《因式分解》全章复习与巩固(提高)知识讲解

《因式分解》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.理解因式分解的意义，了解分解因式与整式乘法的关系；2．掌握提公因式法分解因式，理解添括号法则；3.会用公式法分解因式；4.综合运用因式分解知识解决一些简单的数学问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是，即，而正好是除以m所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.要点三、添括号的法则括号前面是“﹢”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“﹣”号，括到括号里的各项都变号.要点四、公式法1.平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：a2b2abab2.完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即a22abb2ab2，a22abb2ab2.形如a22abb2，a22abb2的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.右边是两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点五、十字相乘法和分组分解法十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.pqc对于二次三项式x2bxc，若存在，则x2bxcxpxqpqb分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点六、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法,添、拆项法等.因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、提公因式法分解因式1、分解因式：(1)2a2bc28ac24abc；(2)m(mn)3m(mn)2m(mn)(mn)．【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 与解析】解：(1)2a2bc28ac24acb2ac(abc4c2b)．m(2)(mn)3m(mn)2m(mn)(mn)m(mn)[(mn)2(mn)(mn)]m(mn)(m22mnn22n)．【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否．２、利用分解因式证明：257512能被120整除．【思路点拨】25＝52，进而把257整理成底数为5的幂的形式，然后提取公因式并整理为含有120的因数即可．【答案与解析】证明：257512＝527512＝514512＝512521＝51224＝511524＝511120∴257512能被120整除．【总结升华】解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有120的因数相乘的形式．类型二、公式法分解因式3、放学时，王老师布置了一道分解因式题：xy24xy24x2y2，小明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的．【思路点拨】把xy、xy分别看做一个整体，再运用完全平方公式解答．【答案与解析】解：把xy、xy看作完全平方式里的a,b；2原式＝xy22xy22xyxy2＝xy2xy＝3yx2．【总结升华】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把xy、xy看作完全平方式里的a,b是解题的关键．举一反三：【变式】下面是某同学对多项式x24x2x24x64进行因式分解的过程．解：设x24xy原式＝y2y64（第一步）＝y28y16（第二步）＝y42（第三步）＝(x24x4)2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（）．A、提取公因式．平方差公式BC、两数和的完全平方公式．两数差的完全平方公式D（2）该同学因式分解的结果是否彻底________．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________.（3）请你模仿以上方法尝试对多项式x22xx22x21进行因式分解．【答案与解析】解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；（2）x24x4还可以分解，分解不彻底；结果为x24.（3）设x22xy．x22xx22x21＝yy21，＝y22y1，2＝y12，＝(x22x1)2，＝x14．111114、计算：(1－)(1－)(1－)…(1－)(1－)223242200422005212006【思路点拨】先把括号里的式子通分，再把分子分解因式，利用乘法约分即可剩下.22005【答案与解析】11111解：(1－)(1－)(1－)…(1－)(1－)2232422004220052221321421200521＝......22324220052120061003＝＝．220052005【总结升华】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，解题的关键是正确运算和分解．举一反三：【变式】设a3212，a5232，…，a2n122n12（n为大于0的自然12n数）．（1）探究a是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数n的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a，a，…，a，…12n这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，a为完全平n方数（不必说明理由）．【答案】解：（1）∵a2n122n124n24n14n24n18n，n又n为非零的自然数，∴a是8的倍数．n这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．n为一个完全平方数的2倍时，a为完全平方数n类型三、十字相乘法和分组分解法分解因式5、分解因式：（1）x222x222（2）x24x2x24x20（3）4a24abb26a3b4【答案与解析】解：（1）原式x222x221x2x2x1x1（2）原式＝x24x2(x24x)20x24x5x24x4x5x1x22（3）原式＝2ab232ab42ab42ab1【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题.举一反三：【变式】下列何者是22x783x621x5的因式？（）A．2x＋3．x2(11Bx7)．x5C11x3．x6D2x7【答案】C；解：22x783x621x5x522x283x21x511x32x7，则x2(11x7)是多项式的一个因式．6、已知长方形周长为300厘米，两邻边分别为x厘米、y厘米，且x3x2y4xy24y3＝0，求长方形的面积．【思路点拨】把x3x2y4xy24y3＝0化简成xyx2yx2y，可得x2y，x2y由题意可得xy150，解方程组即可.xy150【答案与解析】解：∵x3x2y4xy24y3＝0∴x2xy4y2xy＝0∵xyx2yx2y＝0∴x2y，xy，x2y（不合题意，舍去）又由题意可得xy150x2y解方程组xy150解之得，x＝100，y＝50∴长方形的面积＝100×50＝5000平方厘米．【总结升华】本题是因式分解在学科内的综合运用，主要考查了分组分解法，提取公因式法和运用平方差公式法．举一反三：【变式】因式分解：14x24y28xy，正确的分组是（）A．(14x2)(8xy4y2)．(1B4x24y2)8xyC．(18xy)(4x24y2)．1D(4x24y28xy)【答案】D；当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中4x24y28xy正好符合完全平方公式，应考虑2，3，4项为一组．