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高中数学必修一课件全册
（人教A版）
高中数学课件
人教版必修一精品
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数与形,本是相倚依
焉能分作两边飞
数无形时少直觉
形少数时难入微
数形结合百般好
隔离分家万事休
切莫忘,几何代数统一体
永远联系莫分离
—— 华罗庚
第二章：基本初等函数
第三章：函数的应用
第一节：集合
第一章：集合与函数
二、集合的定义与
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示
1、通常，我们把研究的对象称为元素，而某些拥有共同特征的元素所组成的总体叫做集合。并用花括号{}括起来，用大写字母带表一个集合，其中的元素用逗号分割。
2、集合有三个特征：确定性、互异性和无序性。就是根据这三个特征来判断是否为一个集合。
一、请关注我们的生活，会发现………
1、高一（9）班的全体学生：A={高一（9）班的学生}
2、中国的直辖市：B={中国的直辖市}
3、2，4，6，8，10，12，14：C={ 2，4，6，8，10，12，14}
4、我国古代的四大发明：D={火药，印刷术，指南针，造纸术}
5、2004年雅典奥运会的比赛项目：E={2008年奥运会的球类项目}
如何用数学的语言描述这些对象？？
集合的含义与表示
讨论1：下列对象能构成集合吗？为什么？
1、著名的科学家
2、1,2,2,3这四个数字
3、我们班上的高个子男生
讨论2：集合{a,b,c,d}与{b,c,d,a}是同一个集合吗？
三、数集的介绍和集合与元素的关系表示
1、常见数集的表示
N：自然数集（含0）即非负整数集
N+或N*：正整数集（不含0)
Z: 整数集
Q： 有理数集
R： 实数集
若一个元素m在集合A中，则说 m∈A，读作“元素m属于集合A”
否则，称为mA,读作“元素m不属于集合A。
∈
∈
1.5 N
四、集合的表示方法
1、列举法
就是将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内表示集合的方法
注意：1、元素间要用逗号隔开；
2、不管次序放在大括号内。
例如：book中的字母组成的集合表示为：
｛ｂ，ｏ，o，ｋ｝
｛ｂ，ｏ，ｋ｝
一次函数y=x+3与y=-2x+6的图像的交点组成的集合。
｛1,4｝
｛（1,4）｝
*
2、描述法
就是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。其一般形式为：
注意：1、中间的“|”不能缺失；
2、不要忘记标明x∈R或者k∈Z，除非上下文明确表示 。
{ x | p(x) }
例如：book中的字母的集合表示为：A=｛x|x是 book中的字母｝
所有奇数组成的集合：A={x∈R|x=2k+1, k∈Z}
所有偶数组成的集合：A={x∈R|x=2k, k∈Z}
思考：1、比较这三个集合：
A={x ∈Z|x<10}，B={x ∈R|x<10} ， C={x |x<10} ；
例题：求由方程x2-1=0的实数解构成的集合。
解：(1)列举法：{-1,1}或{1，-1}。
(2)描述法：{x|x2-1=0，x∈R}或{X|X为方程x2-1=0的实数解}
2、两个集合相等
如果两个集合的元素完全相同，则它们相等。
例：集合A={x|x为小于5的素数}，集合A={x ∈ R|(x-1)(x-3)=0}，这两个集合相等吗。
根据集合中元素个数的多少，我们将集合分为以下两大类：
1、有限集：含有有限个元素的集合称为有限集特别，不含任何元素的集合称为空集,记为 ，注意：不能表示为{}。
2.无限集：若一个集合不是有限集，则该集合称为无限集
五、集合的分类
练习题
1、直线y=x上的点集如何表示？
2、方程组 的解集如何表示？
x+y=2
x-y=1
3、若{1，a}和{a,a2}表示同一个集合， 则a的值不能为多少？
集合间的基本关系
实数有相等关系、大小关系，如5＝5，5＜7，5＞3，等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间的什么关系？
观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系吗？
⑴ A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5};
⑵设A为新华中学高一(2)班女生的全体组成的集合,
B为这个班学生的全体组成的集合;
⑶ 设C＝{x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形}.
