弹塑性力学基本理论及应用(刘土光)第7章 柱体的弹塑性扭转

第七章 柱体的弹塑性扭转 第7章 等截面柱体的弹塑性扭转 在船舶、航空、土建以及机械 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 等的机械传动机构中，作为传递扭矩的柱体是个重要的部件。所谓柱体的扭转，是指圆柱体和棱柱体只在端部受到扭矩的作用，且扭矩矢量与柱体的轴线 的方向相重合。 扭转问题属于仅在端面上受力柱体的平衡问题，若严格地满足其边界条件，按弹塑性力学求解是比较困难的。因此，利用圣维南原理，将边界条件放松，即认为柱体中间截面上的应力仅与端面上外力的合力及合力矩有关，这种放松了边界条件的问题称为圣维南问题。即使对于圣维南问题，仍需 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 解一组偏微分方程，并使其满足一定的边界条件。但在实用上很少由直接积分其基本方程而得到解答，大部分工程问题用间接的或近似的方法得到。在间接方法中，圣维南的半逆解法是很重要的。即先在应力或位移分量中假设一部分未知函数，然后将这部分函数代入基本方程，求得另外一部分的未知函数，并使全部未知函数满足所给定的边界条件，则所假设的和求得的函数即为问题的解。由于用应力作为基本未知函数用半逆法求解时可以导致比较简单的边界条件，因此求解比较方便。 7.1 弹性柱体自由扭转的基本关系式与应力函数解 在材料力学中曾经过讨论圆轴的扭转，其特点是扭转变形前后的截面都是圆形，而且每一个截而只作刚体转动，在小变形条件下，没有铀向位移，取坐标系为 ，且柱体的轴线为 方向， 方向的位移为 ，即 。这样，变形后截面的半径及圆轴长度基本不变。 非圆形截面柱体的情况要复杂得多。由于截面的非对称性，在扭转过程中，截面不再保持为平面，而发生了垂直于截面的翘曲变形，即 。函数 称为翘曲函数。下面讨论任意截面形状的棱柱体扭转基本方程。 设有任意截面形状的等截面棱柱体，柱体两端受纠扭矩 作用，如图7.1所示。 1. 边界条件 对于扭转问题，柱体侧面为自由表面，因此柱体侧面的边界条件为 (7.1-1) 式中 。 图7.1 棱柱体的扭转 在端部边界条件为 (7.1-2) 2.柱体扭转时的位移与应变 对于柱体扭转问题，圣维南半逆解法假设：(1)认为截面的翘曲变形与 轴无关，即各截面们翘曲程度相同。(2)柱体发生扭转变形时，截面仅仅产生绕 轴的刚体转动，且间矩为单位长度的两截面的相对扭转角(扭率) 为常数。因此，由假设(1)可知，翘曲函数 仅为 的函数；又由假设(2) 可知，翘曲函数必与祟函数戏正比，即 (7.1-3) 再由假设(2)，如果令距坐标原点为 处截面相对 截面的扭转角为 ，则该截面上距扭转中心 为 的任一点扭转后移 至 (图7.2)，由于 处截 面没有转动，只有翘曲，因此 点在 方向 的 位移分量为 (7.1-4) 式中 为 与 轴之间的夹角。由于截面总扭转角 图7.2扭转变形的位移 与该截面至坐标原点的距离成正比，故 的转角为 。将式(7.1-3)和式(7.1-4)代入应变位移关系，可得一点的应变为 (7.1-5) 3.广义虎克定律 对于柱体的弹性扭转，根据(7.1-5)式可得应力与应变之间的关系化为 (7.1-6) 由式(7.1-5)和(7.1-6)可见，根据圣维南原理得到：截面上任诃一点都没有正应力，因此各纵向纤维之间和沿各纵向纤维方向均无压了应力；在各截面内( 平面)没有应变，即截面在 坐标面上的投影形状不变。此外，在截面每一点只有由 和 所确定的纯剪切。 4.平衡方程 当不计体力时，平衡方程可由(2.2-2)式化为 (7.1-7) 5.应变协调方程 将式(7.1-6)中的第二式对 微分，第三式对 微分，然后相减，可得用应力表示的两种不同形式的应变协调方程为 (7.1-8) 由上式可知，翘曲函数是调和函数，通常称 为圣维南调和函数。于是，任意截面形状的柱体扭转时的应力，归结为根据边界条件求解(7.1-7)，(7.1-8)两式。 6.柱体扭转的应力函数法 由于从(7.1-8)式求解翘曲函数 通常比较困难，为此，借助应力函数法。当不计体力时，设应力函数与应力分量 和 之间的关系为 (7.1-9) 称 为普朗特应力函数。将式(7.1-9)代入平衡方程式(7.1-7)，显然满足。将它代入应变协调方程(7.1-8)第二式后，得 (7.1-10) 由此可知，应力函数 应满足上述偏微分方程式(7.1-10)。这种类型的方程称为泊松方程。 当柱体侧面无面力作用时，则边界条件式(7.1-1)简化为 (a) 注意到在边界上， ，由图7.1可知，当 增加时， 增加，而 减少。因此，其方向余弦为 (b) 将式(7.1- 9)和式(b)代入式(a)后，有 (c) 由式(c)可知 常数 上式说明，沿柱体任意截面的边界曲线，应力函数 为一任意常数。对于实心柱体，也即截面为单连通域，由式(7.1-9)知，因剪应力是应力函数的一阶偏导数，所以将常数取为零并不失一般性，即 (沿柱体周边 ) (7.1-11) 而截面上任一点的合剪应力的为 (7.1-12) 式中 为沿 等值线的法线方向， 的方向为沿 等值线的切线方向，因此称 等值线为剪应力线。由于边界上的剪应力方向必须与边界的切线一致，故周界线 本身也是一条剪应力线。 由以上可见，对于给定的 值，不难由方程(7.1-10)和(a)唯—地确定应力函数 ，从而由式(7.1-9)求出应力，由(7.1-5)求出应变，以及翘曲函数 。但我们注意到，由式(7.1-6)和(7.1-9)有 从上式可见，当通过积分求位移函数 和翘曲函数 ，则在所得结果中包含有表示刚体位移的积分常数，因此位移函数和翘曲函数可准确到一个附加常数的范围内。 根据上面所述方法求得的应力分布还应满足柱体端部条伴，即 (d) 其中积分限 为截面面积。对上式做第二个积分利用分部积分，可得 注意到在边界侧面上的点 等 ，因此上式的最终结果为 (e) 同理，第一个积分也可写为 (f) 将式(e)、(f)代入式(d)，最后得 (7.1-13) 上式表示，如在截面上每一点有一个 值，则扭矩 为 曲面下所包体积的二倍。 