2021-2022年高三数学上学期四调考试试题 文（含解析）

可编辑修改可编辑修改精选文档精选文档可编辑修改精选文档2019-2020年高三数学上学期四调考试试题文（含解析）【试卷综述】突出考查数学主干知识 试卷长度、题型比例配置与《考试说明》一致，全卷重点考查中学数学主干知识和方法；侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。全面考查了考试说明中要求的内容，在全面考查的前提下，高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向.本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间为120分钟。第I卷（选择题共60分）【题文】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1．设集合的范围是【 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 】集合A1【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】【解析】B解析：由子集的概念可知，故选B【思路点拨】根据子集的概念可知集合中元素的取值范围.【题文】2．已知空间直线L不在平面a内，则“直线L上有两个点到平面口的距离相等”是的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【知识点】充分条件与必要条件A2【答案】【解析】B解析：直线不在平面内分为直线与平面平行与相交两种情况，有两个点到平面的距离相等，则直线与平面也是平行或相交，所是是，必要不充分条件.B为正确选项.【思路点拨】根据条件与结论之间的关系可知正确结果.【题文】3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为C．200D．240【知识点】三视图G2【答案】【解析】C解析：由三视图可知几何体为底面是等腰梯形的四棱柱，所以它的体积为，所以正确选项为C.【思路点拨】由三视图可知几何体的形状，再根据几何体的直观图求出体积.【题文】4．已知函数，则下列结论中正确的是可编辑修改可编辑修改精选文档精选文档可编辑修改精选文档A．函数的最小正周期为B．函数的最大值为1C．将函数的图像向右平移的图像D．将函数的图像向左平移的图像【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换C4【答案】【解析】C解析：∵，∴f（x）=cosx，g（x）=sinx∴f（x）g（x）=sinxcosx=sin2x，T=，排除A，，排除B；将f（x）的图象向左平移个单位后得到y=cos（x+）=﹣sinx≠g（x），排除D；将f（x）的图象向右平移个单位后得到y=cos（x﹣）=sinx=g（x），故选C．【思路点拨】先将函数f（x），g（x）根据诱导公式进行化简，再求出f（x）g（x）的解析式，进而得到f（x）g（x）的最小正周期和最大值可排除A，B；再依据三角函数平移变换法则对C，D进行验证即可．【题文】5．直线分割成的两段圆弧长之比为A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4【知识点】直线与圆H4【答案】【解析】B解析：因为圆心到直线的距离为，所以劣弧所对的圆心角为，优弧所对的圆心角为，所以两段的弧长之比与圆心角之比相等为，所以B正确.【思路点拨】根据直线与圆的位置关系可求出圆心角的大小.【题文】6．已知的最小值是A．4B．3C．2D．1【知识点】基本不等式E6【答案】【解析】A解析：因为由对数的运算可知，所以，能取等号，所以A正确.【思路点拨】根据对数的运算求出x,y的关系，再根据基本不等式求出最小值.【题文】7．椭圆的一个焦点为F1若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF，相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质H5【答案】【解析】D解析：设线段PF的中点为M，另一个焦点F′，由题意知，OM=b，又OM是△FPF′的中位线，∴OM=PF′=b，PF′=2b，由椭圆的定义知PF=2a﹣PF′=2a﹣2b，又MF=PF=（2a﹣2b）=a﹣b，又OF=c，直角三角形OMF中，由勾股定理得：（a﹣b）2+b2=c2，又a2﹣b2=c2，可得2a=3b，故有4a2=9b2=9（a2﹣c2），由此可求得离心率e==，故选：D．【思路点拨】设线段PF的中点为M，另一个焦点F′，利用OM是△FPF′的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形OMF的三边之长，使用勾股定理求离心率可编辑修改可编辑修改精选文档精选文档可编辑修改精选文档【题文】8．已知等差数列项和为时为递增数列，则实数的取值范围为【知识点】数列的函数特性D1【答案】【解析】D解析：∵an=2n+λ，∴a1=2+λ，∴Sn===n2+（λ+1）n，又因为n∈N由二次函数的性质和n∈N可知＜7.5即可满足数列{Sn}为递增数列，解不等式可得λ＞﹣16故选：D【思路点拨】Sn==n2+（λ+1）n，利用函数的单调性，列不等式即可求解．