高等计算流体力学讲义_任玉新_清华大学高等计算流体力学讲义(5)

高等计算流体力学讲义（5） §7. TVD 格式 pdf格式笔记格式下载页码格式下载公文格式下载简报格式下载 一、背景 1.求解线性波动方程 的经典差分格式 （1）一阶迎风格式（First order） ， 其中 。上式也可以写为： （2）Lax－Friedrichs格式 （First order） 或 （3）Lax－Wendroff格式 （second order） 或 （4）Warming－Beam格式 （Second order） 2．二阶以上的差分或有限体积格式在间断附近的解可能会出现振荡。而一阶精度的格式通常会把激波“抹平”。参见图1和图2的（a），（b）。 图1 线性对流方程的解 我们希望，构造一种二阶或以上精度的格式，使之可以比较准确的计算含有间断的流动，同时不产生非物理的数值振荡。这种格式称为“高分辨率格式”（如图1的（c），（d），图2的（c））。 3．单调格式 单调格式是一种没有数值振荡的格式，它的定义为： 定义：单调格式，设差分格式可以写为： （1） 其中r ,s为非负整数。如果 ， ，则（1）式称为单调格式。一阶迎风和Lax－Friedrichs格式为单调格式。 4．单调格式的性质 ★ 已知 ，利用单调格式（1）求得 ，则： ★线性波动方程 的差分格式： （2） 是单调格式的充分必要条件是 ， 。 · Godunov定理 线性单调格式最多能达到一阶精度。 5．保单调性 假定 是单调的，如果通过（1）式得到的 具有与 相同的单调性，则说差分格式（1）式具有保单调性。容易 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ，（1）单调格式具有保单调性，（2）不存在二阶或二阶以上精度的线性保单调格式。即如果（2）式为线性格式（ 为常数）且具有保单调性，则（2）式至多有一阶精度。 6．所谓高分辨率格式，是具有保单调性的，二阶或二阶以上精度的格式。容易知道，这类格式必定是非线性格式，即使求解的方程是线性的。本节我们只介绍其中的一种典型高分辨率格式：TVD格式。 二、TVD格式的概念 TVD（Total Variation Diminishing）格式即总变差减小（不增）格式。所谓总变差，是衡量函数的光滑性的一种指标，其定义为： （3） 在离散点上， ，有： （4） 可以证明一维线性和非线性标量守恒律的解满足， 这种性质称为TVD性质。既然一维标量守恒律的解析解满足TVD性质，要求其数值解也具有TVD性质就是很自然的了。 定义：TVD格式 （5） 称为TVD格式，如果 容易证明：TVD格式具有保单调性，所以在间断附近不会出现非物理振荡。 三、TVD格式的构造 1． TVD格式的充分条件和构造原则 设一维标量守恒律 的差分格式可以写成： （6） 其中 。 ， 不仅与 ， 有关，而且与物理量 ， 等有关。Harten证明了下列定理： 定理： （6）式是TVD格式的充分条件是： ， ， （7） 根据这一条件，我们可以构造精度高于一阶的TVD格式。下面介绍构造TVD格式的思路。 方程 ； 的差分格式为： （8a） 如果(8)具有TVD性质，记此时的数值通量为 。即 （8b） 如果要求格式具有高于一阶精度，则 可以写成： (9) 其中 是某一阶格式的数值通量， 是二阶格式的数值通量。 称为通量限制器（flux limiter）。我们希望选择合适的 ，使格式在光滑区具有二阶精度。当采用三点格式时， ， 可写成如下一般形式： （10） 可以有多种取法，如取 ， （11） 时， 为一阶迎风格式的数值通量，其中 。 当取： ， 时， 对应的差分格式为Lax-Friedrichs格式。注意，上式中 。 二阶精度的三点格式只有Lax-Wendroff格式，即： ， （12） 把（10）式代入（9）式，有 （13） 把（13）代入（8b）式，得： （14） 由（14）式，我们希望选取适当的(0、(0、(，使得TVD条件（7）式得到满足，且格式为二阶精度。 2、迎风型TVD格式 如果我们取 为一阶迎风格式的数值通量，则得到的差分格式称为迎风型TVD格式，记 。则TVD格式的数值通量可以写为： 当a>0时， ，此时： （15） （14）式可以改写为： （16） Harten的TVD条件此时为： （17） 由（17）式， 应是r的函数。显然我们要求 （18） 我们要求(是有界的。所以可以对 引入下列限制条件： （19） (B、(T与i和r无关。（19）式可以等价地写为： （20） 易知下式是（18）式成立的充分条件： （21） 对（21）式左边不等式进行分析，可知： （22） 。 对（21）中右侧不等式进行分析，有 （23） 利用（19），（22），（23）式可以确定 的具体形式。 在讨论 的具体形式之前，先讨论一下方程 中 的情况。