微分变换法求解波方程及非线性耗散方程

微分变换法求解波方程及非线性耗散方程 题目:微分变换法求解波方程及非线性耗散方程 姓 名: 贾剑豪 学 号: P101713040 学 院: 数学与计算机科学学院 专 业: 数学与应用数学 班 级: 2010级数学与应用数学班 指导老师: 马维元 2014 年 5 月 9 日 微分变换法求解波方程及非线性耗散方程 专业:数学与应用数学 姓名:贾剑豪 指导教师:马维元 摘 要 微分变换 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 (DTM)是用于求解微分方程级数形式的近似解的 一种新发展的解题方法.是当代数学及其应用中较为重要的研究课题 之一.到目前为止,我们只能用微分变换方法求解有限的几种特殊的 线性微分方程,在本文中,我们考虑将这种方法推广到波方程和非线 性耗散方程的求解上,并给出一些例子说明本方法的可行性。 关键词 微分变换法,波方程,非线性耗散方程 ABSTRACT Differential transform method (DTM) is the approximate solution in form of series is used for solving the differential equation of the development of a new method to solve problems. The contemporary mathematics and its application in one of the important research topic. So far, we have to use differential transform method to solve the limited number of special linear differential equation, in this article, we consider this approach to solution of the wave equation and nonlinear dissipation equation. The feasibility of this method and gives some examples. Key Words:Differential transformation method, wave equation, Nonlinear dissipation equation 1 1.引言 微分变换方法(DTM)是用于求解微分方程级数形式的近似解的一种新发展的解题方法.是当代数学及其应用中较为重要的研究课题之一.到目前为止，我们只能用微分变换方法求解有限的几种特殊的线 在本文中，我们考虑将这种方法推广到波方程和非线性性微分方程, 耗散方程的求解上。并给出一些例子说明本方法的可行性。 1.1波方程介绍: 波方程也称为波动方程，是一种重要的偏微分方程，主要描述大自然中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如无线电波、声波、光波和水波。波动方程来源于声学、量子力学、光学、电磁学、动力学、流体力学等领域。历史上有许多科学家在研究物体的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过杰出贡献，其中被我们熟知的有达朗贝尔、丹尼尔?伯努利、欧拉和拉格朗日等。 1.2非线性耗散方程的介绍: 通过学习我们了解到任何物质的运动都会受到一定的自然规律(物理定律)的制约，所以我们为了描述这些物质的运动从而提出了一些数学模型，本文中提到非线性耗散方程就是这些模型中的一类，这些模型中还有一些我们常见的例如弦振动方程，空气动力学方程组，热传导方程，量子力学等，这些方程都共同点就是都从数量形式上刻划了相对应物理定律所确立的某些物理量之间的制约关系。 2 1.3微分变换介绍 1.3.1一维微分变换的基本定义和基本运算 定义1.