【题文】9．已知双曲线的一条渐近线与函数的图像相切，则双曲线的离心率等于【知识点】双曲线的简单性质H6【答案】【解析】D解析：设切点（m，n），则n=m，n=1+lnm+ln2，∵y=1+lnx+ln2，∴y′=，∴=，∴n=1，m=，∴=2，∴e===．故选：D．【思路点拨】设切点（m，n），则n=m，n=1+lnm+ln2，求导数，利用渐近线与函数y=1+lnx+ln2的图象相切，求出=2，即可求出双曲线Γ的离心率．【题文】10．已知实数x、y满足不等式组的取值范围是【知识点】简单的线性规则E5【答案】【解析】B解析：作出不等式组对应的可行域如图，为三角形AOB及其内部．其中B（1，0），A（0，2）作直线：ax+by=0∵a＞0，b＞0，∴直线ax+by=0经过2，4象限，那么z=ax+by最优解为B（1，0）或A（0，2）∵ax+by≤1∴将B（1，0）代入，a≤1，即A（0，2）代入得2b≤1，b≤∴0＜a+b≤,即a+b的取值范围是（0，]，故选：B．可编辑修改可编辑修改精选文档精选文档可编辑修改精选文档【思路点拨】画出不等式组 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的平面区域，判断出区域的形状，求出a，b的范围，进一步求出a+b的范围．【题文】11．抛物线的焦点为F，M足抛物线C上的点，若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为的值为A．2B．4C．6D．8【知识点】抛物线的简单性质H7【答案】【解析】D解析：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=6，∴p=8，故选：D．【思路点拨】根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值【题文】12．定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则【知识点】导数的运算B11【答案】【解析】A解析：因为x∈（0，），所以sinx＞0，cosx＞0．由f（x）＜tanx，得f（x）cosx＜sinx．即sinx﹣f（x）cosx＞0．令g（x）=x∈（0，），则．所以函数g（x）=在x∈（0，）上为增函数，则，即，所以，即．故选A．【思路点拨】把给出的等式变形得到f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0，由此联想构造辅助函数g（x）=，由其导函数的符号得到其在（0，）上为增函数，则，整理后即可得到答案．第Ⅱ卷（非选择题共90分）【题文】二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）可编辑修改可编辑修改精选文档精选文档可编辑修改精选文档【题文】13．函数的所有零点之和为____．【知识点】函数的零点B9【答案】【解析】4解析：由题意可知函数的零点就是的根，由图像可知是周期为2的函数，与交点有四个，根据周期性可知四个根的和为4.【思路点拨】根据函数的图象可得到交点的性质.【题文】14．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性，比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0．6180339887．人们称该数列为“斐波那契数列”，若把该数列的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列，在数列中第xx项的值是。【知识点】数列的性质D1【答案】【解析】3解析：1,1,2,3,5,8,,13除以4得的余数分别为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，即新数列是周期为6的周期数列，所以第xx项的值是3.【思路点拨】根据数列的性质，可找出新数列的特点.【题文】15．如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴正半轴上移动，则的最大值是。【知识点】向量在几何中的应用F3【答案】【解析】2解析：如图令∠OAD=θ，由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ，如图∠BAX=﹣θ，AB=1，故xB=cosθ+cos（﹣θ）=cosθ+sinθ，yB=sin（﹣θ）=cosθ故=（cosθ+sinθ，cosθ）同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即=（sinθ，cosθ+sinθ），∴=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，的最大值是2故答案是2【思路点拨】令∠OAD=θ，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可【题文】16．方程的曲线即为函数的图像，对于函数，下列命题中正确的是．