此时，（14）式可以改写为： （24） Harten的TVD格式的充分条件为： （25） 引入约束条件 （26） 为了满足TVD条件，需有： （27） 注意到此时 ， ，如果把c用 代替，则（27）式与（21）式在形式上是相同的。但是注意到 和 两种情况r的定义不同。把（27）式应用于 处（把 换为 ）。则（21），（27）式可以写成统一的形式。因此（22），（23）式也可以写成既使用于 ，也适用于 的一般形式（在 处） （28） （29 (30) (31) (32) (33) 为了确定 的具体形式，必须首先规定 ， 的值。一个常用的取法是 EMBED Equation.3 ， （34） 注意到当 = =0时， 为一阶迎风格式的数值通量。 时 为一阶“顺风”格式的数值通量。必须注意， 的取法具有一定的任意性，不同的取法，对于 平面上TVD格式对应的区域有直接影响。如Sweby取 ，他得到的TVD区域 的情况不尽相同。把（34）式代入（31）、（32）有 ， （35） 即（28）~（30）式可以化为： （36） （37） （38） 由（36）~（38）式，知： （39） 满足（39）式的 对应的格式，均为TVD格式。由（39）式， 的取法并不唯一。 另外，如何使TVD格式达到二阶精度呢？容易看出其条件为 。注意到 ，（8b）为Lax－Wendroff格式，这是一个二阶精度的格式。容易验证，当 时，（8b）为Warming－Beam二阶迎风格式。所以，当 夹在直线 和 之间时，格式（8b）可以看作两个二阶格式的加权平均，具有二阶精度。Sweby建议： 应尽量位于 和 之间。 下面介绍几种常用的通量限制器 ： ULTRABEE SUPERBEE VANLEER VANALBADA MINBEE(MINMOD) 不同的限制器的性能有一定差别。 越大，格式的耗散越小，对激波的分辨率越高。但是， 过大，数值结果中可能出现一些异常现象。如正弦波可能变为方波的形状，甚至可能导致计算失稳。对于定常流动的计算，使用光滑的限制器容易收敛到较小的残差。 3、非线性标量守恒律的TVD格式 考虑方程 ，设它的差分格式可以写为： （40） 令 ， ， （41） 则（40）式可以改写为： （42） 迎风型TVD格式的数值通量可以写成下面的形式， 。 （43） 迎风格式的数值通量为 ， （44） 其中： （45） Lax－Wendroff格式的数值通量为 。 （46） 把（43）－（46）式代入（42），可得（42）中C，D的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式。容易验证C，D的表达式与（15）式形式上是相同的， 只须以 代替a即可。由此可以看出，线性方程的TVD格式的推导，同样适用于非线性方程。即ψ的形式线性方程和非线性方程是相同的。 4、非线性守恒方程组的TVD格式 可以证明，非线性双曲型守恒方程组（系统）的解析解本身不具备TVD的特点。所以要求求解守恒方程的格式具有TVD的性质是不需要的，甚至是有害的。实际上，有人已经证明，不存在求解非线性守恒系统的TVD格式。所以所谓非线性守恒系统的TVD格式只是对标量方程TVD格式的形式上的推广。 先考虑标量方程 ，它的TVD格式的数值通量为 （47） 和 的表达式见（44）、(46)式。（47）式可以进一步整理为： （48） 下面把（48）式推广到非线性双曲型守恒系统的情况。考虑守恒律系统： （49） 假定在 处，Roe的线性化矩阵 存在。且 的特征值为 ，相应的左右特征向量为 。则把（48）式推广到求解（49）式的方法为： （1）、把（48）式中的 和 用特征变量代替，即： （2）、把（48）式中的 ，用 矩阵的特征值 代替。 （3）、（33）式中的r用特征变量的差分来定义，即： （50） （4）、上述（1）－（3）相当于对每一个特征值 ，由特征变量的差分代替标量方程的差分。在对每个特征值 进行上述替代后，可得第j个特征变量对应的特征数值通量为 。 最后，再把数值通量由特征变量的空间投影回物理变量的空间。利用关系 ， 其中 代表任意的m维列向量，可知，非线性双曲型守恒系统的迎风型TVD格式的数值通量可以写为： （51） 其中： ， 由（50）式计算， 是 对应的右特征向量。 思考：如何把TVD格式推广到求解多维问题？ §8、有限体积方法的高阶数据重构，MUSCL插值 一、一维问题的MUSCL－Hancock方法 MUSCL－Hancock方法是基于Riemann问题的精确解和近似解的时、空方向均为二阶精度的有限体积方法。 1．数据重构 为了达到空间二阶精度，我们假定 在控制体 中是线性分布，则在这个控制体中 （52） 其中 是反应物理量坡度的矢量，最简单的取法可以为 ,或 等。容易证明 （52） 这一条件称为相容条件。（51）式称为对 的一阶数据重构。 