平行四边形分类讨论问题

平行四边形分类讨论问题上海市松江区中考如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0,1)、B(4,3)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．图1（1）将A(0,1)、B(4,3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得解得，c＝1．所以抛物线的解析式是．（2）在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，所以OB＝5．如图2，过点A作AH⊥OB，垂足为H．在Rt△AOH中，OA＝1，，所以．                  图2所以，．在Rt△ABH中，．（3）直线AB的解析式为．设点M的坐标为，点N的坐标为，那么．当四边形MNCB是平行四边形时，MN＝BC＝3．解方程－x2＋4x＝3，得x＝1或x＝3．因为x＝3在对称轴的右侧（如图4），所以符合题意的点M的坐标为（如图3）．图3             图4第（3）题如果改为：点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．那么求点M的坐标要考虑两种情况：MN＝yM－yN或MN＝yN－yM．由yN－yM＝4x－x2，解方程x2－4x＝3，得（如图5）．所以符合题意的点M有4个：，，，．图5福州市中考第21题如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．图1      　      图2（1）QB＝8－2t，PD＝．（2）如图3，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形．过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8．在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．                                 图3在Rt△APE中，，所以．　当PQ//AB时，，即．解得．所以点Q的运动速度为．（3）以C为原点建立直角坐标系．如图4，当t＝0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)．如图5，当t＝4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)．直线EF的解析式是y＝－2x＋6．如图6，PQ的中点M的坐标可以表示为（，t）．经验证，点M（，t）在直线EF上．所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF＝．图4         图5           图6第（3）题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当t＝2时，PQ的中点为(2，2)．设点M的运动路径的解析式为y＝ax2＋bx＋c，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，得解得a＝0，b＝－2，c＝6．所以点M的运动路径的解析式为y＝－2x＋6．烟台市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0)、C(3,0)、D(3,4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．（1）A(1,4)．因为抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4，代入点C(3,0)，可得a＝－1．所以抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．（2）因为PE//BC，所以．因此．所以点E的横坐标为．将代入抛物线的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝．所以点G的纵坐标为．于是得到．因此．所以当t＝1时，△ACG面积的最大值为1．（3）或．第（3）题的解题思路是这样的：因为FE//QC，FE＝QC，所以四边形FECQ是平行四边形．再构造点F关于PE轴对称的点H′，那么四边形EH′CQ也是平行四边形．再根据FQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形FECQ是否为菱形，根据EQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形EH′CQ是否为菱形．，，，．如图2，当FQ＝CQ时，FQ2＝CQ2，因此．整理，得．解得，（舍去）．如图3，当EQ＝CQ时，EQ2＝CQ2，因此．整理，得．．所以，（舍去）．图2             图3【2013·浙江温州·24题】如图，在平面直角坐标系轴，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（6，0）、B（0，8），点C的坐标为（0，m），过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴上一动点，连接CD、DE，以CD、DE为边作平行四边形CDEF。