（请写出所有正确命题的序号）①函数在R上是单调递减函数；②函数的值域是R；③函数的图像不经过第一象限5④函数的图像关于直线对称5⑤函数至少存在一个零点．【知识点】命题的真假判断与应用A2【答案】【解析】①②③解析：不妨取λ=﹣1，对于①，当x≥0且y≥0时，方程为，此时方程不成立．当x＜0且y＜0时，方程为，此时y=﹣3．当x≥0且y＜0时，方程为，此时y=﹣3．当x＜0且y≥0时，方程为﹣，即y=3．因此作出函数的图象，如图所示可编辑修改可编辑修改精选文档精选文档可编辑修改精选文档由图象可知函数在R上单调递减，所以①②③成立，④不正确．⑤由F（x）=4f（x）+3x=0得f（x）=﹣．因为双曲线和﹣的渐近线为y=±，所以函数y=f（x）与直线y=﹣无公共点，因此F（x）=4f（x）+3x不存在零点，可得⑤不正确．故答案为：①②③．【思路点拨】不妨取λ=﹣1，根据x、y的正负去绝对值，将方程化简，得到相应函数在各个区间上的表达式，由此作出函数的图象，再由图象可知函数在R上单调递减，且函数的值域为R，所以①②③成立，④不正确．⑤由F（x）=4f（x）+3x=0得f（x）=﹣．因为双曲线和﹣的渐近线为y=±，即可得出结论．【题文】三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【题文】17．（本小题满分12分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为ab，b,c，且（1）求角A的值；（2）若角的面积．【知识点】正弦定理C8【答案】【解析】(1)(2)解析：（1）∵．∴由正弦定理，得，化简得cosA=，∴A=；（2）∵∠B=，∴C=π﹣A﹣B=，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC•MCcos120°，即7=，解得b=2，∴△ABC的面积S=b2sinC==．【思路点拨】（1）利用正弦定理化边为角可求得cosA=，从而可得A；（2）易求角C，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中利用余弦定理可求b，再由三角形面积公式可求结果；【题文】18．（本小题满分12分）数列的前n项和为，且，数列为等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）若对任意的恒成立，求实数k的取值范围．【知识点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式D2D3D4【答案】【解析】(1)(2)解析：（1）由an+1=2Sn+1①得an=2Sn﹣1+1②，①﹣②得an+1﹣an=2（Sn﹣Sn﹣1），∴an+1=3an（n≥2）又a2=3，a1=1也满足上式，∴an=3n﹣1；（3分）b5﹣b3=2d=6∴d=3∴bn=3+（n﹣3）×3=3n﹣6；（6分）（2），∴对n∈N*恒成立，∴对n∈N*恒成立，（8分）令，，当n≤3时，cn＞cn﹣1，当n≥4时，cn＜cn﹣1，（10分），所以实数k的取值范围是（12分）【思路点拨】（1）仿写一个等式，两式相减得到数列{an}的递推关系，判断出数列{an}是等比数列；利用等差数列及等比数列的通项公式分别求出数列{an}，{bn}的通项公式．（2）利用等比数列的前n项和公式求出Sn，分离出参数k，构造新数列{cn}，利用后一项减去前一项，判断出数列{cn}的单调性，求出它的最大值，求出k的范围．【题文】19．（本小题满分12分）可编辑修改可编辑修改精选文档精选文档可编辑修改精选文档如图，正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1．（1）求证：AlC∥平面AB1D；（2）求点C到平面AB1D的距离．【知识点】直线与平面平行；点到平面的距离G4G11【答案】【解析】(1)略（2）解析：（1）取C1B1的中点E，连接A1E，ED，则B1E∥DC，B1E=DC∴四边形B1DCE为平行四边形，于是有B1D∥EC，又A1E∥AD，B1D∩AD=D，A1E∩EC=E，∴平面A1EC∥平面AB1D，A1C⊂平面A1EC，∴A1C∥平面AB1D．（2）由三棱柱为正三棱柱【思路点拨】（1）依题意，取C1B1的中点E，连接A1E，ED，易证平面A1EC∥平面AB1D，利用面面平行的性质即可证得A1C∥平面AB1D(2)由等体积法可求出距离.【题文】20．（本小题满分12分）设函数（1）若函数只有一个零点，求m的取值范围；（2）若对任意恒成立，求m的取值范围．【知识点】函数零点的判定定理；函数恒成立问题B9【答案】【解析】(1)m＜﹣，或m＞(2)m＞．解析：（1）∵函数f（x）=lnx+，∴g（x）=f′（x）﹣=﹣﹣=，若g（x）只有一个零点，则h（x）=﹣x3+3x﹣3m只有一个零点，∵h′（x）=﹣3x2+3=0时，x=±1，故当x=﹣1时，h（x）取极小值﹣3m﹣2，当x=1时，h（x）取极大值﹣3m+2，若h（x）=﹣x3+3x﹣3m只有一个零点，则﹣3m﹣2＞0，或﹣3m+2＜0，解得：m＜﹣，或m＞（2）若对于任意b＞a＞0，＜1恒成立，可编辑修改可编辑修改精选文档精选文档可编辑修改精选文档则f′（x）=﹣=＜1在（0，+∞）上恒成立，即x2﹣x+m＞0在（0，+∞）上恒成立，由y=x2﹣x+m的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，故＞0，解得：m＞．