由以上讨论得出，如能找到一个函数 ，其在边界上的值为零，在截面内满足方程(7.1-10)，则截面的剪应力分布及扭矩 就都可求得。 7.2 常见截面形状柱体的扭转 本节采用应力函数法讨论椭圆形截面和矩形截面两种柱体的扭转。 2.1椭圆形截面柱体的扭转 1.应力函数与应力分量 截面形状如图7.2所示椭圆柱体，在两端受到扭矩 ，截面边界方程为 (a) 选用应力函数为 图7.2 椭圆截面柱体 (b) 显然，它满足边界条件式(7.1-2)和式(7.1-11)。式中 为常数。将(b)式代入(7.1-2)式得 (c) 于是 (d) 为了确定常数 ，将式(d)代入式(7.1-13)，得 (e) 由于 所以，由(e)式有 故可得 (f) 将式(f)代入式(d)，应力函数为 (7.2-1) 将式(7.2-1)代入式(7.1-9)，得剪应力分量 (7.2-2) 由(7.1-12)得合剪应力为 (7.2-3) 由式(7.2-2)和式(7.2-3)可知，剪应力分布有如下特点： (1)在每一点，应力比值 ，即沿任意半径方向各点具有相同的比值。这意味着沿同一半径方向各点剪应力相互平行，如图7.2所示。 (2)在边界上，两剪应力分量的上述比值正好等于椭圆切线的斜率，可见边界上的剪应力(合力)沿边界面切向，而法向剪应力为零。且在长半轴边缘( )， ；在短半轴边缘( )，则 。 (3)由式(7.2-2)知，剪应力分量均在边界上最大，且正比于 或 坐标。整个截面上的最大剪应力在( )处，即短半轴边缘，其值为 (7.2-4) 当 时，由以上各式可得圆形截面的剪应力公式。 2.2扭率、扭转刚度和位移 将式(7.2-1)代入应变协调方程第二式，可得扭率 为 (7.2-5) 称为扭转刚度。扭转刚度是一个有用的概念，其单位与扭矩的单位相同。 由于椭圆截面的面积 和形心极惯性矩 分别为 因此，由(7.2-5)式，并注意到上式，则可将扭转刚度可写为 (7.2-6) 将式(7.2-5)代入式(7.1-4)可得位移分量 为 (7.2-7) 为了求得位移 ，由式(7.1-6)和式(7.1-9)可得 (g) 将式(7.2-1)代入上式，并积分后，得 (h) 由上式可知， ，它代表刚体位移，并不影响应力，故可略去，于是得翘曲位移为 (7.2-8) 式(7.2-8)表明，截面翘曲后的形状为双曲抛物面，如图7.3所示。它的等高线在 平面上的投影为双曲线，其渐近线为椭圆长短轴，在长短轴上各点无翘曲。若第一、第三象限向下翘，则第二、第四象限向上翘。翘曲面与 平面间形成耐体积的代数和为零。即 图7.3 椭圆截面柱体扭转翘曲形状 此式对任何受扭转柱体的翘曲截面都适用。 2.2矩形截面柱体的扭转 由7.1节讨论知，应力函数 在 图7.4所示矩形截面区域ABCD内满足泊 松方程 在边界上，即当 EMBED Equation.3时，有 图7.4 矩形截面柱体 (a) 由数学物理方程知，上述问题为求解泊松方程的第一边值问题，或狄里希菜(Dirichelet)问题。在单连通域的情况下，这类问题的解可假定为下列形式： (b) 其个 为泊松方程的特解， 是相应齐次方程的解。即 (c) 如果求得了 ，则由式(a)、(b)可知，下列狄里希莱问题 (7.2-9) 的解则可求得。 对于本问题，取 为 (f) 由式(e)知， 为调和函数，再根据式(e)和(f)， 应满足如下条件： (g) 令 取为 再由 有 ， 或 由于上式可知，等号左边仅为 的函数，右边仅为 的函数，因此只能等于同一常数，令常数为 ，则有 于是根据一般齐次常系数二阶方程可得通解为 (h) 式中常数 由边界条件(7.2-9)式确定。由边界条件(7.2-1)式，在 上有 (i) 从上式可以看出， 为 的奇函数，所以 。又由(7.2-1)式可以看出，在 时，有 (j) 由该式可见， 是关于 轴的对称函数，所以 。于是有 因当 时， ，所以有 (k) 于是由式(f)和式(j)，并注意式(k)，得应力函数 为 (7.2-10a) 将上式的第一项按级数展开为 将上式代入(7.2-10a)，得 (7.2-10b) 由式(a)知，当 时， ，代入式(7.2-10b)后，得 (7.2-11) 将式(7.2-11)代入式(7.2-10a)，得 (7.2-12) 由式(7.1-13)可得扭矩为 (7.2-13) 令 (7.2-14) 由(7.2-13)式和(7.2-14)式，得扭转刚度 和扭率 分别为 (7.2-15) 将式(7.2-15)第二式代入(7.2-12)得 (7.2-16) 由式(7.2-16)可求得剪应力分量为 (7.2-16) 根据式(7.2-16)算得的矩形截面周界各顶点的剪应力为零。截面上剪应力分布如图7.5。 图7.5 应力分布图 图7.6 翘曲等高线 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 式(7.2-16)和由图7.5可知，在 处，剪应力 取得最大值，即 (7.2-17) 式中 (7.2-18) 在 处，剪应力 取得最大值，即 (7.2-19) 其中 (7.2-20) 由式(7.2-14)、(7.2-18)和(7.2-20)可知， 均随 而变化。系数 的取值列于表7.1。 表7.1 与 的关系 1.0 1.5 1.75 2.0 2.5 3.0 4.0 6.0 8.0 10.0 0.141 0.208 0.208 0.196 0.231 0.270 0.214 0.239 0.291 0.229 0.246 0.309 0.249 0.258 0.337 0.263 0.267 0.354 0.281 0.282 0.379 0.299 0.299 0.402 0.307 0.307 0.414 0.313 0.313 0.422 0.333 0.333 0.448 由表7.1可以看出，当 很大时，即为狭长矩形截面， 的值趋于 ，此时公式(7.2-15)第二式和(7.2-17)可简化为 (7.2-21) 其中 和 分别为狭长矩形截面的长和宽。 截面的翘曲可由(7.2-12)式反映出来，令 为常数，可得截面翘曲后的等高线方程。当 时，诸等高线在 平面的投影如图7.6所示，其中实线表示上翘，虚线为下凹。 