如果在定义域上是解析的,令 x(t)T kdx(t),(t,k),,t,T (1) kdt t,t对于,,如果其中属于非负整数集,则上式Kk,(t,k),,(,k)iti (1)即可改写为 k，，dxt()Xk,tk(),(,),,k,K , (2) ii,,kdt，，t,ti X(k)其中是在上的变化范围,称式(2)为的微分变换. x(t)x(t)Ki 定义2:如果是解析的,则可 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为: x(t)x(t) k,(t,t)ix(t)X(k)., (3) ,k!k0, 称之为的微分逆变换 X(k) 如果表示为: X(k) k，，dq(t)x(t)X(k),M(x)k,0,1,2,？,,. (4) ,,kdt，，t,t0则函数可表示为: x(t) k,,(tt)1X(k)i(),,xt (5) ,qtkMk()!(),k0 其中,.作为一个加权因子. M(k)M(k),0q(t),0 1.3.2一维微分变换的性质: 性质1:如果,那么. f(x),g(x),h(x)F(k),G(k),H(k) c性质2:如果,那么,其中为常数. f(x),cg(x)F(k),cG(k) 3 ndg(x)(k，n)!f(x),性质3:如果,那么. F(k),G(k，n)ndxk! k:如果,那么. 性质4F(k),G(l)H(k,l)f(x),g(x)h(x),,0l 1,k,n,n性质5:如果,那么. f(x),xF(k),(k,n),,,0,k,n,1.3.3二维微分变换的基本定义和基本运算. w(x,y)如果我们把下列含有两个变量的二维函数看作是两个单 独变量的函数,，那么基于一维微分变换我们就可以w(x,y),f(x)g(y) w(x,y)把函数表示为: ,,,,khkhw(x,y),F(k)xG(h)y,W(k,h)xy. (6) ,,,,k0h0kh00,,,, w(k,h)其中被称为是. W(k,h),F(k)G(h) w(x,y)如果是解析函数,并且随着的变化而不断变化,则有 t kh，,wxy1(,)Wkh,(,)[]. (7) (0,0)khkh,x,y!! w(x,y)W(x,y)W(x,y)其中是原函数.而是转变方程.那么的微分逆 变换的定义为: ,,khw(x,y),W(k,h)xy. (8) ,,kh00,, 从方程(7)和(8)可得出结论: kh，,,，，kh,1w(x,y),w(x,y)xy. (9) kh,,,,kh00,,k!h!xy(0,0)，，,, 1.3.4二维微分变换的基本性质. U(k,h),V(k,h)和W(k,h)u(x,y),v(x,y)这里我们让分别代表和 [1]w(x,y)的分数阶微分变换,则有: 4 (?)如果 w(x,y),u(x,y),v(x,y),那么W(k,h),U(k,h),V(k,h). (?)如果 w(x,y),au(x,y),a,R,那么W(k,h),aU(k,h). (?)如果 w(x,y),u(x,y)v(x,y),那么 kh W(k,h),U(r,h,s)V(k,r,s). ,,,,00rs (?)如果 nmw(x,y),xy,那么W(k,h),(k,n,h,m),(k,n)(h,m).,,, 1，k,n并且h,m., 其中(k,n,h,m),,,0,其他., (?)如果 rs,u(x,y)，w(x,y),,那么rs,x,y W(k,h),(k，1)(k，2)？(k，r)(h，1)？(h，s)U(k，r,h，s).(?)如果 ,u(x,y) w(x,y),,那么W(k,h),(k，1)U(k，1,h). ,x (?)如果 ,u(x,y)w(x,y),,那么W(k,h),(h，1)U(k,h，1). ,y (?)如果 w(x,y),u(x,y)v(x,y)g(x,y),那么 kkrhhs,, W(k,h),U(r,h,s,p)V(t,s)G(k,r,t,p).,,,, rtsp,0000,,, (?)如果 5 ,u(x,y),u(x,y)w(x,y),,那么 ,x,x kh W(k,h),(r，1)(k,r，1)U(r，1,h,s)V(k,r，1,s).,,,,00rs (?)如果 2,g(x,y)w(x,y),u(x,y)v(x,y),那么2,x kkrhhs,, W(k,h),(k,r,t，2)(k,r,t，1)U(r,h,s,p)V(t,s)G(k,r,t，2,p).,,,,rtsp,0000,,, (?)