一、子集和真子集的概念
1、子集：一般地，对于两个集合A、B， 如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集.
B
A
读作：A包含于B，或者B包含A
可以联系数与数之间的“≤”
2、真子集：
3、空集：
我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ，并规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
4、补集与全集
设AS，由S中不属于集合A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作CSA ，即CSA ＝｛x|x∈S,且xA}
如图，阴影部分即CSA.
如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时集合S看作一个全集，通常记作U。
1、CUA在U中的补集是什么？
2、U＝Z，A=｛x|x=2k,k∈Z},
B={x|x=2k+1,K∈Z},则CUA＝＿＿＿， CUB＝＿＿＿＿。
思考:
练习题
重点考察对空集的理解！
4、设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x-a≥0}，若A是B的真子集，求实数a的取值范围。
5、设A={1，2}，B={x|xA}，问A与B有什么关系？并用列举法写出B？
7、判断下列表示是否正确:
(1)a {a}; (2) {a} ∈{a,b};
(3){a,b} {b,a}; (4){-1,1} {-1,0,1}
(5)0; (6) {-1,1}.
4、补集与全集
集合与集合的运算
一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即
A∩B={x|x∈A，且x∈B}
A∩B可用右图中的阴影部分来表示。
U
A
B
A∩B
1、交集
其实，交集用通俗的语言来说，就是找两个集中中共同存在的元素。
例题：
1、A={-1,1,2,3},B={-1,-2,1},C={-1,1};
2,3
-2
-1,1
A
B
C
交集的运算性质：
思考题：如何用集合语言描述？
2、并集
一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的所构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即
A∪B = {x|x∈A，或x∈B}
A∪B可用右图中的阴影部分来表示
U
A
B
其实，并集用通俗的语言来说，就是把两个集合的元素合并到一起。所以交集是“求同”，并集是存异。
例题： 设集合A={x|-1
单调区间
O
x
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
二、函数单调性考察的主要问题
3、证明一个函数具有单调性的证明方法：从定义出发，设定任意的两个x1和x2，且x2>x1，通过计算f(x2)—f(x1)>0或者<0恒成立。里面通常都是用因式分解的办法，把f(x2)—f(x1)转化成（x2-x1）的表达式。最后判断f(x2)—f(x1)是大于0还是小于0。
2、x 1, x 2 取值的任意性.
例1、下图为函数y=f(x), x∈[-4,7] 的图像，指出它的单调区间。
[-1.5，3]，[5，6]
[-4，-1.5]，[3，5]，[6，7]
例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：
,
证明：在区间[1，+∞）上任取两个值x1和x2，且x10
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
四、平移问题
对一个已知函数进行平移，如函数的表达式可以统一表示为y=f(x)，则平移后的方程遵循右上减，左下加的原则，具体如下：
向右平移k个单位，则平移后的表达式为y=f(x-k)；
向左平移k个单位，则平移后的表达式为y=f(x+k)；
向上平移h个单位，则平移后的表达式为y-h=f(x)；
想下平移h个单位，则平移后的表达式为y+h=f(x);
如果在横向和纵向上都有移动，则同时根据上述原则变化y和f(x)，各变各的，再进行整理。如：向左平移k个单位，向上平移h个单位，则平移后的表达式为y-h=f(x+k)
注意：
1、在替换的时候要替换所有的，尤其是x，替换时候最好带上括号，避免出错。
2、平移的先后次序不影响平移结果，即无所谓先向左右，还是先向上下。只要是向坐标轴的正向移动，就用负号，只要是向坐标轴的负向移动就用正号。
(3)
④连线
①画对称轴
②确定顶点
③确定与坐标轴的交点
及对称点
D
(5)
当x≤-1时，y随x的增大而减小;
当x=-1时，y有最小值为y最小值=-2
由图象可知
(6)
当x< -3或x>1时，y > 0
当-3 < x < 1时，y < 0
1.抛物线 的顶点坐标是( ).