的确定方法在稍后详细讨论，现在假定 已经确定，则可以得到单元交界面的左右两侧物理量的值为： （53） （54） 2． 时刻界面物理量的计算 为了达到时间方向二阶精度，把方程推进半个时间步，计算 时刻的单元两侧的物理量 ， ： （55） （56） 3. 求解Riemann问题 令 ， 。把 、 做为Riemann问题的初始条件，精确或近似地求出 ，则数值通量 为： （57） 这样，求解 的有限体积格式可以写为： （58） 通过下一小节的分析，我们可以证明，该方法时间和空间均可达到二阶精度。 4. MUSCL插值 1中简述了数据重构的方法，下面对 的确定方法做进一步讨论。当采用1中所述简单重构方法时，格式为二阶精度，但在间断附近会产生数值振荡。为了避免数值振荡，必须对 进行某种限制。这种思想最初源于Van Leer的Montone Upstream-Centered Scheme for Conservation Laws。所以通常简称为MUSCL插值（或重构）方法。MUSCL插值的方法有很多，这里介绍一种根据TVD格式中的通量限制器（Flux Limiter）方法构造的MUSCL重构方法。通过这种方法，对于标量线性双曲型方程，可以构造出和前面讨论的TVD格式完全等价的MUSCL－Hancock格式，由此我们知道，MUSCL－Hancock也具有时空二阶精度。 考虑标量线性双曲型方程 具有TVD性质的迎风格式的数值通量可以写为： （59） 这相当于Riemann问题的解为： （60） 在采用MUSL－Hancock格式时，（60）相当于（55）（56）式中， 时刻的左右状态为： （61） （62） 又由 考虑到（53），（54）式，即： 可得： (64) (65) 比较（61），（62）和（64），（65）式，有： 或 （65） 在这里称为坡度限制器（slope limiter）。当 的取法不同时， 的表达式也不相同。一种常用的“slope limiter”是： （67） 容易证明，当（67）式中 时，相当于（66）式中 取MINMOD限制器。 时，相当于（66）式中 取SUPERBEE限制器。为了以后的表达方便，可以把（66），（67）式抽象地写成 。 是坡度的平均算子。 把上述MUSEL插值方法推广到方程组时可以简单地把（66）或（67）式应用于守恒变量的差分 的各个分量。另外一种计算效果更佳的推广方法是对特征量的差分进行坡度限制，即： （1）估算 ，如 或者取 为 的Roe平均。 （2）根据 ，计算（i＋1/2）处的特征值和特征向量。特征值为 ，相应的左右特征向量为 。 （3）计算（i＋1/2）左右j＝（i－1,i，i＋1,i＋2）各点的特征变量。 ， 。 （4）计算特征变量的坡度。 （5）计算（i＋1/2）处的特征变量 。 （6）计算（i＋1/2）处的守恒变量 （68） （7）在所有界面计算出 后，即可按照（55）～（58）的步骤推进求解。 二．多维问题的MUSCL-Hancock方法 下面把MUSCL-Hancock方法推广到多维问题。为了使问题简化，我们只考虑网格是充分光滑的情况，如下图所示： 对于网格分布不光滑和非结构网格的情况，也有适当的处理方法，这里不准备介绍。 1．重构 在光滑网格上，我们可以引入坐标变换 使得指标j 相同的控制体的中心点处为 的坐标线。指标i相同的控制体的中心为 的坐标线。这样，当在控制体 内采用线性重构时，有： (69) 事实上，我们感兴趣的只是 和 处守恒变量的值，因此，不必关心 (69) 式中 的具体计算方法，由 (69) 式有： (70) ， 的计算方法与一维问题类似，例如： (71) 2. 时刻界面物理量的计算 (72) 其中 ， 。当 时 当 时， 当 时可以类似写出。在求得 后， (73) 3. 求解Riemann问题计算 把 当作左右状态，通过求解扩张的一维Euler方程的Riemann问题可以计算出数值通量，从而求得 。具体做法参见§4。 §7. 半离散的TVD格式 一、半离散TVD格式的定义 定义：半离散格式 （1） 称为TVD格式，如果 。 此时，记数值通量为 。 二 半离散TVD格式的充分条件 设一维标量守恒律 的差分格式可以写成： （2） 其中 。 ， 不仅与 ， 有关，而且与物理量 ， 等有关。则（2）式是TVD格式的充分条件是： ， （3） 根据这一条件，我们可以构造精度高于一阶的TVD格式。下面介绍构造TVD格式的思路。 方程 ； 的某一差分格式具有TVD性质，记此时的数值通量为 。即 （4） 如果要求格式具有高于一阶精度，则 可以写成： (5) 其中 是某一阶格式的数值通量， 是二阶格式的数值通量。 称为通量限制器（flux limiter）。我们希望选择合适的 ，使格式在光滑区具有二阶精度。当采用三点格式时， ， 可写成如下一般形式： （6） 把（6）式代入（5）式，有 （7） 把（7）代入（4）式，得： （8） ， 我们希望选取适当的(0、(0、(，使得TVD条件（3）式得到满足，且格式为二阶精度。 