如果 2,v(x,y)w(x,y),u(x,y),那么2,x kh W(k,h),(k,r，1)(k,r，2)U(r,h,s)V(k,r，2,s).,,,,00rs 2.波方程求解 2.1波方程的微分变换: 波方程是我们大学学习微分方程中较为重要的一中偏微分方程， 也是学习数学物理方法是较为典型的一种物理方程。我们熟知的基本 波方程为: u,u,f(x,t)ttxx即一维波动方程为: 22,u(x,t),u(x,t) ,,f(x,t) 22,t,x 2,u(x,t) 2,t所以由(?)可知的微分变换有: W(k,h),(h，1()h，2)U(k,h，2) 2,u(x,t) 2,x由(?)可知的微分变换有: 6 W(k,h),(h，1()h，2)U(h,k，2) 综上所述可知公式(10)的一维波动方程微分变换后有: (k，1()k，2)U(k，2,h),(h，1()h，2)U(k,h，2),F(k,h) (10) 2.2例题验证: 例一:假定我们给出一维波动方程的精确解如下: u(x,t),sinxcost 那么对上述的一维波动方程进行微分变换可得: (k，1()k，2)U(k，2,h),(h，1()h，2)U(k,h，2),F(k,h) (11) 给出初始条件为: u (x, 0) , 0u(x,0),sinxt 由公式(3)转换后可得初始条件为: 1，,k,0,1,,,k,1,5,.....,k!U(k, 0) , (12) ,1k,3,7,.....,,,k!,k,2,4,6,...,0,, U(k, 1) , 0. 把(12)试带入(11)式,我们可以得到的的值: U(k,h) ？U(0,1),,1,U(0,2),1,U(0,3),,1,U(0,0),1, U(1,1),,1,U(1,2),1,U(1,3),,1,U(1,0),1,？ 7 1111U(3,0),,U(3,2),,U(3,1),,,U(3,3),,, ？2!2!2!2! 1111U(3,3),,,U(3,0),,U(3,1),,,U(3,2),, ？3!3!3!3! ？？？？？ 1111U(k,0),,U(k,1),,,U(k,2),,U(k,3),,, ？k!k!k!k! ？？？？？将所有的的值代入(11)式到我们就可得到该波方程的解为: U(k,h) ,,khu(x, t),U(k,h)xt,,kh,00, 352468xxtttt,(x-，，......)(1,，,，,......) 3!5!2!4!6!8! ,sinxcost f(x,t)即为的精确解如图: 而给定的精确解u(x,t),sinxcost的图像为: 8 f(x,t)因为该精确解与假设的精确解一致,且的精确解图像一样.因此,用微分变换方法求波方程是有效的. 例二:假定我们给出一维波动方程的精确解如下: 3u(x,t),tsinx 那么对上述的一维波动方程进行微分变换可得: (k，1()k，2)U(k，2,h),(h，1()h，2)U(k,h，2),F(k,h) (13) 给出初始条件为: u (x, 0) , 0 u(x,0),0t 由公式(3)转换后可得初始条件为: 9 1,k,1,3,5.....,U(k, 0) , (14) ,k!k,其他,0, U(k, 1) , 0. 把(14)试带入(13)式,我们可以得到的的值: U(k,h) ？？U(0,0),0,U(0,2),0,U(0,3),0,U(0,n),0,U(0,1),0, ？？U(1,0),0,U(1,2),0,U(1,3),0,U(1,n),0,U(1,1),0, U(2,0),0,U(2,2),0,U(2,3),0,U(2,n),0,U(2,1),0,？？ 111U(3,3),,U(3,2),,U(3,n),, U(3,1),1,？？U(3,0),1,3!2!n!将所有的的值代入(13)式到我们就可得到该波方程的解为: U(k,h) ,,khu(x, t),U(k,h)xt,,00kh,, 35xx3,t(x-，，......) 3!5! 3,tsinx f(x,t)即为的精确解如图: 10 3u(x,t),tsinx而给定的精确解的图像为: f(x,t)因为该精确解与假设的精确解一致,且的精确解图像一样.因此,用微分变换方法求波方程是有效的. 3.