(A)(-1,-3) (B)(1,3) (C)(-1,8) (D)(1,-8)
2.在同一直角坐标系中，抛物线 与坐标轴的交点个数是( )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
3.已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象如图所示，则有（ ）
(Ａ) a＜0,b＜0,c＞0 (Ｂ) a＜0,b＜0,c＜0
(C) a＜0,b＞0,c＞0 (D) a＞0,b＜0,c＞0
四、巩固练习
4、二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是___________对称轴是_________。
5、抛物线y=-2x2+4x与x轴的交点坐标是___________
6、已知函数y=—x2-x-4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是___________
7、二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过原点，则m= ____。
8、二次函数的图象如图所示，则在下列各不等式中成立的个数是__________
①abc<0
②a+b+c < 0
③a+c > b
④2a+b=0
⑤Δ=b-4ac > 0
9、二次函数f(x)满足f(3+x)=f(3-x)且f(x)=0有两个实根x1,x2，
则x1+x2等于_________.
10、数f(x)=2x2-mx+3，当x∈(-∞,-1]时是减函数，当x∈(-1,+∞)时是增函数，则f(2)= _______.
11、关于x的方程x2+(a2-1)x+(a-2)=0的一根比1大，另一根比1小，则有( )
(A)-1＜a＜1 (B)a＜-2或a＞1
(C)-2＜a＜1 (D)a＜-1或a＞2
12、设x,y是关于m的方程m2-2am+a+6=0的两个实根，则
(x-1)2+(y-1)2的最小值是( C )
(A)-12 (B)18 (C)8 (D)34
13、设函数f(x)=|x|·x+bx+c，给出下列命题：
①b=0,c＞0时，f(x)=0只有一个实数根；
②c=0时，y=f(x)是奇函数；
③y=f(x)的图象关于点(0，c)对称；
④方程f(x)=0至多有2个实数根.
上述命题中的所有正确命题序号是_______
①②③
函数的基本性质——奇偶性
1、已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2), f(-1),f(1),
及f(-x) ,并画出它的图象。
解:
f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4
f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1
f(-x)=(-x)2=x2
f(-2)=f(2)
f(-1)=f(1)
f(-x)=f(x)
说明:当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的函数值相等即f(-x)=f(x)
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.
偶函数定义:
2.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2)，f(2)，f(-1)，f(1)及f(-x)
解:
f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8
f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1
f(-x)=(-x)3=-x3
f(-2)= - f(2)
f(-1)= - f(1)
f(-x)= - f(x)
说明:当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的函数值也互为相反数,即f(-x)=-f(x)
奇函数定义:
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫奇函数.
★对奇函数、偶函数定义的说明:
（1）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。如， f(x)=x2 (x>0)是偶函数吗
（2）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：
若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。
若f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立。
（3） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函 数f(x) 具有奇偶性。
例1. 判断下列函数的奇偶性
解:
定义域为R
∵f(-x)=(-x)3+2(-x)
= -x3-2x
= -(x3+2x)
即 f(-x)= - f(x)
∴f(x)为奇函数
解:
定义域为R
∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2
=2x4+3x2
即 f(-x)= f(x)
∴f(x)为偶函数
(1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=2x4+3x2
（2）奇函数的图象关于原点对称.
反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,
那么这个函数为奇函数.
（1）偶函数的图象关于y轴对称.
反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,
那么这个函数为偶函数.
注：奇偶函数图象的性质可用于：
①.简化函数图象的画法。
②.判断函数的奇偶性。
★奇偶函数图象的性质:
★两个定义:
对于f(x)定义域内的任意一个x ,
如果都有f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数。
如果都有f(-x)= f(x) f(x)为偶函数。
★两个性质:
一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称。
一个函数为偶函数 它的图象关于y 轴对称。
(2) f(x)= - x2 +1
(3). f(x)=5 (4) f(x)=0
练习题
(5). f(x)=x+1 (6). f(x)=x2 x∈[- 1 , 3]
第二章：基本初等函数
第一节：指数函数
指数与指数幂的运算
根式
探究
a，a≥0
–a，a≤0
分数指数幂
指数运算法则
结合具体的理解进行记忆
我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.即： ，其中x是自变量，函数定义域是R
定义
指数函数及其性质
探究1：为什么要规定a>0,且a ≠1呢？
①若a=0，则当x>0时， =0；当x 0时， 无意义.
