正方形上的追及问
题
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-2019年文档资料正方形上的追及问题正方形,我们最熟悉的一种基本的几何图形,关于正方形的题目也层出不穷,但是你见过正方形上的追及问题吗?接下来,就让我们一起探讨一下吧。例1:如图1,正方形ABCD的周长为40米,甲、乙二人分别从A、B同时出发,沿正方形的边行走,甲沿逆时针每分钟行55米,乙按顺时针每分钟行30米。问出发___________分钟时,甲、乙二人第一次在正方形的顶点处相遇。
分析
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:我们不妨设在相遇的时候甲行走的路程为S甲=40k1+m(米)(其中k1
表
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示甲行走的总圈数,k1≥0且为整数);乙行走的路程为S乙=40k2+n(米)(其中k2表示乙行走的总圈数,k2≥0且为整数)。则S甲+S乙=(40k1+m)+(40k2+n),因为甲、乙二人出发时相距10米,且相向行走,故m+n=10,即S甲+S乙=40k+10(其中k≥0且为整数,k表示两人合计行走的总圈数)。
方法
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二:解:不妨设正方形ABCD边长为5个单位,因为v乙=4v甲,甲、乙两点出发时相距10个单位,所以当甲点行走2个单位时第一次与乙点在AD边上相遇(距离A点2个单位);此后甲每行走4个单位与乙点相遇一次,相遇的地点分别为边DC、点C、边CB、边BA、边AD(距离A点2个单位)……即每相遇6次重复一轮,而2013=335×6+3,所以第2013次甲、乙两点相遇时在C点。例3:如图3,甲、乙两人沿着边长为90米的正方形,按A?邛B?邛C?邛D?邛A……的方向,甲从A以65米/分的速度行走,乙从B以72米/分的速度行走,当乙第一次追上甲时在正方形的()。A.AB边长B.DA边上C.BC边上D.CD边上分析:甲、乙两人出发时相距90米,且同向行走,当乙第一次追上甲时,S乙-S甲=3×90=270。正方形上的追及问题其实只是行程问题中的一种,我们在处理这类问题时,要弄清楚动点的行走方向是同向还是相向,再抓住相遇时路程和与正方形周长这一关系巧妙处理。对于一些特殊的速度关系,可分别求出前几次相遇的地点,通过发现其中所隐含的规律来解决问题,这一点对于解答填空和选择题型尤其方便。