理论力学静力学部分第十一章动量矩定理

第十一章动量矩定理哈尔滨工业大学（威海）土木工程系动力学第十一章动量矩定理本章我们将要学习的内容动量矩的概念AngularMomentum转动惯量MassmomentofInertia动量矩定理TheoremofAngularMomentum质点系相对于质心的动量矩定理TheoremofAngularMomentumforparticlesystemaboutbarycenter刚体平面运动微分方程DifferentialEquationofPlaneMotion第十一章动量矩定理均质对称圆盘绕质心转动其动量：质点系的动量不能描述质点系相对于质心的运动状态，动量定理也不能阐明这种运动的规律，而必须用其它理论来解决这个问题。第十一章动量矩定理PARTA动量矩的概念PartA动量矩1.质点对固定点的动量矩定义设质点M的质量为m,某瞬时速度为v,质点相对于固定点O的矢径为r,则质点对于固定点的动量矩定义为:质点M的动量对于O点的矩,称为质点对于O点的动量矩。PartA动量矩2.质点对固定轴的动量矩质点对固定轴的动量矩定义为：质点动量mv在Oxy平面内的投影(mv)xy对于点O的矩。对于固定轴z的动量矩是代数量，其正负号的规定按照右手定则确定。（类似于空间力对轴的矩的正负号规定）单位:kg·m2/s定义PartA动量矩3.质点系的动量矩质点系中各质点对定点O的动量矩的矢量和称为质点系对固定点O的动量矩。质点系对固定轴z的动量矩根据前面的关系，容易得到PartA动量矩4.刚体的动量矩平移刚体对定点的动量矩:刚体平移时，可将刚体视为一个全部质量集中于质心的质点来计算其动量矩。平移刚体对定轴的动量矩:PartA动量矩4.刚体的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩:引入:则:MassmomentofInertia转动惯量定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。PartA动量矩4.刚体的动量矩刚体一般平面运动对定轴的动量矩*运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。第十一章动量矩定理PARTB转动惯量PartB转动惯量1.定义转动惯量r:微质量dm到a轴的垂直距离单位:kg·m2质量连续分布的情况：PartB转动惯量1.定义转动惯量是正标量，其大小不仅与刚体质量大小和质量的分布情况有关，还与对应的a轴的位置有关。转动惯量是刚体定轴转动时惯性的量度。PartB转动惯量2.回转半径引入回转半径转动惯量对于均质刚体，回转半径仅与几何形状有关，与密度无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。PartB转动惯量3.平行移轴公式如图所示两个平行轴，其中一轴通过刚体质心，另一轴为与质心轴平行的任意轴。若d为两平行轴的垂直距离，则有:刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。PartB转动惯量3.平行移轴公式证明PartB转动惯量讨论如图所示，刚体的质量为m，对z1轴的转动惯量为J,求对z2.轴的转动惯量。×PartB转动惯量4.规则均质刚体的转动惯量参考教材PartB转动惯量例题1如图所示均质圆盘的质量为m(灰色部分的质量),半径为R,中间被挖去半径为r的一个圆形部分，r=R/3，求该盘对A轴的转动惯量。PartB转动惯量[解]PartB转动惯量例题2直杆的质量:m1均质圆盘质量:m2在某瞬时角速度等于w,计算系统对垂直于平面且通过O点的轴的动量矩。PartB转动惯量[解]注意平行移轴公式在本例中的应用第十一章动量矩定理PARTC动量矩定理PartC动量矩定理1.质点的动量矩定理由于：并且根据动量定理:则可得：向三个坐标轴投影PartC动量矩定理1.质点的动量矩定理质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。PartC动量矩定理2.质点的动量矩守恒若　称为质点的动量矩守恒.则为常矢量根据动量矩定理　为常数PartC动量矩定理例题3求单摆的运动方程，球A的质量为mPartC动量矩定理[解]根据质点的动量矩定理若j0,sinjjPartC动量矩定理[解]边界条件PartC动量矩定理3.质点系的动量矩定理质点系中一个质点的动量矩定理:对于整个质点系:由于得到：向直角坐标系的三个坐标轴进行投影PartC动量矩定理4.质点系的动量矩守恒定理若　称为质点系的动量矩守恒则有常矢量根据　常量PartC动量矩定理例题4轮子的质量为:M重物A和B的质量分别为:m1m2设m1>m2绳子无滑动。计算重物A的加速度PartC动量矩定理[解]分析作用在系统上的力以及各个运动量计算系统对垂直于平面通过点O的轴的动量矩轮子:物块A:物块B:整个系统:PartC动量矩定理[解]PartC动量矩定理例题5如图所示卷扬机鼓轮为均质圆盘，重为W1，半径为R，小车总重为W2，作用于鼓轮上的力矩为M，轨道的倾角为q，绳的重量及摩擦均忽略不计，求小车上升的加速度。PartC动量矩定理【解】选小车和鼓轮组成的质点系为对象，进行受力分析设某瞬时小车的速度为v，则鼓轮的角速度为质点系对轴Oz的动量矩为所有外力对轴Oz的矩为PartC动量矩定理【解】由于：则有：根据动量矩定理：解得：当小车向上加速上升PartC动量矩定理应用质点系动量定理求解的基本步骤1、取研究对象，常取整个系统为研究的质点系。