②若a<0，则对于x的某些数值，可使 无意义. 如 ，这时对于x= ，x= ，…等等，在实数范围内函数值不存在.
③若a=1，则对于任何x ∈R， =1，是一个常量，没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1 在规定以后，对于任何x R， 都有意义，且 >0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞).
引例：
x … -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 …
… 0.13 0.25 0.5 0.71 1 1.4 2 4 8 …
… 8 4 2 1.4 1 0.71 0.5 0.25 0.13 …
x … -1.5 -1 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 1 1.5 …
… 0.03 0.1 0.32 0.56 1 1.78 3.16 10 31.62 …
… 31.62 10 3.16 1.78 1 0.56 0.32 0.1 0.03 …
例题讲解：
课本P56、57中的例6、例7和例8
课堂练习：
课本P58的练习1、2
进一步拓展
进一步拓展
复合函数求单调区间
综合练习
课本P59页习题2.1
第二章：基本初等函数
第二节：对数函数
对数及其运算
前节内容回顾：
引导：
定义：
两种特殊的底：10和e
探究：
结论： 负数和零没有对数。
练习：
课本P64页
对数运算法则
探究：
换底公式的证明与应用
例题讲解：
课堂练习：
1、课本P65页，例2—例6：
1、课本P68页
对数函数及其性质
我们研究指数函数时，曾讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂成x次后，得到细胞个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数 ___________表示。
反过来，1个细胞经过多少次分裂，大约可以等于1万个、10万个……细胞？已知细胞个数y，如何求分裂次数x？得到怎样一个新的函数？
1
2
4
y=2x
……
复习引入
y=2x,x∈N
*
1、对数函数的定义：
2、指数函数与对数函数两者图像之间的关系
x … -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 …
… 0.13 0.25 0.5 0.71 1 1.4 2 4 8 …
x … 0.13 0.25 0.5 0.71 1 1.4 2 4 8 …
… -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 …
例1：求下列函数的定义域：
（1） ； （2） ； （3）
反函数
1、定义：
2、求法：
已知某个函数的表达式，y=f(x)，求其反函数的方法和步骤如下：
（1）通过表达式y=f(x)，把函数表示成x=g(y)的形式
（2）把求得的x=g(y)的位置对调，即y=g(x)的形式
3、注意：
只有是严格一一对应的函数才能求其反函数，即存在多对一的情况的函数是没有反函数的。有反函数不一定有单调性，如y=1/x
？
练习
课本P73,74页
第二章：基本初等函数
第三节：幂函数
幂函数定义
注意：
第三章：函数的应用
第一节：函数与方程
要点梳理
1.函数的零点
（1）函数零点的定义
对于函数y=f(x)(x∈D),把使_______成立的实数x叫
做函数y=f(x)(x∈D)的零点.
f(x)=0
基础知识 自主学习
（2）几个等价关系
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与_____有
交点 函数y=f(x)有_______.
(3)函数零点的判定（零点存在性定理）
如果函数y=f(x)在区间［a，b］上的图象是连续不
断的一条曲线，并且有_________________,那么函
数y=f(x)在区间________内有零点,即存在c∈(a,b),
使得_________，这个____也就是f(x)=0的根.
f（a）·f（b）<0
(a，b)
f(c)=0
c
x轴
零点
2.二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点的关系
(x1,0),
(x2,0)
(x1,0)
无
一个
两个
Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
与x轴的交点 __________________ ________ 无交点
零点个数 ______ _____ ___
3.二分法
（1）二分法的定义
对于在区间［a，b］上连续不断且_____________的
函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区
间__________,使区间的两个端点逐步逼近_____,进
而得到零点近似值的方法叫做二分法.