（1）当0＜m＜8时，求CE的长（用含m的代数式表示）；（2）当m=3时，是否存在点D，使平行四边形CDEF的顶点F恰好落在y轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得平行四边形CDEF为矩形，请求出所有满足条件的m的值。解：（1）∵CE⊥AB  ∴∠BEC=∠BOA=90°∵∠CEB=∠ABO∴△BEC∽△AOB  ∴∵OA=6，OB=8，OC=m∴AB==10，CB=8-m∴CE=(8-m)（2）存在。∵m=3  ∴CB=5，CE=3  ∴BE=4∵F在y轴上  ∴DE∥OB∴  ∴OD=∴点D坐标为（，0）（3）①当0＜m＜8时，以CE为直径作⊙P，当⊙P与x轴相切于点D时，平行四边形CDEF为矩形，如图a。此时，PC=PD=CE=(8-m)过点P作PQ⊥y轴于Q，易证得△PQC∽△BOA∴  ∴CQ=(8-m)∴OQ=OC+CQ=m+(8-m)易证四边形ODPQ为矩形，则OQ=PD=PC∴m+(8-m)=(8-m)，得m=②当m≥8时，OQ＞PC，不存在满足条件的m。③当m=0时，点C与点O重合，如图b，显然满足条件。④当m＜0，且点E与点A重合时，以CE为直径作⊙P必过点O，当点D与点O重合时，平行四边形CDEF为矩形，如图c。∵∠BAC=90°，AO⊥BC∴OA2=OB·OC(射影定理) ∴OC=∴m=-⑤当m＜0，且点E与点A不重合时，当⊙P与x轴相切于点D时，平行四边形CDEF为矩形，如图d。与①同理可得，CQ=(8-m)，OC=-m∴OQ=OC-CQ=-m-(8-m)∵OQ=PD=PC ∴-m-(8-m)=(8-m)解得m=综上所述，m=或0或-或【2013·浙江义乌·24题】如图1，已知y=(x＞0)图象上一点P，PA⊥x轴于点A（a，0），点B坐标为（0，b）（b＞0），动点M是y轴正半轴上B点上方的点，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q，连接AQ，取AQ的中点为C。（1）如图2，连接BP，求△PAB的面积；（2）当点Q在线段BD上时，若四边形BQNC时菱形，面积为2，求此时P点的坐标；（3）当点Q在射线BD上时，且a=3，b=1，若以点B、C、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长。解：（1）由题意可得，OA=a，AP=∴S△PAB=AP·OA=··a=3（2）∵DB⊥AB  ∴∠ABQ=90°∵C是AQ的中点  ∴BC=CQ=AC∵四边形BQNC是菱形∴BC=BQ=CN=QN∴BC=BQ=CQ=CN=QN∴△BCQ、△NCQ是等边三角形∴∠AQB=60°   ∴∠BAQ=30°∵菱形BQNC的面积为2∴BC=BQ=2，AQ=4   ∴AB=2∵BQ=NQ，∠AQB=∠AQN=60°，AQ=AQ∴△ABQ≌△ANQ∴∠NAQ=∠BAQ=30°∴∠BAO=30°∴OA=AB=3，即a=3∵点P在y=图象上，PA⊥x轴∴点P坐标为（3，2）（3）易证△ABD∽△BOA，则∵OA=3，OB=1  ∴AB=，BD=3①当Q在线段BD上时，如图3a。∵四边形BCNQ是平行四边形∴CN∥QD，CN=BQ∵C是AQ的中点∴N是AD的中点  ∴CN=QD∴BQ=(BD-BQ)  ∴BQ=BD=∴AQ==2∴BC=AQ=∴C□BCNQ=2(BC+BQ)=2+2②当Q在线段BD的延长线上时，如图3b。∵BC=CQ=AQ∴平行四边形BCQN是菱形∴AQ=2CQ=2BN∵BN∥AQ  ∴∴DQ=2BD∴BQ=BD+DQ=3BD=9∴AQ==2∴CQ=∴C□BCQN=4CQ=4故，该平行四边形的周长为2+2或4【2013·浙江嘉兴&舟山·24题】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=(x-m)2-m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD。作AE∥x轴，DE∥y轴。（1）当m=2时，求点B的坐标；（2）求DE的长？（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第(3)①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形？解：（1）∵点B是抛物线与y轴的交点∴当x=0时，y=m2-m2+m=m∵m=2∴点B坐标为（0，2）（2）延长EA交y轴于F∵DE∥y轴，AC=AD  ∴DE=CF易得A（m，-m2+m），B（0，m）∴BF=m2，AF=m∵AC⊥AB，即∠BAC=90°，AF⊥BC∴AF2=BF·CF(射影定理)∴CF=4，即DE=4（3）①∵点D的坐标为（x，y），DE=4∴点E的坐标为（x，y-4）∵A（m，-m2+m）是EF的中点，EF∥x轴∴x=2m，y-4=-m2+m消去m得，y关于x的函数关系式为：②（i）当四边形ABDP为平行四边形时，如图右侧。过点P作PH⊥DE于H，易证△PDH≌△ABF∴PH=AF=AE=m，DH=BF=m2则点P坐标为（3m，-m2+m+4）代入①中解析式得-m2+m+4=-m2+m+4即m2-8m=0，解得m=0或8∵当m=0时，点A、B重合，故舍去∴m=8(ii)当四边形ABPD为平行四边形时，如图左侧。同理可得PH=AF=AE=-m，DH=BF=m2则点P坐标为（m，m+4）代入①中解析式得m+4=-m2+m+4即m2+8m=0，解得m=0(舍去)或-8∴m=-8故，当m=±8时，以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形