2、进行受力分析，作受力图，只需分析外力；3、进行运动分析。4、根据受力和运动分析结果，列写方程，特别注意动量矩和力矩正向规定要统一。5、由运动学知识，给出相关运动量之间关系，求解。PartC动量矩定理5.刚体定轴转动微分方程转动惯量是刚体转动时惯性的度量.刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积等于作用于刚体的主动力对该轴之矩的代数和。PartC动量矩定理例题6PhysicalPendulum(复摆)摆的质量:m摆的质心位置:C摆对悬挂点的转动惯量JO求摆微幅摆动的周期TPartC动量矩定理[解]分析作用在刚体上的力根据刚体定轴转动微分方程若j较小(小于5度)…PartC动量矩定理[解]注意,若已知JC则有JO=JC+ma2利用本例，可以通过测出零部件的摆动周期，再求出它的转动惯量。PartC动量矩定理PartC动量矩定理PartC动量矩定理系统重心越高，则系统对地面支点的转动惯量越大，可以知道，转动惯量的大小与重心对地面高度的平方成正比而人体在失衡倾斜一个小的角度时，使人体旋转的重力矩也增加了，在倾斜角度相同时，重重力矩的大小与重心的高度成正比，于是，重心越高，重力矩产生的角加速度越小，产生同样倾斜角度所用的时间越长，人体就越有时间通过肢体运动调整自己重心的位置，处于动态平衡状态一个明显的事实是，可以轻易地顶一个鸡毛箪子在鼻尖上，使它处于动态平衡不倒下来，但却不容易顶一支铅笔在鼻尖上，使它不倒下来。PartC动量矩定理例题7均质杆OA长l,质量为m,其O端用铰链支承，A端用细绳悬挂，如图所示。试求将细绳突然剪断的瞬时，铰链O处的约束反力。PartC动量矩定理[解]分析作用在杆上的力及其运动量:在剪断绳子的瞬时PartC动量矩定理[解]根据质心运动定理得到PartC动量矩定理1、解题步骤同质点系动量矩定理。2、研究对象仅包含一个定轴转动刚体。3、动量矩（转角、角速度、角加速度）和力矩正向规定要统一。刚体定轴转动微分方程应用说明：第十一章动量矩定理PARTD质点系相对于质心的动量矩定理*PartD质点系相对于质心的动量矩定理1质点系对于任一固定点的动量矩即对定轴的动量矩：PartD质点系相对于质心的动量矩定理1质点系对于任一固定点的动量矩即对定轴的动量矩：PartD质点系相对于质心的动量矩定理例题8*曲柄以匀角速度w绕O轴转动，通过连杆AB带动滑块A和B分别在垂直和水平滑道中运动。如图所示，已知OC=AC=BC=l,曲柄质量为m,连杆质量为2m,试求系统在图示位置时对O轴的动量矩PartD质点系相对于质心的动量矩定理[解]PartD质点系相对于质心的动量矩定理2相对质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理：质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。质点系相对于质心的动量矩定理PartD质点系相对于质心的动量矩定理2相对质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心轴的动量矩定理质点系相对于质心（轴）的动量矩守恒：若则若则PartD质点系相对于质心的动量矩定理PartD质点系相对于质心的动量矩定理PartD质点系相对于质心的动量矩定理航天员在太空中如何控制身体的姿态？PartD质点系相对于质心的动量矩定理航天员在太空中如何控制身体的姿态？载人飞船中的宇航员在地球引力作用下绕地球沿椭圆轨道运动。但是在飞船坐标系中看来，他处于失重状态，并在飞船中漂浮，因而相对质心的动量矩守恒。第十一章动量矩定理PARTE刚体平面运动微分方程PartE刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程设刚体在力F1,F2,….Fn作用下作平面运动，由运动学可知，刚体的平面运动可分解为两种基本运动：1固连在质心C上的动坐标系x’Cy’的平移;2绕质心C的转动.PartE刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程刚体相对于质心C的动量矩为：根据质心运动定理和相对于质心的动量矩定理有PartE刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程将上两式投影至直角坐标系，有：PartE刚体平面运动微分方程例题9如图所示质量m的圆柱体放在斜面上，接触面的静滑动摩擦因数为m,计算若圆柱体只滚不滑情况下斜面角度q的最大值。PartE刚体平面运动微分方程[解]分析圆柱体上的力及圆柱体的运动量，如图所示只滚不滑情况下根据刚体平面运动微分方程由于:即:则有:PartE刚体平面运动微分方程[解]当摩擦力FS达到mFN,圆柱体将发生滑动,根据前面的计算结果:PartE刚体平面运动微分方程例题10均质圆柱体至于桌面边缘，处于静止平衡状态，若对其产生一个小挠动，则其将绕点A旋转。计算当圆柱体离开桌面时的角度q.静滑动摩擦因数0.4PartE刚体平面运动微分方程[解]分析存在两种可能性1.静摩擦力足够大，圆柱体纯滚动离开桌面；2.当qqmax,圆柱体滚动并滑动离开桌面。PartE刚体平面运动微分方程[解]分析作用在圆柱体上的力以及圆柱体的运动量PartE刚体平面运动微分方程[解]积分:PartE刚体平面运动微分方程[解]1若摩擦力足够大:当圆柱体离开桌面:PartE刚体平面运动微分方程[解]2若摩擦力并不足够大，则有比较上述两种结果，我们得到:课后作业11.12第十一章动量矩定理本章结束第十一章动量矩定理