（2）用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
第一步，确定区间［a，b］，验证______________,
给定精确度 ；
第二步，求区间（a，b）的中点x1；
f(a)·f(b)<0
一分为二
零点
f(a)·f(b)<0
第三步，计算_______：
①若_______，则x1就是函数的零点；
②若_____________，则令b=x1
(此时零点x0∈(a,x1));
③若______________，则令a=x1
(此时零点x0∈(x1,b));
第四步，判断是否达到精确度 ：即若|a-b|< ,则
得到零点近似值a（或b）;
否则重复第二、三、四步.
f(x1)
f(a)·f(x1)<0
f(x1)·f(b)<0
f(x1)=0
基础自测
1.若函数f(x)=ax+b有一个零点为2,则g(x)=bx2-ax的
零点是 （ ）
A.0，2 B.0，
C.0， D.2,
解析 由f(2)=2a+b=0,得b=-2a,
∴g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1).
令g(x)=0，得x=0,x=
∴g（x）的零点为0，
C
2.函数f(x)=3ax-2a+1在［-1，1］上存在一个零点，
则a的取值范围是 （ ）
A. B.a≤1
C. D.
解析 f(x)=3ax-2a+1在[-1，1]上存在一个零点，
则f(-1)·f(1)≤0,即
D
3.函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公
共点横坐标的是 （ ）
解析 图B不存在包含公共点的闭区间［a，b］使函
数f（a）·f（b）<0.
B
4.下列函数中在区间[1,2]上一定有零点的是（ ）
A.f(x)=3x2-4x+5
B.f(x)=x3-5x-5
C.f(x)=mx2-3x+6
D.f(x)=ex+3x-6
解析 对选项D，∵f（1）=e-3<0，f（2）=e2>0，
∴f（1）f（2）<0.
D
5.设函数 则函数f(x)-
的零点是__________.
解析 当x≥1时，
当x<1时，
(舍去大于1的根).
∴ 的零点为
题型一 零点的判断
【例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点.
(1)f（x）=x2-3x-18，x∈［1，8］；
(2)f（x）=log2(x+2)-x，x∈［1，3］.
第（1）问利用零点的存在性定理或
直接求出零点，第（2）问利用零点的存在性定理
或利用两图象的交点来求解.
思维启迪
题型分类 深度剖析
解 （1）方法一
∵f（1）=12-3×1-18=-20<0，
f（8）=82-3×8-18=22>0，
∴f(1)· f(8)<0，
故f(x)=x2-3x-18,x∈[1，8]存在零点.
方法二 令f(x)=0，得x2-3x-18=0,x∈[1，8].
∴(x-6)(x+3)=0，
∴x=6∈[1，8],x=-3[1，8]，
∴f（x）=x2-3x-18，x∈[1，8]有零点.
(2)方法一 ∵f（1）=log23-1>log22-1=0,
f(3)=log25-31),判断
f(x)=0的根的个数.
解 设f1(x)=ax (a>1),f2(x)=
则f(x)=0的解即为
f1(x)=f2(x)的解,即为函数f1(x)
与f2(x)图象交点的横坐标.
在同一坐标系中，作出函数
f1(x)=ax (a>1)与f2(x)= 的图象(如
图所示）.
两函数图象有且只有一个交点，即方程f(x)=0有且
只有一个根.
题型三 零点性质的应用
【例3】(12分)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+
(x>0).
(1)若g(x)=m有零点，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)-f(x)=0有两个
相异实根.
（1）可结合图象也可解方程求之.
（2）利用图象求解.
思维启迪
解 （1）方法一 ∵
等号成立的条件是x=e.
故g(x)的值域是[2e，+∞)， 4分
因而只需m≥2e，则 g(x)=m就有零点. 6分
方法二 作出 的图象如图：
4分
可知若使g(x)=m有零点，则只需m≥2e. 6分
方法三 解方程由g（x）=m，得x2-mx+e2=0.
此方程有大于零的根， 4分
等价于 故m≥2e. 6分
(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根，
即g（x）=f（x）中函数g（x）与f（x）的图象有两个
不同的交点，
作出 （x>0）的图象.
