[自然科学]第五章 生物统计学 参数估计

第五章参数估计参数估计是统计推断的另一种方法参数估计是在抽样分布的基础上，依据统计量的分布推断所关心的参数。第五章参数估计5.1参数估计的一般问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 5.2一个总体参数的区间估计5.3两个总体参数的区间估计5.4样本容量的确定5.1参数估计的一般问题1.估计量与估计值2.点估计与区间估计3.评价估计量的标准估计量与估计值估计量：用于估计总体参数的随机变量如样本均值，样本比例、样本方差等例如:样本均值就是总体均值µ的一个估计量设θ为总体X的待估计参数，用样本的一个统计量来估计θ，则称为θ的估计量。估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值x=80，则80就是µ的估计值统计估计的基本过程通过样本获取一些基本的统计量利用这些基本统计量与总体参数之间的联系，（获得统计量的分布）利用有关统计方法，估计总体参数。统计量与总体参数、估计量的区别：总体参数通常是未知的定数，是待估计量；统计量是根据样本计算的函数，通常是随机变量（对于总体而言）；估计量用来对总体参数进行估计的统计量。参数估计的方法矩估计法最大似然法最小二乘法估计方法点估计区间估计点估计与区间估计点估计与区间估计的基本出发点是不同的。点估计主要是想利用统计量来估计总体参数的一个定值。区间估计则是利用统计量的相应分布，估计包含总体参数的随机区间。点估计具体方法1.用样本的估计量直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计2.没有给出估计值接近总体参数程度的信息3.点估计的方法有矩估计法、最大似然法、最小二乘法等无偏性：是参数的样本估计值的期望值等于参数的真实值。是的无偏估计量。估计的优良标准无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数有效性：一个具有较小变异的统计量的意义在于将有更多的机会产生一个更接近于总体参数的量。估计的优良标准有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效一致性：随着样本容量的增大，点估计量的值越来越接近被估计总体参数。估计的优良标准为　的无偏、有效、一致估计量　　　　　　　　　　为　的无偏、有效、一致估计量　　　　　　　　　为　的无偏、有效、一致估计量区间估计在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，（σ2已知）来自该总体的所有容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x的数学期望为μ，方差为σ2/n即x～N(μ,σ2/n)区间估计的图示是指总体参数值落在样本统计值某一区内的概率。 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为(1-为是总体参数未在区间内的比例常用的置信水平值有99%,95%,90%相应的为0.01，0.05，0.10置信水平置信区间是指在某一置信水平下，样本统计值与总体参数值间误差范围。置信区间计算步骤：求一个样本的均值;计算出抽样误差;“样本均值”±“抽样误差”就可得出置信区间的两个端点。置信区间置信区间与置信水平在置信区间不变的情况下，样本量越多，置信水平越高在样本量相同的情况下，置信水平越高，置信区间越宽影响区间宽度的因素1.总体数据的离散程度，用来测度2.样本容量，3.置信水平(1-)，影响u的大小点估计和区间估计的数学表达方式（以估计µ为例）用样本平均数对总体平均数μ的置信水平为P=1-α的点估计。用样本平均数对总体平均数μ的置信水平为P=1-α的区间估计，L1和L2分别为区间的上限和下限。正态总体或非正态总体但大样本，总体方差未知，置信度为1-α的区间估计参数的区间估计可用于假设检验对参数所进行的假设如果落在该区间之外，就 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 这个假设与真实情况有本质的不同，因而就否定原假设，接受备选假设。置信区间是在一定置信水平P=1-α下总体参数的所在范围，故对参数所进行的假设如果落在该区间内，就说明这个假设与真实情况没有不同，因而就可以接受原假设。5.2一个总体参数的区间估计总体均值的区间估计总体比例的区间估计总体方差的区间估计一个总体参数的区间估计总体参数符号表示样本统计量均值比例方差总体均值的区间估计(大样本)1.假定条件总体服从正态分布,且方差(２)已知或者未知如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n30)2.使用正态分布统计量u(标准化)总体均值在1-置信水平下的置信区间为计算样本统计量　　确定样本统计量分布确定临界值保证概率确定置信区间区间估计步骤其中：总体均值的区间估计(实例1)【例1】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3总体均值的区间估计(计算结果)解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，u/2=1.96。根据样本数据计算得：总体均值在1-置信水平下的置信区间为该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g总体均值的区间估计(实例2)【例2】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间（总体分布不知，大样本）36个投保人年龄的数据233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532总体均值的区间估计(计算结果)解：已知n=36,1-=90%，u/2=1.645。