7.3 薄膜比拟法 当受到扭矩作用的柱体的横截面形状较复杂时，求解往往十分困难。为了解决扭转问题，普朗特于1903年提出了一种用薄膜来模拟挠度的薄膜比拟法，从而避开了数学上的困难，通过这种薄膜模拟的实验方法求扭转问题的解，比 拟的条件是微分方程和边界条件应各自相同。。 设有均匀的薄膜，粘贴或装在一个和扭转柱体截面形状相同或成比例的孔上，薄膜在微小的均匀压力作用下，将产生挠度 ，它是 的函数。因为膜很薄，可以认为它不能承受弯矩、扭矩、剪力和面内压力，在不计薄膜重量时，薄膜内部只能承受均匀的张力 ，而且处处相等；在薄膜的一侧受到均布的横向压力 (图7.7)。 图7.7 薄膜比拟示意图 从膜中取出一个微小单元体 (参见图7.7)，它在 平面的投影是一个矩形，边长为 和 ，其上作用有压力 和张力 。由于挠度 很小，可近似认为在平行于 平面的薄膜各处， 边切线的斜率 ；同理，在平行于 的平面内，薄膜上 边各点切线的斜率 。 因各点挠度 不同，所以张力 在 边的斜率为 同理可得 边的斜率为 。这样，薄膜的垂向平衡方程为 将上式整理后得 (7.3-1) 上式即为泊松方程，与方程(7.1-10)比较，可知薄膜问题与扭转问题相似，其各量之间的关系列于表7.2。 表7.2 薄膜比拟相关参数对照表 薄膜问题 扭转问题 表7.2中 为薄膜下的体积。这就是说，膜的平衡位置 与 曲面相似，膜的等挠度线与剪应力线相似，膜在任一点的坡度与相应的合剪应力成比例。由此可得到结论：(1)柱体上任一点的最大剪应力的方向，就是薄膜上相应点处等挠度线在该点的切线方向，其大小与过该点的切面沿法线方向的斜率成正比。(2)薄膜的等挠度线与截面的剪力线一致。(3)薄膜挠曲面下的体积与扭矩成正比。 7.4 薄壁杆件的扭转 利用薄膜比拟法可以十分方便地讨论薄壁杆件的自由扭转问题。 4.1 开口薄壁杆件的扭转 工程上开口薄壁杆件诸如角钢、槽钢、工字钢、T型钢等应用颇多。几何上其壁厚较薄，可节省材料，这些优点在材料力学中已经提及。对于这类薄壁杆件，因为壁厚很小，利用薄膜比拟法，其截面可以近似看成由若干个等宽度的狭长 矩形组成，这些狭长矩形可能是直的或是曲的。 由薄膜比拟可以想象：如果一个直的狭长短形和另一个曲的狭长短形具有相同的长度 和宽度 ，则当张在这两个狭长矩形上的薄膜受有相同的压力 和张力 时，两个薄膜同各自边界平面间所占的体积 以及它们的斜率 大体上是相同的。由此可以推断，如果两个杆件的材料相同，所受的扭矩 也相同， 则两个杆件的最大剪应力和单位扭转角也就没有多大差别。因此，一个曲的狭长矩形截面就可以用一个同长同宽的直的狭长矩形截面来代替，而不致引起多大的误差。 1.狭长矩形截面杆的扭转 对于图7.8所示狭长矩形截面杆，略去矩形短边的影响，假设微弯的薄膜面是一个筒形曲面，即沿截面的 方向不变，因此挠度 仅为坐标 的函数，由式(7.3-1)可知，薄膜的挠度方程可简写为 (7.4-1) 图7.8 狭长矩形杆的扭转 将(7.4-1)式积分两次，并考虑到边界条件：当 时， ；当 时， ，得 (7.4-2) 即薄膜挠度在宽度 方向为一抛物线(图7.8)。于是，薄膜最大挠度及薄膜曲面与 平面之间的体积分别为 (7.4-3) 根据薄膜比拟关系表7.2和式(7.1-10)可知 (7.4-4) 将 换为 ， 换成G，得扭矩计算表达式 (7.4-5) 式中 为狭长矩形截面的极惯性矩。由上式可得单位长度的扭率 和抗扭刚度 为 (7.4-6) 由式(7.4-4)和(7.4-5)可知，最大剪应力发生在长边中点 处，即发生在靠近形心轴的点上，其值为 (7.4-7) 现在考虑剪应力沿薄壁矩形周边的性质。由于狭长矩形的表面为自由表面，所以剪应力线总是与边界线平行。在四个角点处，由于薄膜在此点和z＝0平面相切，故该点之合剪应力等于零。这一结果对开口薄壁杆的弹性扭转近似计算很有意义。 2. 多肢薄壁组合杆的扭转 根据狭长矩形截面杆扭转剪应力的性质，对于截面为多个窄条组成的杆的自由扭转，就可以看成是若干窄条截面杆扭转问题的解的组合。从薄膜比拟观点，可认为薄膜张在各分肢断面上，只是各分肢连接处情况比较复杂。但是由于不同分肢衔接处所占部位不大，因而可以忽略。如记 和 分别为不同分枝的长度和壁厚， 为不同分肢上的剪应力，剪应力沿边缘的切向，于是按式(7．4-7)，(7．4-6)第一式，其各分肢的剪应力和扭转刚度有 (7.4-8) 总扭矩等于各组成部分的扭矩之和，故有 (7.4-9) 利用(7.4-8)的第二式，得到整个截面的扭转刚度为 (7.4-10) 最大剪应力发生在壁厚最大的分肢的边缘上，即 (7.4-11) 最后须指出，工程实际应用的薄壁构件，在各组成部分接头处为圆角过度，其圆角处将发生相当大的应力集中，其数值决定于该处的圆角半径。对于较小的圆角半径 ，例如 ，圆角处的最大剪应力 可按下式计算 (7.4-12) 其中 是圆角半径， 按(7.4-8)的第一式计算。对于不同壁厚 则应取大的厚度进行计算。 4.2 闭口薄壁杆件的扭转 闭口薄壁杆件的特点是截面多为连通域。同开口薄壁杆件一样，采用薄膜比拟法求解较为方便。 1.空心薄壁管的扭转 设有一空心薄壁管截面，其厚度为 ，如图7.9所示。任意空心薄壁管的内外边界上，应力函数有不同的边界值。设外圈的应力函数 为零，内圈的 为 。由于薄壁管的壁厚很薄，因此可认为薄膜的挠曲面沿管厚度的斜率不变，这就相当于假设剪力沿壁厚均布。所以，根据式(7.1-12)有 现设想在截面上粘贴一薄膜，使薄膜在外周界 的挠度为零，在内周界 的挠度为 ，实即设想在内周界为一刚性平板，只作垂直向下移动。在薄膜上加以垂直的均匀载荷 ，于是在壁厚为 的地方，剪应力大小是常量，且等于 (a) 扭矩应等于薄膜下面体积的二倍，考虑到薄膜斜率沿壁厚不变，并注意式(a)，所以有 (b) 式中 是壁厚中心线 所围成的面积。由上式可得计算平均剪应力的简单表达式为 (7.4-13) 由上式可见，最大虏应力发生在壁厚 最小的地方，这与开口薄壁的情况正好相反。 现在计算扭率 。为此，研究内周界 作为一刚性平板的平衡。在薄壁管中线所围成的中线 上，每单元长度 内薄膜对平板的拉力为 ，拉力在 轴上的投影是 ，此处 是薄膜的斜度，即薄膜斜边与 轴之间的夹角。