∵f（x）=-x2+2ex+m-1
=-(x-e)2+m-1+e2.
其对称轴为x=e，开口向下，
最大值为m-1+e2. 10分
故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时，
g(x)与f(x)有两个交点，
即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
∴m的取值范围是（-e2+2e+1,+∞). 12分
此类利用零点求参数的范围的问题，可
利用方程，但有时不易甚至不可能解出，而转化为构
造两函数图象求解,使得问题简单明了.这也体现了
当不是求零点，而是利用零点的个数，或有零点时求
参数的范围，一般采用数形结合法求解.
探究提高
知能迁移3 是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+
(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上与x轴恒有一个零点,
且只有一个零点.若存在,求出范围,若不存在,说
明理由.
解 ∵Δ=(3a-2)2-4(a-1)>0
∴若实数a满足条件,则只需f(-1)·f(3)≤0即可.
f(-1)·f(3)=(1-3a+2+a-1)·(9+9a-6+a-1)
=4(1-a)(5a+1)≤0.
所以a≤ 或a≥1.
检验:(1)当f(-1)=0时，a=1.所以f(x)=x2+x.
令f(x)=0，即x2+x=0，得x=0或x=-1.
方程在[-1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.
(2)当f(3)=0时，a=
解之得x= 或x=3.
方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠
综上所述,a< 或a>1.
1.函数零点的判定常用的方法有：①零点存在性定
理；②数形结合；③解方程f（x）=0.
2.研究方程f(x)=g(x)的解，实质就是研究G(x)=
f（x）-g（x）的零点.
3.二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其
实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在
的范围，当达到一定的精确度
要求
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时，所得区间的
任一点就是这个函数零点的近似值.
方法与技巧
思想方法 感悟提高
1.对于函数y=f(x)(x∈D),我们把使f(x)=0的实数x叫
做函数的零点,注意以下几点:
(1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个
实数时,其函数值等于零.
(2)函数的零点也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点
的横坐标.
(3)一般我们只讨论函数的实数零点.
(4)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的根.
失误与防范
2.对函数零点存在的判断中,必须强调:
(1)f(x)在［a,b］上连续;
(2)f(a)·f(b)<0;
(3)在（a,b）内存在零点.
事实上,这是零点存在的一个充分条件,但不必要.
一、选择题
1.设f(x)=3x-x2,则在下列区间中，使函数f(x)有零点
的区间是 （ ）
A.[0，1] B.[1，2]
C.[-2，-1] D.[-1，0]
解析 ∵f（-1）=3-1-(-1)2=
f（0）=30-02=1>0，
∴f（-1）·f（0）<0，
∴有零点的区间是[-1，0].
D
定时检测
2.(2009·天津理，4)设函数 (x>0),
则y=f(x) （ ）
A.在区间 (1,e)内均有零点
B.在区间 (1,e)内均无零点
C.在区间 内有零点，在区间(1,e)内无零点
D.在区间 内无零点,在区间(1,e)内有零点
解析 因为
因此f(x)在 内无零点.
因此f(x)在(1，e)内有零点.
答案
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D
3.（2009·福建文，11）若函数f（x）的零点与
g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25，则
f(x)可以是 （ ）
A.f(x)=4x-1 B.f(x)=(x-1)2
C.f(x)=ex-1 D.
解析 ∵g(x)=4x+2x-2在R上连续且
设g(x)=4x+2x-2的零点为x0,则
又f(x)=4x-1零点为
f(x)=(x-1)2零点为x=1;
f(x)=ex-1零点为x=0;
零点为
答案 A
4.方程|x2-2x|=a2+1(a∈R+)的解的个数是 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 ∵a∈R+，∴a2+1>1.
而y=|x2-2x|的图象如图，
∴y=|x2-2x|的图象与y=a2+1
的图象总有两个交点.
∴方程有两解.
B
5.方程|x|(x-1)-k=0有三个不相等的实根，则k的取
值范围是 （ ）
A. B.
C. D.
解析 本题研究方程根的个数问题,此类问题首选
的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题,其
次是直接求出所有的根.本题显然考虑第一种方法.