根据样本数据计算得：，总体均值在1-置信水平下的置信区间为投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁【例3】测得某批25个小麦样本的平均蛋白质含量＝14.5％，已知σ＝2.50％，试进行95％置信度下的蛋白质含量的区间估计和点估计。解：已知σ=2.5%,n=25,1-α=0.95，u/2=1.96，总体均值的区间估计(实例3)点估计区间估计(13.52%,15.48%)总体均值的区间估计(小样本)1.假定条件总体服从正态分布,且方差(２)未知小样本(n<30)2.使用t分布统计量总体均值在1-置信水平下的置信区间为正态总体小样本，总体方差未知均值的区间估计t统计量总体均值的区间估计(实例1)【例1】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间16灯泡使用寿命的数据1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470总体均值的区间估计(例题分析)解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131根据样本数据计算得：，总体均值在1-置信水平下的置信区间为该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时～1503.2小时【例2】从某渔场收对虾的总体中，随机取20尾对虾，测的平均体长x＝120mm，标准差是＝15mm，试估计置信度为99％的对虾总体平均数解：由于总体方差σ2未知，需用s2估计σ2，当df＝20－1＝19时，t0.01＝2.861。具体计算如下总体均值的区间估计(实例2)于是对虾体长的区间估计为说明对虾体长有99％把握落在110.4mm～129.6mm区间里　　某证券市场由10只股票组成的一个样本其市盈率分别为：5791014232015326　　试求该市场全部股票总体市盈率均值的95％置信区间。查表总体均值95％置信区间为：即：均值推断方法的选择n是否为大样本是否已知是否正态总体是否已知用S估计用S估计增大样本容量到30以上总体比例的区间估计1.假定条件总体服从二项分布可以由正态分布来近似2.使用正态分布统计量u3.总体比例在1-置信水平下的置信区间为总体比例的区间估计(实例)【例1】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机地抽取了100名下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%~74.35%总体方差的区间估计1.估计一个总体的方差或标准差2.假设总体服从正态分布3.总体方差2的点估计量为S2,且4.总体方差在1-置信水平下的置信区间为总体方差的区间估计(图示)总体方差的区间估计(实例)【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95%的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3总体方差的区间估计(例题分析)解:已知n＝25，1-＝95%,根据样本数据计算得s2=93.212置信度为95%的置信区间为该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区间为7.54g~13.43g5.3两个总体参数的区间估计两个总体均值之差的区间估计两个总体比例之差的区间估计两个总体方差比的区间估计两个总体参数的区间估计总体参数符号表示样本统计量均值之差比例之差方差比两个总体均值之差的估计(大样本)1.假定条件两个总体都服从正态分布，1２、2２已知若不是正态分布,可以用正态分布来近似(n130和n230)两个样本是独立的随机样本2.使用正态分布统计量uu两个总体均值之差的估计(大样本)1.1２，2２已知时，两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为1２、2２未知时，两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为两个总体均值差的估计(实例)【例】某地区教育委员会想估计两所中学的学生高考时的英语平均分数之差，为此在两所中学独立抽取两个随机样本，有关数据如右表。建立两所中学高考英语平均分数之差95%的置信区间两个样本的有关数据中学1中学2n1=46n1=33S1=5.8S2=7.2两个总体均值差的估计(例题分析)解:两个总体均值之差在1-置信水平下的置信区间为两所中学高考英语平均分数之差的置信区间为5.03分~10.97分两个总体均值差的估计(小样本:12=22)1.假定条件两个总体都服从正态分布两个总体方差未知但相等：1２=2２两个独立的小样本(n1<30和n2<30)2.体方差的合并估计量估计量x1-x2的抽样标准差两个总体均值差的估计(小样本:12=22)1.两个样本均值之差的标准化两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为两个总体均值差的估计(实例)【例】为估计两种方法组装产品所需时间的差异，分别对两种不同的组装方法各随机安排12名工人，每个工人组装一件产品所需的时间（分钟）下如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差相等。