综合评价方法及其应用

综合 评价 LEC评价法下载LEC评价法下载评价量规免费下载学院评价表文档下载学院评价表文档下载 方法及其应用综合评价方法及其应用•基本内容：•1、综合评价方法的基本概念；•2、评价指标的规范化处理;•3、综合评价的数学模型构建;•4、动态加权综合评价方法;•5、长江水质的综合评价模型.数学建模培训讲座之一数学建模培训讲座之一__________一、综合评价方法的基本概念综合评价的问题:对被评价对象所进行的客观、公正、合理的全面评价。通常的综合评价问题都是有若干个同类的被评价对象(或系统)，每个被评价对象往往都涉及到多个属性（或指标）。综合评价的目的:根据系统的属性判断确定这些系统的运行（或发展）状况哪个优，哪个劣，即按优劣对各被评价对象进排序或分类。这类问题又称为多属性（或多指标）的综合评价问题。综合评价的应用:研究多目标决策问题的前提，因此研究解决这类问题在实际中是很有意义的，特别是在政治、经济、社会及军事管理、工程技术及科学决策等领域都有重要的应用价值。构成综合评价问题的五个要素分别为:被评价对象、评价指标、权重系数、综合评价模型和评价者。一、综合评价方法的基本概念1构成综合评价问题的五个要素（1）被评价对象被评价对象就是综合评价问题中所研究的对象，或称为系统。通常情况下，在一个问题中被评价对象是属于同一类的，且个数要大于1，不妨假设一个综合评价问题中有n个被评价对象（或系统），分别记为12,,,(1)nSSSn>"。评价指标体系应遵守的原则：系统性、科学性、可比性、可测性（即可观测性）和独立性。这里不妨设系统有m个评价指标（或属性），分别记为12,,,(1)mxxxm>"，即评价指标向量为12(,,,)Tmxxx=x"。1构成综合评价问题的五个要素（2）评价指标评价指标是反映被评价对象(或系统)的运行(或发展)状况的基本要素。通常的问题都是有多项指标构成，每一项指标都是从不同的侧面刻画系统所具有某种特征大小的一个度量。一个综合评价问题的评价指标一般可用一个向量表示，其中每一个分量就是从一个侧面反映系统的状态，即称为综合评价的指标体系。注意到:当各被评价对象和评价指标值都确定以后，问题的综合评价结果就完全依赖于权重系数的取值了，即权重系数确定的合理与否，直接关系到综合评价结果的可信度，甚至影响到最后决策的正确性。1构成综合评价问题的五个要素（3）权重系数每一综合评价的问题都有相应的评价目的，针对某种评价目的，各评价指标之间的相对重要性是不同的，评价指标之间的这种相对重要性的大小可以用权重系数来刻画。如果用jw来表示评价指标(1,2,,)jxjm="的权重系数，则应有0(1,2,,)jwjm≥="，且11mjjw==∑。（4）综合评价模型对于多指标（或多因素）的综合评价问题,就是要通过建立合适的综合评价数学模型将多个评价指标综合成为一个整体的综合评价指标，作为综合评价的依据，从而得到相应的评价结果。不妨假设n个被评价对象的m个评价指标向量为12(,,,)Tmxxx=x"，指标权重向量为12(,,,)Tmwww=w"，由此构造综合评价函数为(,)yf=wx。如果已知各评价指标的n个观测值为{}(1,2,,;ijxin="1,2,,)jm="，则可以计算出各系统的综合评价值()(,)iiyf=wx，()12(,,,)iTiiimxxx=x"(1,2,,)in="。根据(1,2,,)iyin="值的大小将这n个系统进行排序或分类，即得到综合评价结果。（5）评价者评价者是直接参与评价的人，可以是某一个人，也可以是一个团体。对于评价目的选择、评价指标体系确定、评价模型的建立和权重系数的确定都与评价者有关。综合评价的一般步骤：明确评价目的；确定被评价对象；建立评价指标体系（包括评价指标的原始值、评价指标的若干预处理等）；确定与各项评价指标相对应的权重系数；选择或构造综合评价模型；计算各系统的综合评价值,并给出综合评价结果。1构成综合评价问题的五个要素返回1.评价指标类型的一致化极大型指标:总是期望指标的取值越大越好；极小型指标:总是期望指标的取值越小越好；中间型指标:总是期望指标的取值既不要太大，也不要太小为好，即取适当的中间值为最好;区间型指标:总是期望指标的取值最好是落在某一个确定的区间内为最好。