【思路点拨】（1）由函数f（x）=lnx+，求出函数g（x）=f′（x）﹣的解析式，进而根据函数g（x）=f′（x）﹣只有一个零点，求得m的取值范围；（2）若对于任意b＞a＞0，＜1恒成立，则f′（x）=﹣=＜1在（0，+∞）上恒成立，即x2﹣x+m＞0在（0，+∞）上恒成立，结合二次函数的图象和性质，可得m的取值范围．【题文】21．（本小题满分12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F（l，0），点P是点F关于y轴的对称点，过点P的直线交抛物线于A，B两点．（1）试问在x轴上是否存在不同于点P的一点T，使得TA，TB与z轴所在的直线所成的锐角相等，若存在，求出定点T的坐标，若不存在，说明理由；（2）若△AOB的面积为的夹角，【知识点】直线与圆锥曲线H8【答案】【解析】(1)存在T（1，0）(2)解析：（1）由题意知：抛物线方程为：y2=4x且P（﹣1，0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程为x=my﹣1，代入y2=4x得y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16＞0，得m2＞1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）假设存在T（a，0）满足题意，则kAT+kBT====0．∴8m﹣4m（1+a）=0，∴a=1，∴存在T（1，0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）S△ABC=|OF||y1﹣y2|=|y1﹣y2|=∴|y1﹣y2|=5﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，∠AOB=θkOA====tanα，kOB==tanβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）设θ=|α﹣β|，∴tanθ=|tan（α﹣β）|=||=||==1∴﹣﹣【思路点拨】（1）由题意知：抛物线方程为：y2=4x且P（﹣1，0）．设直线l的方程为x=my﹣1，将抛物线C的方程y2=4x与直线l的方程联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理求得kAT+kBT，设点T（t，0）存在，由TA，TB与x轴所成的锐角相等可得kTA+kTB=0，利用韦达定理，即可求得a=1．（2）根据三角形的面积公式得S△ABC=|OF||y1﹣y2|=|y1﹣y2|=，从而有|y1﹣y2|=5，再设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，∠AOB=θ，利用斜率公式得出kOA和kOB，设θ=|α﹣β|，再利用夹角公式，即可求出答案．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号。【题文】22．（本小题满分10分）如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE=DC·AF，B、E、F、C四点共圆．（1）证明：CA是△BC外接圆的直径；（2）若DB=BE=EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．可编辑修改可编辑修改精选文档精选文档可编辑修改精选文档【知识点】与圆有关的比例线段N1【答案】【解析】(1)略(2)解析：（1）证明：∵BC•AE=DC•AF，∴…（1分）又DC为圆的切线∴∠DCB=∠EAF…（2分）∴△AFE∽△CBD…（3分）∴∠AFE=∠CBD…（4分）又B，E，F，C四点共圆∴∠AFE=∠CBE…（5分）∴∠CBD=∠CBE=90°∴CA是△ABC外接圆的直径…（6分）（Ⅱ）解：连结CE，∵∠CBE=90°∴CE为B，E，F，C所共圆的直径…（7分）∵DB=BE，且BC⊥DE∴CD=CE…（8分）∵DC为圆的切线，AC为该圆的直径∴AC⊥DC…（9分）设DB=BE=EA=a，在Rt△ACD中，CD2=BD•DA=3a2，AC2=AB•AD=6a2，∴，即，∴，∴过B、E、F、C四点的圆的半径与△ABC外接圆半径的比值为．面积比为半径比的平方【思路点拨】（1）由已知条件得△AFE∽△CBD，从而∠AFE=∠CBD，又B，E，F，C四点共圆，得∠CBD=∠CBE=90°，由此能证明CA是△ABC外接圆的直径．（Ⅱ）连结CE，由CE为B，E，F，C所共圆的直径，得CD=CE，由切线性质得AC⊥DC，由此能求出过B、E、F、C四点的圆的半径与△ABC外接圆半径的比值【题文】23．（本小题满分10分）已知函数．（1）当（2）若的取值范围．【知识点】绝对值不等式N4【答案】【解析】（1）（2）解析：(1)时，不等式为，当时，不等式为，当时，不等式化为，不等式必成立，综上，不等式的解集为.(2)当时，，由此得，当时，的最小值为7，所以a的取值范围是【思路点拨】由绝对值不等式可直接求解，注意不等式中等号成立的条件即可..