将这个投影沿中心周线 积分，得张力的垂直总分力，它应等于 内所受到的全部向下的载荷，即 (c) 考虑到 都是常量，且由表7.2知， ，根据式(b)有 ，以及 ，得 (d) 对于均匀厚度空心薄壁管，厚度 为常数，故有 (e) 此处 是空心薄壁管中心线 的周长。 2. 多连通薄壁截面的扭转 假设受到扭矩 作用的柱体为如图7.10所示功ｊ多连通 薄壁截面。令各边界为 ，并在 各边界上的应力函 数 的值分别为零和 。薄壁的厚度分别为 ，相应 的剪应力记为 。因为 (f) 则有 (7.4-14) 其中 和 是内边界 和 的高度。 由体积 求得扭矩的大小为 (g) 式中 和 是图7.10中各连通区域厚度中心线(虚线)所围成的面积。 由式(7.1-10)和(7.3-1)可得 (h) 对于单连通域，薄膜所围面积的静力平衡为 (i) 并注意到式(f)，则将式(h)代入上式，得 (j) 那么，对于多连通薄壁杆，将式(j)用于图7.10虚线所围闭合曲线，并用 表示各部分虚线的长度，则得 (k) 那么对(7.4-14)第三式和式(g)、(k)联立求解，得 (7.4-15) 在对称截面的情况下， ， ， ，则 ，略去与薄膜斜率沿腹壁厚度的变化相对应的微小应力，则扭矩由管的外壁承受，而腹壁不受力。 7.5 塑性扭转与沙堆比拟法 对于弹性棱柱体的自由扭转，应用应力函数求解，其合剪应力为式(7.1-12)。即 上式表示，合剪应力等于应力函数 的梯度的模。 当合剪应力在果一点达到屈服应力值时，柱体开始屈服。此时， 在该点达到最大值，根据薄膜比拟法，相对应的薄膜在该点的坡度也达到最大值。由于边界上的剪应力首先达到最大值，所以最先出现屈服的点一定在截面的边界上。当扭矩继续增加，塑性区的范围将逐渐扩大，而达最大坡度的区域也逐渐由截面边界向棱柱体内部延伸。对于塑性区，仍采用以前的假设，则由米塞斯屈服条件给出 (7.5-1) 式中 为纯剪切屈服应力。 当棱柱体处于弹塑性状态，当不计体力时，剪应力分量满足平衡方程 (7.5-2) 和满足式(7.1-8)第二式所导出的应变协调方程 (7.5-3) 引入塑性扭转应力函数 ，即 (7.5-4) 将上式代入屈服函数表达式(7.5-1)，得 (7.5-5) 与棱柱体弹性扭转类似，式(7.5-5)还可写为 (7.5-6) 由于上式是由衡方程及屈服条件得到的，它表示柱体全部进入屈服(即全塑性)时所满足的方程式。由上式可知，对于理想弹塑性构料，当 的梯度的数值达到 时，柱体全部进入塑性。而且，塑性应力函数曲面为等倾面。由于边界条件 不涉及物理关系，所以在进入塑性后仍然适用，即有 0 (7.5-7) 根据以上求解全塑性问题的基本方程及边界条件，纳达依(Nadai)提出了沙堆比拟求解全塑性扭转问题。沙堆比拟方法是；在与柱体截面相同形状的平面上堆起—个沙堆，并使沙堆表面也形成一个等倾曲面(如图7.11)。沙堆的高度 的方程可写为 (7.5-8) 式中 为沙子的内摩擦系数。 (a) (b) 图7.11 沙堆比拟 (a)圆柱形柱体；(b)矩形截面柱体 在塑性区，剪应力矢量的大小为一常数，且其方向垂直于区域周界的法线(如图8.12a)，即剪应力线平行于区域的周界。如果区域周边存凹角时，如图8.12(b)，则剪应力以图孤线绕过尖角。沙堆顶盖的“脊”是剪应力的间断线， 过该线不连续，即剪应力 发生跳跃变化，如图7.12(c)中的脊线 便是这种间断线。由该图可以看出，在应力间断线 两侧，剪应力的方向发生了跳跃式变化。实际上，在间断线两侧的应力函数曲面 的坡度也发生了间断，且是跳跃式的变化。 (a) (b) (c) 图7.12 剪应力特征 以上是整个截面处于塑性状态时的情况，材料进入这种完全塑性状态以后，无限制的塑性流动成为可能。完全塑性状态称为极限状态。与此状态对应的扭矩称为塑性极限扭矩，记为 。由沙堆拟可知，塑性极限扭矩显然为 (7.5-9) 即塑性极限扭矩为给定周边基础上建造起来的等坡度顶盖下体积的2倍。 这样，塑性极限扭矩的计算变得很容易了。 例1 对于半径为 的圆截面杆，坡度 高，体积 ，于是塑性极限扭矩为 (7.5-10) 而刚开始产生塑性变形的扭矩 ，可由(7.2-3)式令 和 得到 (7.5-11) 例2 对于矩形截面( )杆，坡度 ，体积(参见图7.11b)为 +2( )，所以塑性极限扭矩为 (7.5-12) 刚开始产生塑性变形的扭矩 ，可由(7.2-17)，并必须注意相关符号的对应后，得 (7.5-13) 当在以上两式中，令 ，则可得过长为 的正方形截面杆的塑性极限扭矩 和刚开始产生塑性变形的扭矩 为 (7.5-14) 以上几个例子，是易于求得塑性应力曲曲所包围体积的情况。当杆截面的形状比较复杂时，由于塑性应力曲面不易确定，运用上述方法求极限扭矩则比较困难。为此，可以用实验方法确定塑性极限情形的应力曲面，即将沙子等颗粒材料堆在和杆截面具有相同形状的水平放置的平板上，此时的沙堆为一个等倾面。如果测量沙堆的体积比较困难，也可用测量沙准重量来代替。例如，在所要考虑的截面上堆好沙，称出这堆沙的重量为 ，然后在半径为 的圆截面上堆上同样的沙，称出它的重量为 ，由于圆截面和给定的截面都发生塑性屈服时所需的极限扭矩之比，等于 与 之比，则得 (7.5-15) 7.6 弹塑性扭转与薄膜屋顶比拟法 当杆件两端施加的扭矩 小于塑性极限扭矩 但大于弹性极限扭矩 时，杆件的截面上将同时存在弹性区域和塑性区域。本节研究这种情况下截面上的应力分布规律。 1.圆形截面杆件弹—塑性扭转的解折解 如果杆件的横截面为圆形或者环形，根据问题的对称性，可以预先判定横截面上弹性区和塑性区的分界线 为一圆，因此，这种圆形截面杆件弹—塑性扭转的解析解可以直接求得。 设杆件截面的半径为 ，以截面的 圆心为原点取极坐标，并没弹、塑性区 交界线 的半径为 ，如图8—10所示。 由于该问题为轴对称问题，应力和应力 函数仅只是坐标 的函数，与极角 无 关。这样，弹性扭转方程式(7.1-10)和 塑性扭转方程式(7.5-8)可分别写成如下 形式： 图7.13 圆形截面上的弹性区和塑性区 (7.6-1) 其中 和 分别为弹性区和塑性区的应力函数。