二、评价指标的规范化处理一般说来，在评价指标12,,,(1)mxxxm>"中可能包含有“极大型”指标、“极小型”指标、“中间型”指标和“区间型”指标。（1）极小型指标:对于某个极小型指标x，则通过变换1(0)xxx′=>,或变换xMx′=−,其中M为指标x的可能取值的最大值，即可将指标x极大化。1.评价指标类型的一致化（2）中间型指标:对于某个中间型指标x，则通过变换2()1,()22()1,()2xmmxMmMmxMxMmxMMm−⎧≤≤+⎪−′=⎨−⎪+≤≤−⎩其中M和m分别为指标x的可能取值的最大值和最小值，即可将中间型指标x极大化。1.评价指标类型的一致化（3）区间型指标对于某个区间型指标x，则通过变换1,1,1,axxacxaxbxbxbc−⎧−<⎪⎪′=≤≤⎨−⎪−>⎪⎩其中[,]ab为指标x的最佳稳定的区间，max{,}camMb=−−，M和m分别为指标x的可能取值的最大值和最小值。即可将区间型指标x极大化。2.评价指标的无量纲化二、评价指标的规范化处理在实际中的评价指标12,,,(1)mxxxm>"之间，往往都存在着各自不同的单位和数量级，使得这些指标之间存在着不可公度性，这就为综合评价带来了困难，尤其是为综合评价指标建立和依据这个指标的大小排序产生不合理性。如果不对这些指标作相应的无量纲处理，则在综合评价过程中就会出“大数吃小数”的错误结果，从而导致最后得到错误的评价结论。无量纲化处理又称为指标数据的 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化,或规范化处理。常用方法:标准差方法、极值差方法和功效系数方法等。2.评价指标的无量纲化假设m个评价指标12,,,mxxx"，在此不妨假设已进行了类型的一致化处理，并都有n组样本观测值(1,2,,;1,2,,)ijxinjm==""，则将其作无量纲化处理。（1）标准差方法:令ijjijjxxxs−′=(1,2,,;1,2,,)injm==""，其中1221111,[()](1,2,,)nnjijjijjiixxsxxjmnn====−=∑∑"。显然指标(1,2,,;1,2,,)ijxinjm′==""的均值和均方差分别为0和1，即[0,1]ijx′∈是无量纲的指标，称之为ijx的标准观测值。2.评价指标的无量纲化（2）极值差方法:令ijjijjjxmxMm−′=−(1,2,,;1,2,,)injm==""，其中11max{},min{}(1,2,,)jijjijininMxmxjm≤≤≤≤==="。则[0,1]ijx′∈是无量纲的指标观测值。（3）功效系数法:令ijjijjjxmxcdMm−′=+×−(1,2,,;1,2,,)injm==""，其中,cd均为确定的常数。c表示“平移量”，d表示“旋转量”，即表示“放大”或“缩小”倍数，则[,]ijxccd′∈+。譬如若取60,40cd==，则[60,100]ijx′∈。返回三、综合评价的数学模型为了全面地综合分析评价n个系统（被评价对象）的运行（或发展）状况，如果已知n个状态向量（即n组观测值）()12(,,,)iTiiimxxx=x"(1,2,,)in="，则根据m个评价指标的实际影响作用，确定相应的权重向量12(,,,)Tmwww=w"，且选择合适的数学方法构造综合评价函数（即综合评价模型）(,)yf=wx，由此计算综合评价指标函数值()(,)(1,2,,)iiyfin==wx"，并按(1,2,,)iyin="取值的大小对n个系统进行排序或分类。问题:如何来构造合适的综合评价模型？线性加权综合法的适用条件:各评价指标之间相互独立。对于不完全独立的情况采用该方法，其结果将导致各指标间信息的重复，使得评价结果不能客观地反映实际。三、综合评价的数学模型1.线性加权综合法线性加权综合法:用线性加权函数1mjjjywx==∑作为综合评价模型，对n个系统进行综合评价。