非线性耗散方程求解 3.1非线性耗散方程介绍 通过学习我们了解到任何物质的运动都会受到一定的自然规律(物理定律)的制约，所以我们为了描述这些物质的运动从而提出了一些数学模型，本文中提到非线性耗散方程就是这些模型中的一类，这些模型中还有一些我们常见的例如弦振动方程，空气动力学方程组，热传导方程，量子力学等，这些方程都共同点就是都从数量形式上刻划了相对应物理定律所确立的某些物理量之间的制约关系。我们所熟知的非线性热传导方程: 11 2 u,du，auu，b(u,u),f(x,t)txxx 就是一个典型的非线性耗散方程。 由(?)可知的微分变换有: ut W(k,h),(h，1)U(k,h，1) 由(?)可知的微分变换有: uxx W(k,h),(k，1()k，2)U(k，2,h) 由(?)可知的微分变换有: uux kh W(k,h),(k,r，1)U(r,h,s)V(k,r，1,s) ,,,,00rs 由(?)可知的微分变换有: uux 2 W(k,h),U(k,h),V(k,h)综上所述我们得到该方程的微分变换为: kh(h，1)U(k,h，1),d(k，1)k，2)U(k，2,h)，a(k,r，1)U(r,h,s)V(k,r，1,s)(,, ,,00rs 2，bU(k,h),V(k,h),F(k,h) 3.2例题验证: 例三:假定我们给出非线性耗散方程的精确解如下: 33u(x,t),tx 对非线性耗散方程进行微分变换: 22266u,u，u,6xt(x,t)，xt ttxx utt由(?)可知的微分变换有: W(k,h),(h，1()h，2)U(k,h，2) u由(?)可知的微分变换有: xx 12 W(k,h),(h，1()h，2)U(h,k，2) 2u由(?)可知的微分变换有: hk W(k,h),U(r,h,s)U(k,r,s) ,,r,,s00 22666xt(x,t)，xt由(?)可知的微分变换有: W(k,h),6,(k -3,h -1) -6,(k -1,h -3) ， ,(k -6,h -6). 综上所述我们得到该方程的微分变换为: hk(，1)h，2(,，2),(，1)h，2(h,，2)，(,,)(,,)h()Ukhh()UkUrhsUkrs,,r,,s00,6,(k -3,h -1) -6,(k -1,h -3) ， ,(k -6,h -6) (15) 假定我们给出该耗散方程的初始条件如下: u(x,0),0u(x,0),0t 由公式(3)转换后可得初始条件为: (16) U(k,0),0U(k,1),0 把(16)试带入(15)式,我们可以得到的的值: U(k,h) ？？U(0,0),0,U(0,2),0,U(0,3),0,U(0,n),0,U(0,1),0, ？？U(1,0),0,U(1,2),0,U(1,3),0,U(1,n),0,U(1,1),0, U(2,0),0,U(2,2),0,U(2,3),0,U(2,n),0,U(2,1),0,？？ 111U(3,3),,U(3,2),,U(3,n),,U(3,1),1,？？ U(3,0),1,3!2!n! ？U(4,0),0,U(4,1),0,U(4,2),0,U(4,n),0,U(4,3),0,？？U(5,0),0,U(5,1),0,U(5,2),0,U(5,3),0,U(5,n),0,？ ？U(6,0),0,？U(6,1),0,U(6,2),0,U(6,3),0,U(6,n),0, ？？？？？？？将所有的的值代入(15)式到我们就可得到该非线性耗散方程U(k,h) 13 的解为: ,,kh33u(x,t),U(k,h)xt,xt ,,kh00,, f(x,t)即为的精确解,如图: 33u(x,t),tx而给定的精确解的图像为: 14 f(x,t)因为该精确解与假设的精确解一致,且的精确解图像一样. 因此,用微分变换方法求非线性耗散方程是有效的. 例四:假定我们给出非线性耗散方程的精确解如下: u(x,t),xcosx 对非线性耗散方程进行微分变换: 222 u,u，u,,xcost，xcostttxx utt由(?)可知的微分变换有: W(k,h),(h，1()h，2)U(k,h，2) u由(?)可知的微分变换有: xx W(k,h),(h，1()h，2)U(h,k，2) 2u由(?)