Radon_Nikodym定理与条件期望的关系研究

［收稿日期］2010 － 12 － 15 ［基金项目］甘肃省自然科学研究基金项目(096RJZE106) ;天水师范学院科研基金项目(TSB0814)． ［作者简介］魏艳华(1980 －) ，女，吉林四平人，讲师，硕士，主要从事数理统计方面的研究． 2011 年 4 月 重庆文理学院学报 (自然科学版) Apr. ，2011 第 30 卷 第 2 期 Journal of Chongqing University of Arts and Sciences (Natural Science Edition) Vol. 30 No. 2 Radon － Nikodym定理与条件期望的关系研究 魏艳华，王丙参 (天水师范学院数学与统计学院，甘肃 天水 741001) ［摘 要］研究了 Radon － Nikodym定理与条件期望的相互关系，以期为人们更好地理解概率 论的基本概念提供参考． ［关键词］可测函数;Radon － Nikodym定理;条件期望 ［中图分类号］O211 ［文献标志码］A ［文章编号］1673 － 8012(2011)02 － 0024 － 03 随着人们对随机现象的不断观察和研究，条 件数学期望已经被广泛应用到日常生活中，如计 算科学、生物、统计、物理、工程、运筹、经济管理 和金融领域，并取得了很好的效果［1 － 4］． 现代概 率论总是从讲述条件期望开始，这是因为以测度 论为基础的条件期望是鞅论的基础，也是严格陈 述现代概率论必不可少的基本概念．本文系统研 究 Radon － Nikodym 定理及条件数学期望，论述 二者的相互关系． 1 Radon － Nikodym定理［5 － 6］ 给定测度空间(Ω，F，μ) ，我们用 S+ 表示 Ω 上 F可测非负简单函数全体，用 L(珔L)表示 Ω上 F可测实值(数值)函数全体，珔F表示 F关于 μ的 完备化，称 珔F可测函数为 μ可测函数． 定义 1［5］ 设 f = ∑ ni = 1aiIAi ∈ S+ ，其中 ai ∈ R + ，Ai ∈ F，则称 ∫Ωfdμ = ∑ n i = 1 aiμ(Ai)为 f 关于 μ的积分，记为 μ(f)． 这一积分的基本性质如下: 性质 1［5］ 设 fn，gn，f，g∈ S + ，则 (1)f≤ gμ(f)≤ μ(g) ; (2)fn↓f，μ(f1)＜ ∞μ(fn)↓μ(f) ; (3)fn↑fμ(fn)↑μ(f) ; (4)若 fn↑，gn↑， lim n→∞ fn ≤ limn→∞gn limn→∞μ(fn)≤ limn→∞μ(gn)． 定义 2 设 f 为一非负可测函数，fn ∈ S+ ，使得 fn↑f，令 μ(f) = limn→∞μ(fn) ，则由这一 积分的基本性质可知，上述右端积分存在且不依 赖序列(fn)的选择，则称 μ(f)为 f 关于 μ 的积 分，记为 μ(f)． 引理 1［5］ 设 f∈珔L且 f的积分存在，令 v(A) = μ(fIA)，A∈F，则 v为F上的σ可加集函数，即有 {An，n≥1}F，An∩Am = ，n≠mv(∑ nAn) =∑ nv(An)．此外，令 v+(A)= μ(f + IA)，v－(A)= μ(f － IA)，A∈ F，则 v +、v－ 为(Ω，F)上的测度，其中 之一为有限测度且有 v = v+ － v－ ． 定义 3 设(Ω，F)为一可测空间，v为 F上 的 σ可加集函数，称 v 为符号测度．设 (Ω，F，μ) 为一测度空间，f∈珔L且 f的积分存在，则符号测 度 v(A)= μ(fIA) ，A∈ F称为 f关于 μ的不定积 分，记为 v = f． μ ．设 v1、v2 为(Ω，F)上的两个符 号测度，如果 A ∈ F， v2 (A)= 0 v1 (A)= 0，则称 v1 关于 v2 绝对连续，记为 v1  v2 ． 定理 1［5］ (Jordan － Hahn 分解定理)设 v 为(Ω，F)上的符号测度，对 A∈ F，令 v+ (A)= sup{v(B) B A，B∈ F} ， v－ (A)= sup{－ v(B) B A，B∈ F} ， 则 v+、v－ 为测度，其中之一为有限测度且有 v = v+ － v－ ，存在 D∈ F，使得 v+ (A)= v(A∩ D) ， v－ (A)= － v(A∩ Dc)． 