线性加权综合法的特点：（1）该方法能使得各评价指标间作用得到线性补偿，保证综合评价指标的公平性；（2）该方法中权重系数的对评价结果的影响明显，即权重较大指标值对综合指标作用较大；（3）当权重系数预先给定时，该方法使评价结果对于各备选 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之间的差异表现不敏感；（4）该方法计算简便，可操作性强，便于推广使用。1.线性加权综合法2.非线性加权综合法非线性加权综合法:用非线性函数∏==mjwjjxy1作为综合评价模型，对n个系统进行综合评价。其中jw为权系数，且要求1≥jx。非线性加权综合法适用于各指标间有较强关联的情况。非线性加权综合法的特点：（1）该方法突出了各备选方案指标值的一致性，即可以平衡评价指标值较小的指标影响的作用；（2）在综合评价指标中权重系数大小的影响作用不是特别明显，而对指标值的大小差异相对较敏感；（3）要求所有的评价指标值（无量纲）都大于或等于1；（4）非线性加权综合法相对线性加法计算复杂。三、综合评价的数学模型3.逼近理想点（TOPSIS）方法实际中，经常会遇到这样的一类综合评价问题，即首先设定系统的一个理想（样本）点),,,(**2*1mxxx"，然后对于每一个被评价对象与理想点进行比较。如果某一个被评价对象),,,(21imiixxx"在某种意义下与理想点),,,(**2*1mxxx"最接近，则可以认为被评价对象),,,(21imiixxx"就是最好的。基于这种思想的综合评价方法称为逼近理想点的排序方法（Thetechniquefororderpreferencebysimilaritytoidealsolution，简称为TOPSIS）。3.逼近理想点（TOPSIS）方法假设理想点（系统）为),,,(**2*1mxxx"，对于一个被评价对象),,,(21imiixxx"，定义二者之间的加权距离为nixxfwymjjijji,,2,1,)(1*"==∑=，其中jw为权系数，),(*jijxxf为ijx与*jx之间的某种意义下距离。通常情况下可取简单的欧氏距离，即取2**)(),(jijjijxxxxf−=，则综合评价函数为nixxwymjjijji,,2,1,)(12*"=−=∑=。经过计算，按照),,2,1(niyi"=值的大小对各被评价方案进行排序选优，显然是其值越小方案就越好。特别地，当某个0=iy时，即达到了理想点，则对应的方案就是最优的。返回四、动态加权综合评价方法四、动态加权综合评价方法2005年中国大学生数学建模竞赛的A题：“长江水质的评价和预测”问题的第一部份给出了17个观测站（城市）的最近28个月的实际 检测 工程第三方检测合同工程防雷检测合同植筋拉拔检测方案传感器技术课后答案检测机构通用要求培训 指标数据，包括反映水质污染程度的最主要的四项指标：溶解氧（DO）、高锰酸盐指数（CODMn）、氨氮(NH3-N)和PH值，要求综合这四种污染指标的28个月的检测数据对17个城市的水质情况做出综合评价。1.动态加权综合评价问题的提法在以上综合加权评价方法中，关于权值(1,2,,)jwjm="都是属于定常权，即权值均为常数。虽然这种方法简单易行，对某些较简单的实际问题也是可行的，但是主观性强、科学性差，有些时候不能很好地为决策提供有效的依据。根据国标（GB3838—2002）的规定，关于地表水的水质可分为Ⅰ类、Ⅱ类、Ⅲ类、Ⅳ类、Ⅴ类、劣Ⅴ类共六个类别，每一个类别对每一项指标都有相应的标准值（区间），只要有一项指标达到高类别的标准就算是高类别的水质，所以实际中不同类别的水质有很大的差别，而且同一类别的水在污染物的含量上也有一定的差别。在对17个城市的水质做综合评价时，要充分考虑这些指标值不同类别水的“质的差异”和同类别水的“量的差异”,在此简称为“质差”和“量差”。因此，这是一个较复杂的多因素多属性的综合评价问题。四、动态加权综合评价方法四、动态加权综合评价方法1.动态加权综合评价问题的提法动态加权综合评价问题的一般提法：现设有n个被评价对象（或系统），分别记为12,,,(1)nSSSn>"，每个系统都有m属性（或评价指标），分别记为12,,,(1)mxxxm>"，对于每一个属性ix都可以分为K个等级，记为12,,,Kppp"(1)K>。