(周围)现代信号处理基础04-现代功率谱估计(下)

第四章随机信号的功率谱估计（下）周围要点回顾：几种常用的现代谱估计 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，例如：最大熵谱估计、线性预测谱估计和AR谱估计等，本质上都是线性外推的思路，因此是等效的。AR模型可以用三种方法等效地表达：自相关函数值、AR模型参数以及反射系数。AR(k)和AR(k+1)模型的递推关系：模型参数迭代关系的Levinson-Durbin算法和预测误差迭代关系的格形滤波器。在三种AR模型参数提取方法：自相关法、协方差法和Burg法中，自相关法的性能稍差些，其他两种方法的性能相近。ARMA模型法：ARMA模型的分类：p阶AR模型：j全部为0。q阶MA模型：j全部为0。普通的ARMA模型：j和j都不全为0。ARMA模型和AR模型的关系：任何ARMA(p,q)模型可用某一模型描述：研究MA模型法和ARMA模型法的动机：当随机时间序列符合MA模型或ARMA模型时，若用AR模型法进行谱估计，要想获得高的精度，模型阶数要很高，由于随机采样样本是有限的，这样就容易出现虚假谱峰。MA模型法：问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 分析：问题定义：根据x0,x1…xN－1这一随机采样样本通过MA模型估计随机时间序列的功率谱密度。MA模型法：求解目标：模型阶数q。模型参数i，i=1,2…q和白噪声的方差2。求解方法：模型阶数q不确定时数学上很难处理，因此先假定q，求模型参数。阶数q已知时对模型两边同求某种统计特征以将随机变量转化为确定性的量。对各种阶数下的模型进行比较应用某种准则选出最好的模型。MA模型法：根据随机采样样本求q阶MA模型的参数：求R(m)：两个现象：m小等于q时R(m)正比于系统冲激响应b(n)和b(-n)的卷积。m大于q时R(m)等于0（有截尾）。MA模型法：结果：模型阶数q的选择：利用m大于q时R(m)等于0来选择模型阶数。MA模型法不需要估计模型参数，而只要根据已给数据估计出|m|q时的自相关函数值即可得到功率谱估计。MA模型法：结论：MA模型法实际上就是谱估计，也与法谱估计是等效的。只是符合MA(q)模型的随机时间序列本身只有m小等于q的R(m)才不为0，因此只要估计出m小等于q时的R(m)，就能得到精确的谱估计结果。ARMA模型法：问题分析：问题定义：根据x0,x1…xN－1这一随机采样样本通过ARMA模型估计随机时间序列的功率谱密度。ARMA模型法：求解目标：模型阶数p和q。模型参数i，i=1,2...p、i，i=1,2…q和白噪声的方差2。求解方法：假定模型阶数p和q。模型阶数已知时对模型两边同求某种统计特征以将随机变量转化为确定性的量。对各种阶数下的模型进行比较应用某种准则选出最好的模型。ARMA模型法：根据随机采样样本求ARMA(p,q)模型的参数：求R(m)：其中：h(n)为ARMA模型系统的冲激响应。ARMA模型谱估计：上式第二个方程写成展开形式（p个方程）：ARMA模型法：求出后估计如下功率谱密度：ARMA模型法：求A(z)参数的改进：问题的提出：当p+q相对于采样时间长度N较大时，求A(z)参数的方程组中的许多自相关函数值很不准确，因此得不到A(z)参数好的估计。改进方法：最小二乘法ARMA模型法：模型阶数p和q的选择：用逆滤波器A(z)/B(z)对X(z)进行处理，判断输出信号U(z)与白噪声的符合程度来选择模型阶数。其中：M为某一常数，具体的值可以根据逆滤波器A(z)/B(z)冲激响应的有效长度来选择。白噪声中正弦波频率的估计：问题的提出：估计淹没在噪声中的正弦波的频率，是信号处理中最有实际应用价值的技术之一。白噪声中正弦波频率的估计：问题的定义：已知长度为N的随机采样时间序列模型为：其中：__________是待估计的未知常数。i是___________内均匀分布的独立随机变量。v(n)是均值为0，方差为2的高斯白噪声。根据这N个随机采样样本估计i，i=1,2...M。