高等代数期中试题中国海洋大学2011年度春季学期期末考试试卷数学科学学院《高等代数II》课程试题(A卷)优选专业年级学号姓名授课教师座号----------------装----------------订----------------线---------------- 共2页第1页考试说明：本课程为闭卷考试，可携带文具满分为：100分。题号一二三四五六七总分得分 一．判断题（20分）1．设是数域上的维线性空间，上线性变换的特征子空间的维数和为，则中存在一组基，在此基下的矩阵是对角形。 （ ）2．两个阶矩阵的最小多项式相同，则它们相似。 （ ）3．欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的. ( )4.阶-矩阵可逆的充要条件是是满秩矩阵。 ( )5.两个同级正交矩阵的和仍为正交矩阵. ( )6.阶矩阵的最小多项式是它的特征多项式的因式。 （ ）7.欧氏空间中，向量组正交的充要条件是它们是线性无关的。 （ ）8.阶矩阵的特征值之和等于它的迹。 （ ）9.两个子空间的和的维数等于两子空间的维数之和。 （ ）10.实对称矩阵必相似于对角形。 （ ）二．填空题（20分）1．已知的特征矩阵与矩阵等价，则的
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形及的Jordan标准形分别为，。2．当=时,是的子空间.3．设准对角形矩阵=，的最小多项式为，授课教师命题教师或命题负责人签字年 月 日院系负责人签字年 月 日共2 页第2页则的最小多项式为。4．已知三级矩阵的特征值为，则=。5.已知是的特征向量，则属于的特征值=。三.(15分)设的两个子空间，其中，，。求与的基与维数。四.(10分)设，
证明
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：由的全体实系数多项式集合V关于矩阵的加法与数乘运算构成的R上的线性空间与复数域C作为R上的线性空间同构.五.(15分)设A是n维线性空间V上的线性变换，且A2=A.证明：（1）A的特征值为1或0.(2).六.（10分）是数域上的三维线性空间，线性变换A：在基下的矩阵为，问可否在某基下的矩阵为？为什么？七.(10分)设=是主对角元素全为2的阶上三角矩阵,且存在，问是否与对角阵相似？
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