而对于每一个等级kp都包含一个区间范围，记为()()[,)iikkab，且()()iikkab<(1,2,,;1,2,,)imkK==""，即当属性()()[,)iiikkxab∈时，则属性ix属于第k类kp(1)kK≤≤。也就是对于每一个属性而言，既有不同类别的差异，同类别的又有不同量值的差异。对于这种既有“质差”，又有“量差”的问题，如果用通常的定常权综合评价法做综合评价显然是不合理的，然而合理有效的方法是动态加权综合评价方法。根据这个问题的实际背景和综合评价的一般原则，解决问题的主要过程分三步完成：•将各评价指标作标准化处理；•根据各属性的特性构造动态加权函数；•构建问题的综合评价模型，并做出评价。实际中问题的评价指标可能有极大型的、极小型的、中间型，或区间型的四种情况，也有时各有不同的量纲，这就需要根据不同情况分别作标准化处理，即对三种不同类型指标变换成统一的、无量纲的标准化指标。四、动态加权综合评价方法四、动态加权综合评价方法2.动态加权综合评价的一般方法2.1评价指标的标准化处理2.动态加权综合评价的一般方法(1)极大型指标的标准化如果指标ix为极大型指标，首先要将数据指标作极小化处理，即通过倒数变换1iixx′=，或(max{})iiiiixMxMx′=−=实现，然后再作极差变换将其数据标准化，即令(1)iiiiixmximMm′′−′′=≤≤′′−，其中min{},max{}iiiimxMx′′′′==。则ix被化为无量纲的标准化指标，对应的分类区间也随之相应地变化，在这里为了方便仍记为()()[,)(1,2,,;1)iikkabkKim=≤≤"。（2）中间型指标的标准化对于中间型指标，即越靠近某个中间值评价效果越好。如果指标ix是关于均值对称的，则用变换(1)iiiixxximx−′=≤≤，其中1(),min{},max{}2iiiiiiixMmmxMx=−==。否则，取某一个理想值(0)(,)iiixmM∈，则令(0)(1)iiiixxximx−′=≤≤.可将其指标标准化，相应的分类区间也随之变化，同样仍记为()()[,)(1,2,,;1)iikkabkKim=≤≤"。2.1评价指标的标准化处理2011-10-20信息工程大学信息工程学院26考虑到评价指标的“质差”与“量差”的关系，在确定综合评价指标时，既要能体现不同类型指标之间的差异，也要能体现同类型指标的数量差异。根据实际问题具体取什么样的动态加权函数，主要是从实际问题出发分析确定。对于不同的指标可以取相同的权函数，也可以取不同的权函数。2.2动态加权函数的设定2.动态加权综合评价的一般方法四、动态加权综合评价方法四、动态加权综合评价方法hzg:hzg:2.2动态加权函数的设定（1）分段变幂函数如果某项评价指标ix对于综合评价效果的影响大约是随着类别(1,2,,)kpkK="的增加而按正幂次增加，同时在某一类中随着指标值的增加按相应的一个幂函数增加，则对指标ix可以设定分段幂函数为变权函数。即1()()(),[,](1,2,,)iikikkwxxxabkK=∈="，其中1im≤≤。2.2动态加权函数的设定（2）偏大型正态分布函数如果某项指标ix对于综合评价效果的影响大约是随着类别(1,2,,)kpkK="的增加，先是缓慢增加，中间有一个快速增长的过程，随后平缓增加趋于最大，相应的图形呈正态分布曲线（左侧）形状。那么，此时对指标ix的变权函数可以设定为偏大型正态分布函数。即20,()1,iiixiixwxexασαα⎛⎞−−⎜⎟⎝⎠≤⎧⎪=⎨⎪−>⎩当时,当时,其中参数iα可取()()11[,)iiab中的某定值，在此不妨取()()11()/2iiibaα=−，iσ由()()0.9(1)iiKwaim=≤≤确定。2.2动态加权函数的设定（3）S型分布函数如果某项指标ix对于综合评价效果的影响大约是随着类别(1,2,,)kpkK="的增加而增加的过程，呈一条“S”曲线，那么，此时对指标ix的变权函数可以设定为S型分布函数。