VO1．1l，No．5Sep．，2008高等数学研究STUDIESINC0LLEGEMATHEMATICS31柯西中值定理的几何解释一王树勋叶正麟。(1．陕西理工学院数学系陕西汉中723001；2．西北工业大学理学院西安710072)摘要利用向量函数和行列式的概念．简洁地给出了柯西中值定理的几何意义关键词中值定理}几何意义；向量函数；有向面积中图分类号O172．1一元微分学中著名的柯西(Cauchy)中值定理，可以表述为如下形式：定理设二维向量函数r(￡)一((￡)，(￡))在闭区间[n，_上i连续，在开区间(口，6)内可导，则在(口，6)内至少存在一点，使l(n)(6)()II(口)(6)(9I=0(1)l110I其证明只需考虑如下的辅助函数l(口)(6)(￡)Is(￡)=l5fI(口)5f，(6)(￡)I，口≤￡≤b(2)I111l显然S(￡)在[口，6]上连续，在开区间(口，6)内可导，且S(n)一s(6)一0，故由罗尔定理知，至少存在一点{∈(口，6)，使得S()=0．而I(口)(6)()Is(￡)一l妒(口)(6)(￡)lI110I将代人即得证．对此定理作如下几何说明：1．二维向量函数r()的图形是一条平面曲线，由参数方程：J：’。≤≤6所定义，称为lY=()，平面参数曲线．其起点为r(n)，终点为r(6)．它可以是“大挠度”曲线，乃至为闭曲线，与平行于轴的直线可以有不止一个交点，由定理的条件，这是连续曲线，在每个内点处有切向量r(￡)．2．利用三阶行列式的性质，(1)式可改写为二一。㈣I(6)一(口)()l。～此式表明二阶行列式中的二阶列向量r(b)一r(口)=(p(6)一(口)，(6)一(口))与r()一((e)。())线性相关，即平行．前者是平面参数曲线r()两端点连成的弦向量，后者是在点r(O处的曲线的切向量．定理的几何意义是：对于内点处处有切向量的平面连续参数曲线段，必有某内点处的r(b毛)r(f)图1柯西中值定理的几何意义·收稿日期t2007—12—07**基金项目：陕西省教育厅专项科研计划项目(No．07JK2O9)；陕西理工学院科研基金项目(No．SLG0517)维普资讯http://www.cqvip.com32高等数学研究Vo1．1l，No．5Sep．，2008切向量平行于曲线段的两端点弦向量(零向量看作特殊情形)，见图1．3．(2)式所定义的函数s()，在几何上表示以r(n)，r(6)和r(￡)为顶点的三角形(见图1)的有向面1积的2倍．S(e)=0表明有向面积函数去s(￡)的变化率必在某处(￡一e)等于零．换言之，当三角形有向面积函数取极值的点车处，点r()处曲线切向量与两端点弦向量平行，这样的点至少有一个(见图2)．4．在定理的条件中，并不要求在(口，6)内，[9()]。+[(￡)]。≠o(即切向量r(￡)≠o)，比函数形式的柯西中值定理的条件要弱一些．当n=b时，(1)式仍然成立．r(a)图2柯西中值定理的几何解释5．记口一t。。b=t，／Xt—t—t。，=to+OAt，0<0<1，则(3)式可改写为I／Xr(to)r(to+OAt)／XtJ=0如果r(￡。+OA￡)≠0，则存在数，使／Xr(to)一,It(￡。十0／X￡)／Xt，0<0<1或r(￡)：r(to)+2r(t0+0A￡)／Xt，0<0<1(5)式则为相应的二维向量函数的有限增量公式，不过这里的．=【难以确定．参考文献1．同济大学数学教研室主编．高等数学[M](第五版)．北京；高等教育出版社，2002．7．2．吴从圻．关于微分中值定理的一点思考[门．高等数学研究，2004，7(5)：12—13．3．刘三阳，杨国平．关于Lagrange中值定理的反问题[，]．高等数学研究，2007，10(5)：40—41．4．王硕，朱桂龙，焦贤发．关于微分中值定理教学的一点改革[．，]．工科数学，1998，14(3)：155—157．(4)(5)(6)(上接第30页)g(z)在[O，4／'c。]上连续，在(0，4／耳。]上可导，g+(0)不存在，但也不是一。。．然而很容易验证存在0∈(O，4／7c。)，使g(o)一0．定理3若函数，()在区间[口，6]上连续，对任何∈Ca，6]，／一()及／+()存在，并且／+(口)<jf，一(6)，设c为厂+(口)与厂一(6)之间的任意值，则存在o∈(口'6)及非负实数P和q，使一(o)++(o)=c且P+g=1．证明设函数g(z)一()一，则g+(口)=厂+(口)一f<0，g一(6)一一(6)_f>0．g(z)满足定理1的条件，必存在z。∈(n，6)及非负实数和q，使船一(zo)+qg+(zo)’=0且P+g一1．于是，pf一(zo)+十(zo)一C．用类似方法可证明定理4若函数()在区间[口，上连续，对任何∈(口，6]，厂一()及+()存在，并且／+(口)一一。。．设C为小于，一(6)的任意实数，则存在。∈(。，6)及非负实数P和q，使pf一(zo)++(sco)一C且P+口=1．参考文献[13阎庄旭，李少琪，万丽．微分达布(Darboux)定理的几种新证法及其推广[J]．数学的实践与认识，2003，33(11)l142—144．维普资讯http://www.cqvip.com
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