PAGEPAGE1江苏省2007高三数学模拟试卷一、选择题：（每小题5分，共50分）1．已知集合P={x|x=n，n∈Z}，Q={x|Z}，R={x|Z}，则下列正确的是()A．PB．RC．Q=P∪RD．Q=P∩R2．已知函数，若，则（）A．aB．－bC．D．3．将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交成60°角D．异面且成60°角4．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种
方案
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，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，165；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270．关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A．②、③都不能为系统抽样B．②、④都不能为分层抽样C．①、④都可能为系统抽样D．①、③都可能为分层抽样5．在下面的叙述中正确的是（）A．命题“若，则或”是真命题B．命题“若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除”的否命题是：若一个整数的末位数字是0，则这个整数不能被5整除C．“p且q”为假是“p或q”为假的充分不必要条件D．若命题r是“2和3都是质数”，则命题非r是：2和3都不是质数6．函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（）A．有最小值B．有最大值C．是减函数D．是增函数7．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第n行中从左到右第14与第15个数之比为2∶3，则n等于（）A．28B．34C．30D．248．一条河宽为d，水流速度为，一船从岸边A处出发，垂直河岸线航行到河的正对岸B处，船速为，则船在航行过程中，船的实际航行速度大小为（ ）A． B． C．D．9．椭圆＝1（a>b>0）的内接矩形面积的最大值为a2，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．f(x)是定义在区间[－c，c]上的奇函数，其图象如图所示：令g(x)＝af(x)＋b，则下列关于函数g(x)的叙述正确的是（）A．若a＝－1，b＝2，则函数图象关于（0，－2）对称B．若a＝1，―2
说明
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理由．18．（本小题满分12分）如图，ABCD是块边长为4km的正方形地域，地域内有一条河流MD，其河流经过路线是以AB中点M为顶点且开口向右的抛物线（河流宽度忽略不计），龙城公司准备投资兴建一个大型矩形游乐园PQCN，其中点P在抛物线DM上，问如何施工才能使游乐园占地面积最大？并求出最大面积．19．（本小题满分14分）如图，圆锥SO的轴截面（过轴SO的截面叫做轴截面）为等腰直角三角形SAB，Q为底面圆周上异于A、B的一点．（1）设C为BQ上的一点，当为何值时，平面SOC⊥平面SBQ？请给出证明；（2）若二面角S-BQ-A的大小为60°，求∠AOQ的大小；（3）若∠AOQ＝60°，QB＝2，求点O到平面SBQ的距离．20．（本小题满分14分）在面积为18的△ABC中，AB＝5，双曲线E过点A，且以B、C为焦点，已知eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝27，eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝54．（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；（2）是否存在过点D(1，1)的直线L，使L与双曲线E交于不同的两点M、N，且eq\o(DM,\s\up6(→))＋eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\o(0,\s\up6(→))，如果存在，求出L的方程；如果不存在，说明理由．21．（本小题满分16分）已知，点在函数的图象上，其中（1）证明数列是等比数列；（2）设，求及数列的通项；（3）记，求数列的前项，并证明．江苏省常州高级中学2007高三数学模拟试卷
答案
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一、选择题：（每小题5分，共50分）题号12345678910答案CBDDADBCDC二、填空题：（每小题5分，共30分）11．712．13．14．15．16．①②③④三、解答题：（共70分）17．（1）………………2分02020-2-0……………………………………………………………………………………………4分（2），………………2分时，，，满足条件；…3分时，，，不满足条件；…3分18．y=时，19．（1）当=1时，平面SOC⊥平面SBQ。…………………………………6分（2）；…………………………………4分（3）…………………………………4分20．解：(1)如图，以BC所在直线为x轴，BC中点O为原点，设∠BAC＝α，∠ACB＝β，∴|AB|＝5，设|AC|＝m，|BC|＝n．ABOCmxy)α(β由eq\b\lc\{(\a\al(eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝27,S△ABC＝18))eq\b\lc\{(\a\al(5mcosα＝27,\f(1,2)·5msinα＝18))m＝9．由eq\b\lc\{(\a\al(eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝54,\f(1,2)mnsinβ＝18))eq\b\lc\{(\a\al(mncosβ＝54,mnsinβ＝36,m＝9))n＝2eq\r(13)．设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，则eq\b\lc\{(\a\al(2a＝4,2c＝2eq\r(13)))得eq\f(x2,4)－eq\f(y2,9)＝1．………………………6分(2)设存在适合条件的直线L，交双曲线于M(x，y)，N(x2，y2)(x1≠x2)．由eq\o(DM,\s\up6(→))＋eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\o(0,\s\up6(→))，得D为MN中点，∴eq\b\lc\{(\a\al(x1＋x2＝2,y1＋y2＝2))由eq\b\lc\{(\a\al(9xeq\s(2,1)－4yeq\s(2,1)＝36,9xeq\s(2,2)－4yeq\s(2,2)＝36))相减得：eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(9,4)．∴L方程为9x－4y－5＝0．代入9x2－4y2＝36得45x2－90x＋169＝0．∵△＜0，∴不存在适合条件的直线L．…………………………………8分21．解：（Ⅰ）由已知，，两边取对数得，即是公比为2的等比数列.…………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知（*）=由（*）式得…………………………………4分（Ⅲ）又,………………………6分又.…………………………………2分
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