即2()()11()()12()()()()12,,()12,,iiiiKiiiKKiiKxaaxcbawxxbcxbba⎧⎛⎞−⎪≤≤⎜⎟−⎪⎝⎠=⎨⎛⎞−⎪−<≤⎜⎟⎪−⎝⎠⎩其中参数()()11(),()0.52(1)iiKicabwcim=+=≤≤且。2.3综合评价模型的构建2.动态加权综合评价的一般方法根据标准化后的各评价指标值，不妨仍用ix表示，以及相应的动态权函数()(1,2,,)iwxim="，建立综合评价模型来对n个被评价对象做出综合评价。在此，取综合评价模型为各评价指标的动态加权和，即1()miiiiXwxx==⋅∑。以此作为问题的综合评价指标函数，如果每个被评价对象的m个属性都有N组样本观测值{}(1,2,,;1,2,,)ijximjN==""，代入上式计算，则每一个被评价对象都有N个综合评价指标值()(1,2,,;kXjkn="1,2,,)jN="。由此按其大小排序，可以给出n个被评价对象的N个排序方案。2.3综合评价模型的构建2.动态加权综合评价的一般方法利用决策分析中的Borda函数方法来确定综合排序方案。记在第j个排序方案中排在第k个被评价对象kS后面的个数为()jkBS，则被评价对象kS的Borda数为1()()(1,2,,)NkjkjBSBSkn===∑"由此式的计算结果按其大小排序，就可以得到n个被评价对象的综合评价结果，即总排序结果。返回五、五、长江水质的综合评价模型长江水质的综合评价模型针对长江水质的综合评价这一问题，采用动态加权综合评价方法来解决。假设17个城市为被评价对象1217,,,SSS"，共有四项评价指标（或属性）DO、CODMn、NH3-N和PH值，分别记为321,,xxx和4x，前三项指标都有6个等级126,,,ppp"，相应的分类区间值如表（1）所示，而PH值没有等级之分。表（1）:《地表水环境质量标准》（GB3838—2002）中4个主要项目标准限值单位：mg/L指标Ⅰ类Ⅱ类Ⅲ类Ⅳ类Ⅴ类劣Ⅴ类溶解氧(DO)[7.5,∞)[6,7.5)[5,6)[3,5)[2,3)[0,2]高锰酸盐指数(CODMn)(0,2](2,4](4,6](6,10](10,15](15,∞)氨氮（NH3-N）(0,0.15](0.15,0.5](0.5,1](1,1.5](1.5,2](2,∞)PH值（无量纲）[6,9]五、五、长江水质的综合评价模型长江水质的综合评价模型1.指标数据的标准化处理（1）溶解氧（DO）的标准化注意到溶解氧（DO）为极大型指标，首先将数据指标作极小化处理，即令倒数变换111xx=′，相应的分类标准区间变为1111111111(0,],(,],(,],(,],(,],(,)7.57.566553322∞，然后通过极差变换5.011xx′=′′将其数据标准化，对应的分类区间随之变为(0,0.2667],(0.2667,0.3333],(0.3333,0.4],(0.4,0.6667],(0.6667,1],(1,)∞1.指标数据的标准化处理（２）高锰酸盐指数（CODMn）的标准化高猛酸盐指数本身就是极小型指标，即由极差变换将其数据标准化，即令1522xx=′,对应的分类区间随之变为(0,0.1333],(0.1333,0.2667],(0.2667,0.4],(0.4,0.6667],(0.6667,1],(1,)∞（３）氨氮（NH3-N）的标准化氨氮也是极小型指标，对指标数据作极差变换将其数据标准化，即令233xx=′，对应的分类区间随之变为(0,0.075],(0.075,0.25],(0.25,0.5],(0.5,0.75],(0.75,1],(1,)∞1.指标数据的标准化处理（４）PH值的处理酸碱度（PH值）的大小反映出水质呈酸碱性的程度，通常的水生物都适应于中性水质，即酸碱度的平衡值（PH值略大于７），在这里不妨取正常值的中值7.5。当PH<7.5时水质偏碱性，当PH>7.5时偏酸性，而偏离值越大水质就越坏，PH值属于中间型指标。为此，对所有的PH值指标数据作均值差处理，即令5.7325.15.7444−=−=′xxx，则将其数据标准化。五、五、长江水质的综合评价模型长江水质的综合评价模型2.