试以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间两个方法组装产品所需的时间方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.5两个总体均值差的估计(例题分析)解:根据样本数据计算得合并估计量为：两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为0.14分钟~7.26分钟两个总体均值差的估计(小样本:1222)1.假定条件两个总体都服从正态分布两个总体方差未知且不相等：1２2２两个独立的小样本(n1<30和n2<30)2.使用统计量两个总体均值差的估计(小样本:1222)两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为两个总体均值之差的估计(实例1)【例】沿用前例。假定第一种方法随机安排12名工人，第二种方法随机安排8名工人，即n1=12，n2=8，所得的有关数据如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间两个方法组装产品所需的时间方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.529.038.531.037.634.433.832.128.020.028.830.030.2解:根据样本数据计算得自由度为：两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为0.192分钟~9.058分钟两个总体均值之差的估计(实例2)【例2】由10名学生组成一个随机样本，让他们分别采用A和B两套试卷进行测试，结果如下表。试建立两种试卷分数之差d=1-295%的置信区间10名学生两套试卷的得分学生编号试卷A试卷B差值d17871726344193726111489845691741754951-27685513876601698577810553916两个总体方差比的区间估计1.比较两个总体的方差比2.用两个样本的方差比来判断如果S12/S22接近于1,说明两个总体方差很接近如果S12/S22远离1,说明两个总体方差之间存在差异3.总体方差比在1-置信水平下的置信区间为两个总体方差比的区间估计(图示)两个总体方差比的区间估计(例题分析)【例】为了研究男女学生在生活费支出(元)上的差异，在某大学各随机抽取25名男学生和25名女学生，得到下面的结果：男学生：女学生：试以90%置信水平估计男女学生生活费支出方差比的置信区间两个总体方差比的区间估计(例题分析)解:根据自由度n1=25-1=24，n2=25-1=24，查得F/2(24)=1.98，F1-/2(24)=1/1.98=0.50512/22置信度为90%的置信区间为男女学生生活费支出方差比的置信区间为0.47~1.845.4样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定估计总体比例时样本容量的确定估计两个总体均值之差时样本容量的确定估计两个总体比例之差时样本容量的确定1.估计总体均值时样本容量n为2.样本容量n与总体方差2、边际误差E、可靠性系数u或t之间的关系为与总体方差成正比与边际误差成反比与可靠性系数成正比估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量确定(例题分析)【例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望边际误差为400元，应抽取多大的样本容量？估计总体均值时样本容量确定(例题分析)解:已知=500，E=200,1-=95%，z/2=1.9612/22置信度为90%的置信区间为即应抽取97人作为样本注意：计算结果有小数时一律进位。1.根据比例区间估计公式可得样本容量n为估计总体比例时样本容量的确定E的取值一般小于0.1未知时，可取最大值0.5其中：估计总体比例时样本容量确定(例题分析)【例】根据以往的生产统计，某种产品的合格率约为90%，现要求边际误差为5%，在求95%的置信区间时，应抽取多少个产品作为样本？解:已知=90%，=0.05，z/2=1.96，E=5%应抽取的样本容量为应抽取139个产品作为样本确定样本容量时注意：1、计算结果有小数时一律进位。2、总体方差不知时，可用历史方差、样本方差代替。如有多个方差共选用，一般选取最大的方差；3、未知时，可取最大值0.51.设n1和n2为来自两个总体的样本，并假定n1=n22.根据均值之差的区间估计公式可得两个样本的容量n为估计两个总体均值之差时样本容量的确定其中：估计两个总体均值之差时样本容量的确定(例题分析)【例】一所中学的教务处想要估计试验班和普通班考试成绩平均分数差值的置信区间。要求置信水平为95%，预先估计两个班考试分数的方差分别为：试验班12=90，普通班22=120。如果要求估计的误差范围(边际误差)不超过5分，在两个班应分别抽取多少名学生进行调查？估计两个总体均值之差时样本容量的确定(例题分析)解:已知12=90，22=120，E=5,1-=95%，z/2=1.96即应抽取17人作为样本设n1和n2为来自两个总体的样本，并假定n1=n2根据比例之差的区间估计公式可得两个样本的容量n为估计两个总体比例之差时样本容量的确定其中：估计两个总体比例之差时样本容量的确定(例题分析)【例】一家瓶装饮料制造商想要估计顾客对一种新型饮料认知的广告效果。他在广告前和广告后分别从市场营销区各抽选一个消费者随机样本，并询问这些消费者是否听说过这种新型饮料。这位制造商想以10%的误差范围和95%的置信水平估计广告前后知道该新型饮料消费者的比例之差，他抽取的两个样本分别应包括多少人？(假定两个样本容量相等)估计两个总体比例之差时样本容量的确定(例题分析)解:E=10%,1-=95%，z/2=1.96，由于没有的信息，用0.5代替即应抽取193位消费者作为样本