导数经典例题精析

导数经典例题精析 经典例题精析 类型一:导数的运算与导数的几何意义 1、已知点为曲线上一点，直线满足:(1)过点;(2)与曲线在点的切线垂直;(3)在轴的正半轴上的截距最小.求点. 思路点拨:首先设出点的坐标，再利用导数得切线的斜率，求出直线的方程，最后求出直线在轴上的截距最小时的点的坐标. 解析:设出点的坐标， ?，?， ?直线的方程: 令，则直线在轴上的截距 ?，?， ? 令，即，得或(舍去) 列 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf : - 0 + 极小值 ?当时，取得极小值，就是最小值， ?点的坐标 举一反三: 1 【变式1】已知曲线的一条切线与直线平行，求切线. 【答案】设切点， ?切线与直线平行，?， ?，?，解得， ?切点，故切线:. 【变式2】在曲线C:上，求斜率最小的切线所对应的切点. 【答案】 ?当时，取得最小值-13 又当时， ?斜率最小的切线对应的切点为; 类型二:函数的单调性、极值、最值 2、设函数，求的单调区间和极值. 思路点拨:先对求导，令 ，再对字母进行讨论即可. 解析: 令得 即，解得或， (1)当时，，在上单调递减，没有极值; (2)当时，由得，由得或， ?当或时，，单调递减; 当时，，单调递增; ?，， ?的递减区间为，;递增区间为; 2 ，. (3)当时，由得，由得或， ?当或时，，单调递减; 当时，，单调递增; ?，， ?的递减区间为，;递增区间为; ，. 举一反三: 【变式1】已知函数 ，求证:函数在区间上为递增函数; 【答案】?， 记()，则 ， ?，?，?在上单调递增， ?，?当时， ?当时，?在上单调递增。 【变式2】是否存在正实数，使函数在上递减，在 上递增，若存在，求出的值. 【答案】， 由题意知:当时，当时， 3 ?，即，解得或 ?，? 验证:当时， ?若，则;若， 则， 符合题意; 综上可知，存在使在上递减，在上递增. 【变式3】已知，讨论导数的极值点的个数. 【答案】 令，得 (1)当， 即或时，方程有两个不同的实根、，不防设， 于是，从而有下表: + 0 — 0 + ? ? ? 为极大值 为极小值 即此时有两个极值点; (2)当即时，方程有两个相同的实根 ，于是，故当时，;当时，，因此无极值; (3)当即时，， 而， 4 故为增函数.此时无极值; ?当时，有两个极值点;当时，无极值点. 3、已知函数(为实数) (1)若在处有极值，求的值; (2)若在上是增函数，求的取值范围. 思路点拨:函数在点处有极值的必要条件为;当在上是增函数时，在恒成立. 解析: (1)由已知得的定义域为， 由题设得 ，即，?; (2)由题设知:对恒成立，即 对恒成立， ?， ?对恒成立， 即对恒成立， 令，则恒成立 (?)当时，不符合; (?)当时，抛物线开口向下，对称轴为， ?，即，解得; (?)当时，抛物线开口向上，对称轴为， 5 ?，即，解得，这与矛盾; 综上可知:所求的取值范围为. 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 升华: 1(注意到可导函数在点处有极值的必要条件为，利用这一必要条件切入讨论，在必 要条件的基础上讨论或求索，此为解决比较复杂问题的基本方略. 2(这里的已知条件经过了两次转化:已知在某区间上的单调性?某不等式在给定区间上恒成立 ?另一函数的最值问题，展示了上述三个问题之间相互联系，相互贯通的密切联系. 3(借助导数，这里将函数的单调性证明转化为关于导函数的(条件)不等式，展示了在导数背景之下 单调性与不等式更为密切的联系. 举一反三: 【变式1】设函数，其中. ?若在处取得极值，求常数a的值; ?若在上为增函数，求a的取值范围. 【答案】 (?) 因取得极值，所以 解得 经检验知当为极值点. (?)令 当和上为增 函数，故当上为增函数. 当上为增函数， 从而上也为增函数. 综上所述，当上为增函数. 6 【变式2】已知函数在处取得极值0，若曲线过点 且在点P处的切线与直线垂直. (1)求; (2)若在区间上递增，求的取值范围. 【答案】 (1)， 由题设得 ，即， 解得:，，， 故 (2)， 由，得或， 法一:由题设得:在上恒成立， 令，则在上有成立， 又?抛物线的开口向上，对称轴为，且即 ?或，解得或， ?所求m的取值范围为 . 法二:由得或， ?在区间上递增， ?或， 即或，解得或， 7 ?所求的最值范围为 【变式3】已知定义在R上的函数 ，，问:是否存在这样的区间，对任意的a的可能取值，函数在该区间上都是单调递增的,若存在，求出这样的区间;若不存在，请说明理由. 【答案】，， 令，则为的一次(型)函数， ?对任意恒成立不等式对任意恒成立， ?即，解得或 ?当或时对任意恒成立 ?对任意，在或上都是单调递增的 ?存在区间和，对任意的，函数在该区间内均是单调递增函数. 类型三:定积分及其应用 4(求定积分 (1); (2); (3); (4). 思路点拨:本题的几个被积函数比较复杂，要先化简再利用微积分基本定理积分. 解析: (1)?， ? (2)? 8 ?， (3) (4)? ? . 总结升华:化简被积函数是积分的前提，直到最简为止. 举一反三: 【变式1】计算下列定积分的值. (1); (2); (3). 【答案】 (1)， (2). (3). 【变式2】求定积分: 【答案】?是偶函数， ?. 【变式3】求定积分: 【答案】 5(求直线与抛物线所围成的图形面积. 9 思路点拨: 先画出符合题意的图形，由图形可以看出所求的面积是一个梯形与曲边梯形之差，进而可以用定积分求解.为了确定定积分的上下限， 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 出两条曲线的交点的横坐标. 解析:如图，由得交点，， 所求面积: . 总结升华: 应用定积分求图形面积解答步骤: 1(画出图形，确定积分变量; 2(求出交点，确定被积函数和上下限; 3(写出定积分表达式,一般是位置在上面的函数减去位置在下面的函数的差作为被积函数; 4(求出平面图形的面积. 举一反三: 【变式1】求由曲线围成的平面图形的面积. 【答案】由 得; 由 得. 所求面积: 【变式2】在曲线上的某点A处作一切线使之与曲线以及轴所围成的面积为. 试 求:切点A的坐标以及切线方程. 【答案】设点，则切线，即， 则由，得点， ?， 10 ?，即，解得. ?切点，切线. 【变式3】已知函数与直线(为常数且),若直线与的图象以及轴所围成封闭图形的面积是, 直线与的图象所围成封闭图形的面积是,设 ,当取最小值时,求的值( 【答案】 据题意, 直线与的图象的交点: ,， 由定积分的几何意义知 = = 而 令或(不合题意,舍去) 当 故当时,有最小值. 11