动态加权函数的确定根据对这一实际问题的分析，不妨取动态加权函数为偏大型正态分布函数，即20,()1,iiixiixwxexασαα⎛⎞−−⎜⎟⎝⎠≤⎧⎪=⎨⎪−>⎩当时,当时,其中iα在这里取指标ix的Ⅰ类水标准区间的中值，即()()11()/2iiibaα=−，iσ由)3,2,1(9.0)()(4==iawii确定。由实际数据经计算可得0375.0,0667.0,1333.0321===ααα，,2197.0,1757.021==σσ3048.03=σ，则代入上式可以得到DO、CODMn和NH3-N三项指标的动态加权函数。五、五、长江水质的综合评价模型长江水质的综合评价模型3.综合评价指标函数的确定考虑到对实际评价效果影响差异较大的是前三项指标，以及指标PH值的特殊性，这里取前三项指标的综合影响权值为0.8，而PH值的影响权值取0.2。因此，根据综合评价模型，某城市某一时间的水质综合评价指标定义为4312.0)(8.0xxxwXiiii+=∑=。根据17个城市的28组实际检测数据，经计算可得各城市的水质综合评价指标值，即可得到一个1728×阶的综合评价矩阵1728()ijX×。五、五、长江水质的综合评价模型长江水质的综合评价模型4.各城市水质的综合评价由17个城市28个月的水质综合评价指标(1,2,,17;ijXi="1,2,,28)j="，根据其大小（即污染的程度）进行排序，数值越大说明水质越差。由此可得反映17个城市水质污染程度的28个排序结果，根据Borda数的计算方法则得到第i个城市(被评价对象)iS的Borda数为281()()(1,2,,17)ijijBSBSi===∑"。经计算可得到各城市的Borda数及总排序结果如表(2)所示。表(2)：按各城市的水质污染总排序结果城市排序1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12S13S14S15S16S17SBorda数20313614323410613913837823227160357277264438214217总排序1115127161314285173461109表(2)：按各城市的水质污染总排序结果城市排序1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12S13S14S15S16S17SBorda数20313614323410613913837823227160357277264438214217总排序1115127161314285173461109由表(2)可以看出，各观测城市所在的江段的水质污染的情况，水质最差的是观测城市是15S，即是江西南昌赣江鄱阳湖入口地区；其次是观测城市8S，即四川乐山泯江与大渡河的汇合地区；第三位的是12S，即湖南长沙湘江洞庭湖地区；干流水质最差的是湖南岳阳段（4S），主要污染可能是来自于洞庭湖。干流水质最好的区段是江西九江(鄂赣交界)段（6S），支流水质最好的是湖北丹江口水库（11S）。4.各城市水质的综合评价六、动态加权综合评价方法的特点六、动态加权综合评价方法的特点从实际的综合评价结果可以看出，针对这样一类多因素多属性的既包含“质差”又包含“量差”的综合评价问题，采用动态加权综合评价方法使得评价结果科学合理。主要特点有:•充分地考虑到了每一个因素每一属性的所有“差异”的影响和作用;•在综合评价中也充分地体现出了各属性的“广泛性”和“民主性”;•避免了在一般的综合评价方法的“一票否决”（即某一指标的劣而导致结果的否定）的不合理性;•体现出了综合评价的“综合”二字的含义。动态加权综合评价方法从方法上增加了综合评价的客观性，大大地淡化了评价人的主观因素对评价结果的影响。这与一般的定常加权法相比其优越性是显而易见的。动态加权综合评价方法不仅适用于水质的综合评价这一类问题，而且，类似的可以用来研究解决诸如空气质量的综合评价问题，以经济和军事等领域的很多综合评价问题，动态加权综合评价方法在实际中非常有推广应用价值。六、动态加权综合评价方法的特点六、动态加权综合评价方法的特点