2019年全国高中数学联赛四川赛区预赛试题（含答案）

2019年全国高中数学联赛四川赛区预赛试题（含答案）参考答案及评分标准（第1页共5页）2019年全国高中数学联赛（四川预赛）试题参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据评分标准.填空题只设8分和0分两档；第9题4分一个档次、第10题和第11题均为5分一个档次.请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准评分.一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1、32、23、84、1813、126、66ln67、12888、1346.二、解...

参考答案及评分标准（第1页共5页）2019年全国高中数学联赛（四川预赛）试题参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据评分标准.填空题只设8分和0分两档；第9题4分一个档次、第10题和第11题均为5分一个档次.请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准评分.一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1、32、23、84、1813、126、66ln67、12888、1346.二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）设点A的坐标为(0,3)，点,BC为圆O：2225xy上的两动点，满足90BAC，求△ABC面积的最大值.解：如图，设1122(,),(,)BxyCxy，(,)Pxy为线段BC的中点.则221125xy①222225xy②1212(3)(3)0xxyy③12122,2xxxyyy④由①、②、③、④可知：2238xyy，即222341()()22xy.所以，线段BC的中点P的轨迹是1O，其方程为：222341()()22xy.……4分于是11341||||||22APAOOP,……8分从而△ABC面积1||||2SABAC221(||||)4ABAC21||4BC2||AP234125341()222……12分yxO1PCAOB要进“5000G网课视频共享群”的到自助QQ：763491846的空间日志里查看（空间里有全部学科的资料群）参考答案及评分标准（第2页共5页）当点P的坐标为341(0,)2时，可取到等号.所以，△ABC面积的最大值是253412.……16分10.（本题满分20分）设,,(0,1]abc，为实数，使得31(1)(1)(1)abcabc恒成立，求的最大值.解：取14abc时，6427.……5分下证：6427满足条件，即证3641(1)(1)(1)27abcabc注意到：3(1)(1)(1)(1)3abcabc……10分令23abcx，其中0x，则01x.只须证231641(1)27xx33164(1)(1)27xxxx23641(1)(1)27xxx……15分由均值不等式知：2323612(1)3()1273(1)(1)27(1)()27()3664xxxxxxxxx于是23646427(1)(1)1272764xxx，故（*）成立.综上可知，的最大值是6427.……20分要进“5000G网课视频共享群”的到自助QQ：763491846的空间日志里查看（空间里有全部学科的资料群）参考答案及评分标准（第3页共5页）11.（本题满分20分）已知函数2()ln,fxxxaxaR.（1）证明：当1<<3x时，22()21(3)eexfxaxxx；（2）设函数()|()|Fxfx（[1,e]x）有极小值，求a的取值范围.解：（1）设2()()2ln2gxfxaxxxxx，则()lngxx，当1<<3x时，()0gx，因此,()gx在(1,3)单调递增，所以，()(1)1gxg；设()(3)exhxx，则()(2)exhxx，当1<<2x时，()0hx；当2<<3x时，()0hx因此，()hx在(1,2)单调递增，在(2,3)单调递减.所以，()hx的最大值为2(2)eh，即20(3)eexx，2110(3)eexx.又因为2()21fxaxx，所以22()21(3)eexfxaxxx.……5分（2）()|()|Fxfx2lnxxax，[1,e]x令ln(),[1,e],xtxaxx则21ln()xtxx，当[1,e]x时，()0tx，故()tx在[1,e]上单调递增．于是(1)()(e)ttxt，即1()eatxa.要进“5000G网课视频共享群”的到自助QQ：763491846的空间日志里查看（空间里有全部学科的资料群）参考答案及评分标准（第4页共5页）（i）当0a，即0a时，()0tx，于是2()ln,1,eFxxxaxx，则()ln120,Fxxax从而()Fx在[1,3]上单调递增，所以，()Fx在[1,e]上无极值点．（ii）当10ea，即1ea时，()0tx，于是2()ln,1,eFxaxxxx，则()2ln1Fxaxx,12Fxax，因为11[,1]ex，①当21a，即12a时，()0Fx，故()Fx在[1,e]单调递增，又因为(1)210Fa，故()Fx在[1,e]上单调递增，所以，()Fx在[1,e]上无极值点．②当1e12a时，由1()20Fxax得12exa，于是()Fx在1[1,]2a单调递减，在1[,e]2a单调递增．又因为(1)210,(e)220eFaFa,故01,ex使得0()0Fx，因此，()Fx在0(1,)x上单调递减，在0(,e]x上单调递增，所以，()Fx在[1,e]上有一个极小值点．……10分（iii）当1ea时，e2()ln1xxxF，由21(0e)Fxx得e2x，于是()Fx在e[1,]2上单调递减，在e[,e]2上单调递增，又2(1)10,e(e)0FF，从而0Fx在[1,e]上恒成立，要进“5000G网课视频共享群”的到自助QQ：763491846的空间日志里查看（空间里有全部学科的资料群）参考答案及评分标准（第5页共5页）所以，()Fx在[1,e]上无极值点．（iv）当10ea时，因为()tx在[1,e]单调递增，于是01,ex，使得00lnxax，因此，当0[1,]xx时，()0tx，当0[,e]xx时，()0tx，从而2020ln1,e()lnaxxx,xxFxxxaxxx，于是0021ln,1ln12e,axxxxFxxaxxx，令2()ln,[1,e]kxaxxxx，则()2ln1kxaxx下面证明()0kx，即证ln12ln1,2xaxxax，又2ln1ln()0xxxx，故minln12()exx即证1ea，所以结论成立，即()0kx，注意到0(1,)[1,e]x，故()Fx在0[1,)x单调递减，在0(,e]x单调递增．因此，0x为()Fx的极小值点.……15分综上所述，当10ea或1e12a时，()Fx在1,e上有极小值点．……20分要进“5000G网课视频共享群”的到自助QQ：763491846的空间日志里查看（空间里有全部学科的资料群）

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