可知的微分变换有: hk W(k,h),U(r,h,s)U(k,r,s) ,,r,,s00 22,xcost，xcost由(?)可知的微分变换有: ,,hhhcos()2cos()11122W(k,h),,(k -2,h ) ，,(k -2,h ) ，,(k -2,h ) 2h!2h!2综上所述我们得到该方程的微分变换为: kh hUkhhUkUrhsUkrs(，1)h，2(,，2),(，1)h，2(h,，2)，(,,)(,,)()(),,r,,00s ,,hhhcos()2cos()11122,,(k -2,h ) ，,(k -2,h ) ，,(k -2,h )hh2!2!2 (17) 给出初始条件为: u(x,0),0 u(x,0),xt 15 由公式(3)转换后可得初始条件为: 1k,1, (18) U(k,0),U(k,1),0,0其他, 把(18)试带入(17)式,我们可以得到的的值: U(k,h) U(0,1),0,U(0,0),0,U(0,2),0,U(0,3),0,U(0,2n),0, ？？U(1,1),0,U(1,0),0,U(1,2),0,U(1,3),0,U(1,2n),0, ？？U(2,1),0,U(2,0),0,U(2,2),0,U(2,3),0,U(2,2n),0, U(3,1),0,U(3,0),0,U(3,2),0,U(3,3),0,U(3,2n),0,？？ U(4,1),0,U(4,0),0,U(4,2),0,U(4,3),0,U(4,2n),0, 11nU(5,2),,,U(5,1),0, U(5,3),0,？？U(5,0),1,U(5,2n),(,1),2!(2n)! ？？U(6,0),0,U(6,1),0,U(6,2),0,U(6,3),0,U(6,2n),0, U(7,0),0,U(7,1),0,U(7,2),0,U(7,3),0,U(7,2n),0,？？ ？ ？ ？ ？ ？ 将所有的的值代入(17)式到我们就可得到该波方程的解为: U(k,h) 24,,ttkhu(x,t),U(k,h)xt,x(1,，，....),xcost ,,2!4!kh,00, f(x,t)即为的精确解,如图: 16 u(x,t),xcosx而给定的精确解的图像为: 17 f(x,t)因为该精确解与假设的精确解一致,且的精确解图像一样.因此,用微分变换方法求非线性耗散方程是有效的. 4、小结 微分变换方法(DTM)是最近发展起来的一种较为简便地解题方法,在本文中详细介绍了微分变换法并较为详细的介绍了它的基本定义与性质，并且也较为快速的介绍了波方程和非线性耗散方程各自的抽象来源与定义，并对给出的波方程和非线性耗散方程采用微分变换方法进行求解，并运用例子表明采用微分变换法求解波方程和非线性耗散方程的可行性与有效性. 18 参考文献 [1]康东升(一个反应扩散方程的显示波前解与一个平面三次系统的全局分析 [J](数学物理学报,1998,18(增刊): 1-l2( [2]密苏里大学Nakhle H、Asmar，偏微分方程教程，机械工业出版社，2006.10 [3]叶俊杰,钱德亮. 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[9] A.S.V.Ravi Kanth,K.Aruan Differential transform method for solving the linear and nonlinear Klein-Gordon equation Computer Physics Communctions 180(2009)708-711 19 答 谢 时光飞快,转眼间大学生活已接近尾声, 在这里我要感谢我的母校西北民族大学,是她把我从一名普通高中生培养成为一名合格的大学生. 本论文是在马维元老师的亲切关怀和精心指导下完成的,马老师在自己有繁杂的教学工作和自己伟大事业的繁忙中抽出时间给予了我学术上的指导和帮助.在我设计这篇论文的每个阶段,马老师都不断地对我的论文进行指导和完善,从而使我这有限的时间内完成论文的撰写，最后顺利交稿。 最后我要感谢大学四年来所有的老师,为我打下专业知识基础，否则我绝对不可能顺利的完成这篇毕业论文;同时还要感谢所有的同学们,正是因为有了你们的支持和鼓励,有了你们的陪伴和帮助，此次毕业设计才会顺利完成. 20