42 我们称 v = v+ － v－为 v的 Jordan分解，v+、v－ 分别称为正部和负部;称 Ω = D ∪ Dc 为 v 的 Hahn分解，Hahn分解不惟一．称 v = v+ + v－ 为 v的变差测度， v (Ω)为 v的全变差，记为 vVar ． 若 v 为 v的 σ有限测度，则称 v为 σ有限符号 测度． 定理 2 (Radon － Nikodym定理)设(Ω，F) 为一可测空间，μ为 σ有限测度，v为符号测度． 如果 v μ，则存在一关于 μ积分存在的可测函 数 g，使得 v = g． μ，g在 μ等价意义下是唯一的 (称 g1、g2为 μ等价的是指 μ［g1≠ g2］ = 0 ) ，要 g为 μ － a． e 有限，必须且只需 v 为 σ 有限的． g = dvdμ称为 v关于 μ的 R － N导数． 固定 t，假定 zt ～ N(0，1) ，pdf为 f(zt) ，则 概率测度 dP(zt) = 1 2槡 π e － 1 2(zt)2dzt ． 令函数 ξ(zt) exp{ztμ － 1 2 μ 2} ，则得到新的概率测度 d 珘P(zt)= ［dP(zt) ］ξ(zt) = 1 2槡 π exp{－ 12 (zt － μ) 2}dzt ． 不难看出，珘P(zt)是正态分布 N(μ，1)相联系的 概率，即测度变换 d珘P(zt)= ［dP(zt) ］ξ(zt) (1) 改变了 r． v zt 的均值且是可逆的，即 ξ(zt) －1d珘P(zt)= ［dP(zt) ］． (2) 我们由(1)式可得 d珘P(zt) dP(zt) = ξ(zt)．这一表达式 就是由 ξ(zt)给出的 R － N 导数．把 ξ(zt)视为概 率测度 珘P关于概率测度 P 的密度．根据这一点， 如果概率测度 珘P 关于概率测度 P 的 R － N 导数 存在，则可以由其密度 ξ(zt)将 zt 的均值进行变 换，而方差保持不变．显然，由于 R － N 导数表示 为一个分数，那么分母不应为零． 为了保证逆变 换存在，分子也不应为零．换言之，给定一个区间 dzt ，概率 珘P和 P满足珘P(zt)＞ 0P(zt)＞ 0 ．如 果条件 珘P(zt)＞ 0P(zt)＞ 0 满足，则 ξ(zt)存 在，并且可以由(1)和(2)式使得概率 珘P 和 P 相 互确定．这说明两个概率测度对所有的实际问题 来说是等价的． 2 条件期望 设(Ω，F，P)为完备的概率空间，A，B ∈ F 称为事件，如果 P(B) ＞ 0 ，则称 P(A B) = P(AB) P(B)为在事件 B 发生条件下的条件概率． 条 件概率 P(· B)也是可测空间(Ω，F)上的概率 测度．我们自然称 E(ξ B)= ∫ Ω ξdP(ω B)为 ξ 关于条件概率 P(· B)的条件期望． 易证明， E(ξ B)= 1 P(B)∫BξdP = 1 P(B)E(ξIB)．给定 B 时 ξ 的条件期望在数值上等于基础概率空间 (Ω，F，P)上的 ξ在 B上的平均取值．特别取 ξ = IA，得 P(A B)= E(IA B) ，即条件概率为条件 期望的特例．当 σ代数 G = σ(Bn，n≥ 1) ，其中 {Bn:n≥ 1}是 Ω的一个可测分割，则 E(ξ G)= ∑ ∞ n = 1 1 P(Bn)∫BnξdP·IBn(ω)． (3) 易知，E(ξ G)是 G 的诸非零概原子(作为 G中集合除自身与  外再无其它子集属于 G 者)以 ξ的局部平均值为值，但在各零概原子(它 们的并仍为零概集)上的取值无定义． 故(3)式 在 Ω上的一个零概集之外是完全确定的．进一步 推广就是下面条件期望的定义: 定义 4［7 － 8］ 设 (Ω，F，P)为概率空间，G 是 F的子 σ代数，ξ为数学期望存在的 r． v，一个 G 可测 r． v η 如果满足:A ∈ G，∫AηdP = ∫AξdP，则称 η 为 ξ 关于 G 的数学期望． 当 ξ = IA(ω) ，A∈F，则称 E(ξ G)为 A关于 G的条件 概率，记为 P(A G)． R － N 定理保证了上述条件期望的存在． A∈G，v(A)∫AξdP是G上的符号测度，且关 于 P绝对连续．由 R － N定理，存在 R － N 导数 η = dvdP，于是A∈ G，∫AηdP = v(A)= ∫AξdP ． 