实际上，半离散格式具有TVD性质的条件比全离散格式要宽松，所以，全离散TVD格式在半离散意义上也具有TVD性质。 三、迎风型半离散TVD格式 我们考虑迎风型格式， 取为： ， （9） 其中 。 二阶精度的三点格式取中心格式，即： ， （10） 为了方便，我们使用全离散格式的TVD条件作为半离散格式的TVD条件。这样做的原因是：1）由此得到的半离散TVD格式在时间方向作简单的前差离散时，得到的格式有TVD性质；2）便于应用TVD－Runge－Kutta方法，因为TVD－Runge－Kutta方法应用的条件是对应的时间前差离散格式具有TVD性质。 当a>0时， ，此时： （11） （8）式可以改写为： （12） Harten的TVD条件此时为： （13） 由（13）式， 应是r的函数。显然我们要求 （14） 我们要求(是有界的。所以可以对 引入下列限制条件： （15） (B、(T与i和r无关。（15）式可以等价地写为： （16） 易知下式是（14）式成立的充分条件： （17） 对（17）式左边不等式进行分析，可知： （18） 。 对（17）中右侧不等式进行分析，有 （19） 利用（15），（18），（19）式可以确定 的具体形式。 在讨论 的具体形式之前，先讨论一下方程 中 的情况。此时，（8）式可以改写为： （20） Harten的TVD格式的充分条件为： （21） 引入约束条件 （22） 为了满足TVD条件，需有： （23） 注意到此时 ， ，如果把c用 代替，则（23）式与（17）式在形式上是相同的。但是注意到 和 两种情况r的定义不同。把（23）式应用于 处（把 换为 ）。则（17），（23）式可以写成统一的形式。因此（18），（19）式也可以写成既使用于 ，也适用于 的一般形式（在 处） （24） （25） (26) (27) (28) (29) 为了确定 的具体形式，必须首先规定 ， 的值。我们取 EMBED Equation.DSMT4 ， （30） 把（30）式代入（27）、（28）有 ， （31） 即（24）~（26）式可以化为： （32） （33） （34） 由（32）~（34）式，知： （35） 且二阶精度的条件为 。Sweby建议： 应尽量位于 和 之间。根据上述条件，可以构造各种满足TVD条件的限制器。注意到，（35）式中，半离散格式的TVD条件与CFL数c有直接关系， 时，只有一阶格式才可能满足TVD条件，所以，在实际应用中，我们应取 （如 或者更小，全离散格式的多数限制器都可以应用）。 四、时间离散 常用Runge－Kutta方法离散，如具有TVD性质的三阶Runge－Kutta方法： ， 其中 五、基于MUSCL插值的有限体积半离散格式 先考虑标量线性守恒律 的情况。此时，在 （ ）左右给定Riemann问题的初值 ，则Riemann问题的解为： ， 或者 。 所以，如果， ， 或者具体说，如果 ， 则该通量对应的Riemann问题的初值为： 。 从有限体积方法的角度，上式相当于 。 （36） 这样，我们就得到了一种满足TVD条件的重构方法，称为MUSCL插值。这个方法可以直接推广到求解非线性的标量守恒律和非线性守恒系统（方程组）。对于方程组，我们可以直接推广上式为： （37） 注意到上式右端的运算是对每一个分量分别进行；也可以仿照我们在MUSCL－Hancock格式中所介绍的那样，对特征变量进行。在通过（36）、（36）获得Riemann问题的左右状态后，数值通量通过求解精确或者近似的Riemann问题确定。 为了给大家一个对MUSCL插值的直观印象，我们考虑（36）式中限制器为Van Leer限制器的情况，此时，（36）是化为： ， 这相当于第i个单元的坡度为： 。 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� ub sb vl mb 图2 PAGE 26 _1110445696.unknown _1170657430.unknown _1170657463.unknown _1170657479.unknown _1170657495.unknown _1170657503.unknown _1170657507.unknown _1170657509.unknown _1170657511.unknown _1170657513.unknown _1170657514.unknown _1170657512.unknown _1170657510.unknown _1170657508.unknown _1170657505.unknown _1170657506.unknown _1170657504.unknown _1170657499.unknown _1170657501.unknown _1170657502.unknown _1170657500.unknown _1170657497.unknown _1170657498.unknown _1170657496.unknown _1170657487.unknown _1170657491.unknown _1170657493.unknown _1170657494.unknown _1170657492.unknown _1170657489.unknown _1170657490.unknown _1170657488.unknown _1170657483.unknown _1170657485.unknown _1170657486.unknown _1170657484.unknown _1170657481.unknown _1170657482.unknown _1170657480.unknown _1170657471.unknown _1170657475.unknown _1170657477.unknown _1170657478.unknown _1170657476.unknown _1170657473.unknown _1170657474.unknown _1170657472.unknown _1170657467.unknown _1170657469.unknown _1170657470.unknown _1170657468.unknown _1170657465.unknown _1170657466.unknown _1170657464.unknown _1170657446.unknown _1170657454.unknown _1170657458.unknown _1170657460.unknown _1170657461.unknown _1170657459.unknown _1170657456.unknown _1170657457.unknown _1170657455.unknown _1170657450.unknown _1170657452.unknown _1170657453.unknown _1170657451.unknown _1170657448.unknown _1170657449.unknown _1170657447.unknown _1170657438.unknown _1170657442.unknown _1170657444.unknown _1170657445.unknown _1170657443.unknown _1170657440.unknown _1170657441.unknown _1170657439.unknown _1170657434.unknown _1170657436.unknown _1170657437.unknown _1170657435.unknown _1170657432.unknown _1170657433.unknown _1170657431.unknown _1170657397.unknown _1170657413.unknown _1170657422.unknown _1170657426.unknown _1170657428.unknown _1170657429.unknown _1170657427.unknown _1170657424.unknown _1170657425.unknown _1170657423.unknown _1170657417.unknown _1170657420.unknown _1170657421.unknown _1170657419.unknown _1170657415.unknown _1170657416.unknown _1170657414.unknown _1170657405.unknown _1170657409.unknown _1170657411.unknown _1170657412.unknown _1170657410.unknown _1170657407.unknown _1170657408.unknown _1170657406.unknown _1170657401.unknown _1170657403.unknown _1170657404.unknown _1170657402.unknown _1170657399.unknown _1170657400.unknown _1170657398.unknown _1140808225.unknown _1170657389.unknown _1170657393.unknown 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