白噪声中正弦波频率的估计：问题分析：几个记号：白噪声中正弦波频率的估计：采样信号的统计性质：白噪声中正弦波频率的估计：结论：随机采样时间序列为平稳过程。白噪声中的正弦波的频率与随机采样时间序列的功率谱密度函数中谱峰的位置相对应。白噪声中正弦波频率的估计：问题的解法：一般谱估计的方法根据问题特性寻找新的方法一般谱估计的方法：周期图方法简便。正弦波频率很相近时无法分辨。AR模型法：分辨率高。对噪声和正弦波的相位敏感，容易引起谱峰移动。修正协方差法估计AR模型参数对噪声和正弦波相位相对来说不敏感，能提供相对稳定的高分辨率的估计结果。修正协方差AR谱估计法：基本思想：AR模型法与线性预测谱估计等效；同时AR模型的参数与线性预测滤波器的冲激响应相同：E(z)=______________对于平稳的随机时间序列，可用时间平均代替集合平均。AR模型参数的提取可化为以下优化问题：或修正协方差AR谱估计法：估计准则：与Burg法相同。前后向预测误差产生原理图修正协方差AR谱估计法：求解方法：与Burg法不同之处在于直接对AR参数求解，即：修正协方差AR谱估计法：求解结果：其中：修正协方差AR谱估计法：估计性能：当信噪比很高时，得到的频率估计是无偏估计且方差接近于Cramer-Rao极限。当信噪比很低时，估计性能却很差，出现偏倚同时有大的方差。信噪比低时的改进方法：_________________________。根据问题特性寻找新的方法：最大似然法噪声是高斯白噪声。特征分解频率估计法通过研究自相关矩阵中正弦波信号和白噪声相互关系的性质提出的。最大似然法：基本思想：最大似然法：考虑x(n)中只有一个复正弦信号的情况：目标函数：求解方法：最大似然法：求解结果：结论：在白噪声中含有单个复正弦信号，其频率的最大似然估计，可根据数据的周期图的最大值所在的频率位置求出来。最大似然法：考虑x(n)中有M个复正弦信号的情况：目标函数：最大似然法：求解方法：最大似然法：求解结果：结论：非线性高维搜索，计算量大。当白噪声中有多个复正弦信号时，最大似然估计容易陷入局部极值点，难以得到好的估计结果。如果各正弦波的频率能用周期图进行分辨，那么最大似然估计结果将对应于周期图各最大值所在的频率。特征分解频率估计法：问题的提出：在低信噪比情况下，AR谱估计结果不理想，为了提高谱估计结果的精度，要降低噪声的影响。通过研究信号和噪声的特性及其关系，可能找到估计白噪声中正弦波频率的其他思路。特征分解频率估计法：基本思路：自相关矩阵是功率谱密度估计中很重要的一个量，几乎所有AR谱估计的方法都要用到自相关矩阵。因此通过研究自相关矩阵中正弦波信号和白噪声的相互关系来达到以上目的。特征分解频率估计法：几个记号：接收数据矢量信号矢量噪声矢量特征分解频率估计法：自相关矩阵的性质（理论上）：性质1：__________，且Rs的秩为___，Rv的秩为___。接收数据自相关矩阵信号自相关矩阵噪声自相关矩阵特征分解频率估计法：性质2：___________________________________。特征分解频率估计法：性质3：Rx有N个特征值。其中较大的M个特征值称为________，相应特征向量{u1,u2...uM}称________；另外较小的（N-M）个特征值都为_____由于Rx具有____________，其不同特征值对应的特征向量必正交。即：特征分解频率估计法：性质4：主特征向量{u1,u2...uM}张成的子空间和{e1,e2...eM}张成的子空间相同。{e1,e2...eM}构成Rs列空间的基。{u1,u2...uM}也构成Rs列空间的基。特征分解频率估计法：性质5：定义{u1,u2...uM}为____________，{uM+1,uM+2...uN}为___________，则ei,i=1,2...M与_________子空间正交。特征分解频率估计法：性质6：特征分解频率估计法：利用信号子空间进行频率估计：基本原理：利用性质6忽略噪声子空间的影响，而只保留信号子空间中特征向量的信息，这样就能有效地提高信噪比，然后用AR模型法中的Yule-Walker方程组估计AR模型的参数，进而用估计出功率谱密度求正弦波的频率，就能较好地保证估计精度。