而弹塑性交界面 的连续条件则为 (7.6-2) 在弹性区( )内，将方程式(7.6-1)第一式积分，并考虑到圆心处的对称条件 ，则有 (7.6-3) 式中 为积分常数。 在塑性区( )内，将方程式(7.6-1)中的第二式积分，并考虑到边界条件 ，得 (7.6-4) 将式(7.6-3)和(7.6-4)代入连续方积(7.6-2)，解得 (7.6-5) 如果给定单位扭转角 ，通过式(7.6-5)中第二式可以求得弹、塑性交界线 的半径 ，再利用式(7.6-3)、式(7.6-4)和式(7.6-5)中的第一式，便可得到整个截面上的应力函数 ；如果给定的不是单位扭转角 ，而是扭矩 ，那么，利用式(7.1-13)，不难得到下列 与 的关系 (7.6-6) 由式(7.6-5)中的第二式可知，只有当 时， 才会等于零，即达到全塑性状态。这时弹性区退化成一个间断点。然而，应当强调指出，随着扭转的进行，扭矩 很快地趋近于塑性极限扭矩 (例如，当 时， )。实际上，在扭转角还不是很大时，杆件已经失去了承载能力。 在式(7.6-6)中，令 ，可以求得塑性极限扭矩为 这与采用沙堆比拟法所得的结果完全一致。利用上面所得到塑性极限扭矩这一关系，式(7.6-6)也可以写成 (7.6-7) 2.薄膜屋顶比拟法 当受到扭矩作用的杆件截面不象圆柱形那样，而是比较复杂时，采用解析法在数学上将产生很大的困难，1923年纳达依为解决这类问题，提出了一种薄膜屋顶比拟法。 薄膜屋顶比拟法也是一种通过实验确定应力函数 ，从而求得弹塑性扭矩的方法。其作法为；在给定的周界上筑起一个有等倾角的刚性屋顶(例如用玻璃制成)，让它符合于纯塑性状态的应力函数，即沙堆的自然坡度。然后在屋顶的基面上张紧薄膜，并且薄膜受到均匀分布的压力。当压力不大时，薄膜与屋顶并不按触，即薄膜并不受“屋顶”的阻碍，与上述薄膜比拟法情况相同，因此杆这时对应于弹性扭转状态，如图7.14(a)的位置。当压力增加，薄膜的挠度也随之加大，在边缘上有一部分薄膜开始与屋顶相贴附，这时就对应于杆件内有一部分断面开始出现塑性变形，进入塑性状态。随着压力的逐渐增加，薄膜越来越多地贴附在屋顶上，如图7.14(b)中的位置。这时，应力函数满员塑性应力函数的条件， 的梯度的绝对值等于常数 。当压力继续增大，则薄膜与屋顶的贴附也继续扩大，这就是塑性区的扩展(如图7.14c所示)。自由薄膜与受约束薄膜是连续的， 图7.14 弹塑性薄膜屋顶比拟法 且自由薄膜与“屋顶”相切。于是，由薄膜挠度表示的应力函数具有连续的一阶导数，即应力分量在越过弹塑性交界时是连续的。于是，弹塑性扭转时的应力函数就完全可以由薄膜自由部分和约束部分来表示。对于任一有限的扭率 ，截面总是包含弹性区和塑性区两部分，由这一实验可容易看出，沙堆比拟中脊线(间断线)就是弹性区收缩的极限。 由于扭矩公式(7.1-13)是从静力平衡条件得来的，因此它不仅适用于弹性状态和纯塑性状态，同样也适用于弹塑性状态。 图7.9 空心管壁管的扭转 图7.10 多连通薄壁截面杆 167 _1218392969.unknown _1218393100.unknown _1218393167.unknown _1218393233.unknown _1218393266.unknown _1218393282.unknown _1218393290.unknown _1218393299.unknown _1218393303.unknown _1218393305.unknown _1218393307.unknown _1218393308.unknown _1218393306.unknown _1218393304.unknown _1218393301.unknown _1218393302.unknown _1218393300.unknown _1218393294.unknown _1218393297.unknown _1218393298.unknown _1218393295.unknown _1218393292.unknown _1218393293.unknown _1218393291.unknown _1218393286.unknown _1218393288.unknown _1218393289.unknown _1218393287.unknown _1218393284.unknown _1218393285.unknown _1218393283.unknown _1218393274.unknown _1218393278.unknown _1218393280.unknown _1218393281.unknown _1218393279.unknown _1218393276.unknown _1218393277.unknown _1218393275.unknown _1218393270.unknown _1218393272.unknown _1218393273.unknown _1218393271.unknown _1218393268.unknown _1218393269.unknown _1218393267.unknown _1218393249.unknown _1218393258.unknown _1218393262.unknown _1218393264.unknown _1218393265.unknown _1218393263.unknown _1218393260.unknown _1218393261.unknown _1218393259.unknown _1218393253.unknown _1218393255.unknown _1218393256.unknown _1218393254.unknown _1218393251.unknown _1218393252.unknown _1218393250.unknown _1218393241.unknown _1218393245.unknown _1218393247.unknown _1218393248.unknown _1218393246.unknown _1218393243.unknown _1218393244.unknown _1218393242.unknown _1218393237.unknown _1218393239.unknown _1218393240.unknown _1218393238.unknown _1218393235.unknown _1218393236.unknown _1218393234.unknown _1218393200.unknown _1218393216.unknown _1218393225.unknown _1218393229.unknown _1218393231.unknown _1218393232.unknown _1218393230.unknown _1218393227.unknown _1218393228.unknown _1218393226.unknown _1218393220.unknown _1218393222.unknown _1218393223.unknown _1218393221.unknown _1218393218.unknown _1218393219.unknown _1218393217.unknown _1218393208.unknown _1218393212.unknown _1218393214.unknown _1218393215.unknown _1218393213.unknown _1218393210.unknown _1218393211.unknown _1218393209.unknown _1218393204.unknown _1218393206.unknown _1218393207.unknown _1218393205.unknown _1218393202.unknown _1218393203.unknown _1218393201.unknown _1218393183.unknown _1218393192.unknown _1218393196.unknown _1218393198.unknown _1218393199.unknown _1218393197.unknown _1218393194.unknown _1218393195.unknown _1218393193.unknown _1218393187.unknown _1218393189.unknown _1218393191.unknown _1218393188.unknown _1218393185.unknown _1218393186.unknown _1218393184.unknown _1218393175.unknown _1218393179.unknown _1218393181.unknown _1218393182.unknown _1218393180.unknown _1218393177.unknown _1218393178.unknown _1218393176.unknown _1218393171.unknown _1218393173.unknown _1218393174.unknown _1218393172.unknown _1218393169.unknown _1218393170.unknown _1218393168.unknown _1218393133.unknown _1218393150.unknown _1218393158.unknown _1218393162.unknown _1218393165.unknown _1218393166.unknown _1218393163.unknown _1218393160.unknown _1218393161.unknown _1218393159.unknown _1218393154.unknown _1218393156.unknown _1218393157.unknown _1218393155.unknown _1218393152.unknown _1218393153.unknown _1218393151.unknown _1218393142.unknown _1218393146.unknown _1218393148.unknown _1218393149.unknown _1218393147.unknown _1218393144.unknown _1218393145.unknown _1218393143.unknown _1218393138.unknown _1218393140.unknown _1218393141.unknown _1218393139.unknown _1218393135.unknown _1218393136.unknown _1218393134.unknown _1218393117.unknown _1218393125.unknown _1218393129.unknown _1218393131.unknown _1218393132.unknown _1218393130.unknown _1218393127.unknown _1218393128.unknown _1218393126.unknown _1218393121.unknown _1218393123.unknown _1218393124.unknown _1218393122.unknown _1218393119.unknown _1218393120.unknown _1218393118.unknown _1218393109.unknown _1218393113.unknown _1218393115.unknown _1218393116.unknown _1218393114.unknown _1218393111.unknown _1218393112.unknown _1218393110.unknown _1218393104.unknown _1218393107.unknown _1218393108.unknown _1218393106.unknown _1218393102.unknown _1218393103.unknown _1218393101.unknown _1218393034.unknown _1218393067.unknown _1218393084.unknown _1218393092.unknown _1218393096.unknown _1218393098.unknown _1218393099.unknown _1218393097.unknown _1218393094.unknown _1218393095.unknown _1218393093.unknown _1218393088.unknown _1218393090.unknown _1218393091.unknown _1218393089.unknown _1218393086.unknown _1218393087.unknown _1218393085.unknown _1218393076.unknown _1218393080.unknown _1218393082.unknown _1218393083.unknown _1218393081.unknown _1218393078.unknown _1218393079.unknown _1218393077.unknown _1218393071.unknown _1218393073.unknown _1218393075.unknown _1218393072.unknown _1218393069.unknown _1218393070.unknown _1218393068.unknown _1218393051.unknown _1218393059.unknown _1218393063.unknown _1218393065.unknown _1218393066.unknown _1218393064.unknown _1218393061.unknown _1218393062.unknown _1218393060.unknown _1218393055.unknown _1218393057.unknown _1218393058.unknown _1218393056.unknown _1218393053.unknown _1218393054.unknown _1218393052.unknown _1218393042.unknown _1218393047.unknown _1218393049.unknown _1218393050.unknown _1218393048.unknown _1218393045.unknown _1218393046.unknown _1218393044.unknown _1218393038.unknown _1218393040.unknown _1218393041.unknown _1218393039.unknown _1218393036.unknown _1218393037.unknown _1218393035.unknown _1218393002.unknown _1218393018.unknown _1218393026.unknown _1218393030.unknown _1218393032.unknown _1218393033.unknown _1218393031.unknown _1218393028.unknown _1218393029.unknown _1218393027.unknown _1218393022.unknown _1218393024.unknown _1218393025.unknown _1218393023.unknown _1218393020.unknown _1218393021.unknown _1218393019.unknown _1218393010.unknown _1218393014.unknown _1218393016.unknown _1218393017.unknown _1218393015.unknown _1218393012.unknown _1218393013.unknown _1218393011.unknown _1218393006.unknown _1218393008.unknown _1218393009.unknown _1218393007.unknown _1218393004.unknown _1218393005.unknown _1218393003.unknown _1218392985.unknown _1218392993.unknown _1218392997.unknown _1218393000.unknown _1218393001.unknown _1218392998.unknown _1218392995.unknown _1218392996.unknown _1218392994.unknown _1218392989.unknown _1218392991.unknown _1218392992.unknown _1218392990.unknown _1218392987.unknown _1218392988.unknown _1218392986.unknown _1218392977.unknown _1218392981.unknown _1218392983.unknown _1218392984.unknown _1218392982.unknown _1218392979.unknown _1218392980.unknown _1218392978.unknown _1218392973.unknown _1218392975.unknown _1218392976.unknown _1218392974.unknown _1218392971.unknown _1218392972.unknown _1218392970.unknown _1218392904.unknown _1218392936.unknown _1218392953.unknown _1218392961.unknown _1218392965.unknown _1218392967.unknown _1218392968.unknown _1218392966.unknown _1218392963.unknown _1218392964.unknown _1218392962.unknown _1218392957.unknown _1218392959.unknown _1218392960.unknown _1218392958.unknown _1218392955.unknown _1218392956.unknown _1218392954.unknown _1218392944.unknown _1218392948.unknown _1218392950.unknown _1218392952.unknown _1218392949.unknown _1218392946.unknown _1218392947.unknown _1218392945.unknown _1218392940.unknown _1218392942.unknown _1218392943.unknown _1218392941.unknown _1218392938.unknown _1218392939.unknown _1218392937.unknown _1218392920.unknown _1218392928.unknown _1218392932.unknown _1218392934.unknown _1218392935.unknown _1218392933.unknown _1218392930.unknown _1218392931.unknown _1218392929.unknown _1218392924.unknown _1218392926.unknown _1218392927.unknown _1218392925.unknown _1218392922.unknown _1218392923.unknown _1218392921.unknown _1218392912.unknown _1218392916.unknown _1218392918.unknown _1218392919.unknown _1218392917.unknown _1218392914.unknown _1218392915.unknown _1218392913.unknown _1218392908.unknown _1218392910.unknown _1218392911.unknown _1218392909.unknown _1218392906.unknown _1218392907.unknown _1218392905.unknown _1218392871.unknown _1218392887.unknown _1218392895.unknown _1218392899.unknown _1218392901.unknown _1218392903.unknown _1218392900.unknown _1218392897.unknown _1218392898.unknown _1218392896.unknown _1218392891.unknown _1218392893.unknown _1218392894.unknown _1218392892.unknown _1218392889.unknown _1218392890.unknown _1218392888.unknown _1218392879.unknown _1218392883.unknown _1218392885.unknown _1218392886.unknown _1218392884.unknown _1218392881.unknown _1218392882.unknown _1218392880.unknown _1218392875.unknown _1218392877.unknown _1218392878.unknown _1218392876.unknown _1218392873.unknown _1218392874.unknown _1218392872.unknown _1218392855.unknown _1218392863.unknown _1218392867.unknown _1218392869.unknown _1218392870.unknown _1218392868.unknown _1218392865.unknown _1218392866.unknown _1218392864.unknown _1218392859.unknown _1218392861.unknown _1218392862.unknown _1218392860.unknown _1218392857.unknown _1218392858.unknown _1218392856.unknown _1218392846.unknown _1218392851.unknown _1218392853.unknown _1218392854.unknown _1218392852.unknown _1218392848.unknown _1218392849.unknown _1218392847.unknown _1218392842.unknown _1218392844.unknown _1218392845.unknown _1218392843.unknown _1218392840.unknown _1218392841.unknown _1218392839.unknown