如图，作出函数y=|x|·(x-1)的
图象，由图象知当k∈ 时，
函数y=k与y=|x|(x-1)有3个不同的
交点，即方程有3个实根.
答案 A
6.设f(x)=x3+bx+c (b>0)(-1≤x≤1),且
则方程f(x)=0在[-1,1]内( )
A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根
C.有唯一的实数根 D.没有实数根
解析 ∵f（x）=x3+bx+c （b>0），
∴f′(x)=3x2+b>0,∴f（x）在[-1,1]上为增函数,
又∵
∴f（x）在 内存在唯一零点.
C
二、填空题
7.若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，则函数
g(x)=bx2-ax-1的零点是________.
解析
∴g（x）=-6x2-5x-1的零点为
8.若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式
af(-2x)>0的解集是________________.
解析 ∵f（x）=x2+ax+b的两个零点是-2，3.
∴-2，3是方程x2+ax+b=0的两根，
由根与系数的关系知
∴f(x)=x2-x-6.∵不等式af(-2x)>0，
即-(4x2+2x-6)>0 2x2+x-3<0,
解集为
9.已知y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示,今考虑f(x)=
x(x-1)(x+1)+0.01,则方程f(x)=0
①有三个实根；
②当x<-1时,恰有一实根(有一
实根且仅有一实根);
③当-11时，恰有一实根.
则正确结论的编号为___________.
解析 ∵f（-2）=-2×(-3)×(-1)+0.01=-5.99<0,
f（-1）=0.01>0，即f(-2)·f(-1)<0，
∴在（-2，-1）内有一个实根.
由图中知：方程f(x)=0在(-∞,-1)上,只有一个实根,
所以②正确.
又∵f(0)=0.01>0,由图知f(x)=0在(-1,0)上没有实数
根,所以③不正确.
又∵f(0.5)=0.5×(-0.5)×1.5+0.01=-0.365<0,
f(1)=0.01>0,即f(0.5)f(1)<0,所以f(x)=0.
在(0.5,1)上必有一个实根,且f(0)·f（0.5）<0,
∴f（x）=0在（0，0.5）上也有一个实根.
∴f（x）=0在（0，1）上有两个实根，④不正确.
由f（1）>0且f(x)在（1，+∞）上是增函数，
∴f（x）>0,f(x)=0在（1，+∞）上没有实根.
∴⑤不正确.并且由此可知①也正确.
答案 ①②
三、解答题
10.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点，求
m的取值范围，并求出该零点.
解 ∵f（x）=4x+m·2x+1有且仅有一个零点，
即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.
设2x=t (t>0)，则t2+mt+1=0.
当Δ=0,即m2-4=0，
∴m=-2时，t=1;m=2时，t=-1不合题意，舍去，
∴2x=1，x=0符合题意.
当Δ>0，即m>2或m<-2时，
t2+mt+1=0有两正或两负根，
即f(x)有两个零点或没有零点.
∴这种情况不符合题意.
综上可知：m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为x=0.
11.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0，2]上
有解，求实数m的取值范围.
解 设f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈［0，2］，
①若f(x)=0在区间［0，2］上有一解，
∵f（0）=1>0,则应有f(2)≤0,
又∵f（2）=22+（m-1）×2+1,
∴m≤
②若f(x)=0在区间［0,2］上有两解,则
由①②可知m≤-1.
12.已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函数
y=f(x)在区间［-1，1］上有零点,求a的取值范围.
解 （1）当a=0时，f(x)=2x-3.
令2x-3=0,得x= ［-1，1］
∴f（x）在［-1，1］上无零点，故a≠0.
（2）当a>0时，f(x)=2ax2+2x-
3-a的对称轴为
①当 ≤-1,即0 时，
须使
解得a≥1,∴a的取值范围是［1，+∞).
（3）当a<0时，
①当0< ≤1,即a≤ 时，
须有
又a≤
∴a的取值范围是
②当 >1,即
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