特征分解频率估计法：实现方法：用随机采样样本估计p×p阶自相关矩阵Rx；求Rx的前M个主特征值i和主特征向量ui，并用下式代替Rx：用Yule-Walker方程组估计AR(p)模型的参数：特征分解频率估计法：结果：估计出后，，最靠近单位圆的M个零点所对应的角度即为正弦波频率的估计结果。分析：不管模型阶数p增加到多少，都只用M个特征值和特征向量来估计模型参数。这样就既能增加模型的阶，而又不产生虚假谱峰。（伪逆）特征分解频率估计法：利用噪声子空间进行频率估计：基本原理：特征分解频率估计法：Pisarenko谐波分解（PHD）方法：问题：考虑N=M+1的特殊情况，即采样样本长度比正弦波的数目多1。原理：____________，且Rs的秩为M，Rv的秩为M+1。将估计出的(M+1)×(M+1)阶自相关矩阵Rx对角化后前M个主特征向量{u1,u2...uM}构成信号子空间，而最后一个特征向量{uM+1}构成噪声子空间，即有：_______________________________特征分解频率估计法：实现：结果：将uM+1一个时间序列，其z变换位于单位圆上零点的角度就是正弦波的角频率。特征分解频率估计法：注意事项：自相关矩阵元素的估计值必须是自相关函数的有偏估计才能保持理论自相关函数正定的性质。当正弦波的数目小于M时，uM+1的z变换也会在单位圆上产生M个零点。特征分解频率估计法：多信号分类算法：（MUSIC,MultipleSignalClassification）____________年提出，1986年重新发表,超分辨谱估计诞生问题：采样样本长度为N，复正弦波的数目为M，估计正弦波的频率。原理：Rx=Rs+Rv，且Rs的秩为M，Rv的秩为N。将估计出的N×N阶自相关矩阵Rx对角化后，前M个___________{u1,u2...uM}构成__________，而后N-M个特征向量{uM+1,uM+2...uN}构成_________，即有：_______________i=1,2...M,j>M特征分解频率估计法：实现：（1）计算PMUSIC和的关系，并画出曲线，以PMUSIC的最大的M个峰所对应的频率作为正弦波的频率估计。（2）是伪谱，谱峰高度并不代表功率强弱。（3）采样长度N至少______________，否则_________不存在。特征分解频率估计法：MUSIC谱其他表示形式：利用噪声子空间利用信号子空间以上用到MUSIC算法的步骤总结如下：（1）收集N个快拍的输入样本估计输入协方差矩阵：（2）对进行特征分解（3）利用最小特征值的重数K估计信号数（4）计算MUSIC谱或式中为特征值，为相应的特征向量。式中，（5）搜索________________________，得到各信号频率的估计。总结：怎样利用MA模型和ARMA模型进行功率谱密度的估计。白噪声中复正弦波频率的估计可看作是一个谱估计问题，可用一般的谱估计方法求解，实验表明基于修正的协方差算法的AR谱估计方法的效果较好。利用高斯白噪声概率密度函数可知的特点可以用最大似然方法求白噪声中复正弦波的频率，结果表明其性能与周期图方法相当。总结：通过分析理论上白噪声中复正弦波信号的自相关函数矩阵，一方面可以利用信号子空间提高复正弦波信号的信噪比，使得运用一般谱估计方法也能得到好的精度；另一方面运用信号与噪声子空间正交的特点导出了两种噪声子空间频率估计算法。空间谱估计问题阵列信号处理问题阵列：多个天线（传感器）的组合阵元－每个天线（传感器）假设：1）信源：点信源。即窄带信号2）远场：波前(阵列)－平面波由capon提出，称为最小方差无畸变(MVDR:minimumvariancedistortionlessresponse)波束形成器空间谱估计问题最优波束形成器DOA估计：波束形成器设计一个滤波器抽头（权系数）空间谱估计问题MUSIC空间谱：噪声子空间方法信号子空间方法波束形成器：空间谱估计问题作业：p.164上机练习（不交）：习题4.25（推荐使用Matlab语言）考试：