (III)P={x-1≤x-c≤1=}=[c-1,c+1],Q={-1≤x-c2≤1}=[c2-1,c2+1] 11分 P∩Q=Φ <=>c+1<c2-1或c2+1<c-1 13分 解得:c<-1或c>2 的取值范围是c<-1或c>2 14分24、解:(I)抛物线顶点M(0,1),圆C的圆心(0,-1),半径r=1。 ∴圆的方程为x2+(y+1)2=1 4分 (II)设N(x0,y0),P(a,0),由题设可知抛物线准线方程为y=0, 当直线NP的斜率存在时,则直线NP方程为y=(x-a) 即y0x+(a-x0)y -ay0=0 6分 当直线的斜率不存在时,满足上方程, 因直线NP与圆C相切,所以=1 即(y0+2)a2-2x0a-y0=0 8分 由y0≥1知y0+2≠0,上面关于a方程两根是P、Q两点横坐标a1+a2=,a1a2=, |PQ|=|a1-a2|===而x02=4(y0-1) ∴|PQ|== 10分 === 12分 ∵y0≥1,∴0<≤,∈(0,] ∴当=,即y0=10时,|PQ|max= 当=,即y0=1时,|PQ|max= ∴|PQ|的取值范围是 [,] 14分