条件期望 E(ξ G)实际上是 r． v ξ在 G的每 个可测子集上按概率测度的平均，特别当 G = σ(η) ，η为 r． v，记 E(ξ G)= E(ξ η)．若取 G = σ( {A}) ，A∈ F，则 E(ξ G)= aIA + bIAc ，其 中 a，b分别为 ξ 在 A 和 Ac 上的均值． 这表明 E(ξ G)是对 ξ的某种局部修平，修平的效果随 G的增大而减弱．若 G = {Ω，} ，则 E(ξ G)= Eξ，ξ被彻底修平，可见数学期望是条件期望的 一个特例．若增大 G  σ(ξ) ，则 E(ξ G)= ξ， 52 此时修平作用消失． 显然，条件期望是几乎处处 确定的，因此有关条件期望的性质也是 a． s 成立 的．可以证明，存在一个定义在 r． v η 的值空间、 取值于 R的可测函数 g，使得 E(ξ η)= g(η) ， a． s，g(η)被称为 ξ 关于 η 的条件期望． 在概率 空间情形，a． s收敛总蕴含依概率收敛．当 P［E(ξ + G) ］= ∞ ，E(ξ － G)= ∞］ = 0 时，称 E［ξ G］ = E［ξ + G］－ E［ξ － G］ 为 ξ关于G的广义条件期望，约定∞ －∞ = 0．显 然，当 Eξ存在时，广义条件期望就是条件期望． 特别有:若 r． v X，Y的期望存在，则 EX = E［E(X Y) ］= ∫E(X Y = y)dFY(y) = ∑ yE(X Y = y)P(Y = y) ，若 Y离散时; ∫E(X Y = y)f(y)dy，若 Y连续时{ ． E(X Y = y)= ∫xdF(x y) = ∑ xxP(X = x Y = y) ，X，Y离散; ∫xf(x y)dx ，X，Y连续{ ． 全概率公式是全数学期望公式的特例，事实 上，记 IB 为事件 B 的示性函数． 易知 EIB = P(B) ，E(IB Y = y)= P(B Y = y) ，于是有: P(B)= ∫ P(B | Y = y)dFY(y) = ∑ yP(B Y = y)P(Y = y); ∫ P(B Y = y)f(y)d{ y． 上式分别是分布列形式与连续型的全概率公式． 定理 3［5］ (条件期望的 Bayes 法则)设 Q 为一关于 P绝对连续的概率测度，G为 F的一子 σ 代数．令 ξ = dQdP ，η = E［ξ G］，则 η ＞ 0，Q － a． s ．如果 X为一 Q可积的 r． v，则有EQ［X G］= η －1E［Xξ G］，Q － a． s ． 设 ξ为一可积 r． v，Y 为由 (Ω，F)到 (E，ε) 的一可测映射，令 μ(A)= P(Y－1(A) ) ，v(A)= E［ξIY－1(A)］，A∈ ε ．显然，v关于 μ绝对连续，令 g = dvdμ ，对A∈ ε，则有 E［g(Y)IY－1(A)］= ∫Ag(y)μ(dy)= v(A)= E［ξIY－1(A)］． 这表明E［ξ Y］E［ξ σ(Y)］= g(Y)．我们常用 E［ξ Y = y］形式上表示 g(y)． 函数 g 是μ － a． e 唯一确定的，且［Y = y］的概率可能为 0． 条件均值 E［Y X］的危险性小于 Y ．这一结 论是 Rao － Blackwell 定理的理论基础，意思是如 果 Y是某个参数的无偏估计，则 E［Y X］是一个 更好的无偏估计，这里假定 E［Y X］是一个统计 量，即不含未知参数． 在事件 X = x 上的 Y 的条 件 分 布 的 概 率 质 量 堆 积 于 条 件 均 值 E［Y X = x］附近，使得发散程度变低，因而是 一个更好的估计量．要把概率论建立在严格的基 础上，必须借助于测度论． ［参考文献］ ［1］赵志文，杨丰凯．关于条件期望求法的讨论［J］．吉林 师范大学学报，2005，8(3) :94 － 95． ［2］魏艳华，徐长伟，王丙参． 条件期望在最优预测中的 应用［J］．通化师范学院学报，2010，31(8) :8 － 9． ［3］R．卡尔斯． 唐启鹤，译． 现代精算风险理论［M］． 北 京:科学出版社，2005:36 － 50． ［4］魏艳华，李艳颖，王丙参． 条件期望的性质及求法 ［J］．牡丹江大学学报，2009，18(9) :116 － 117． ［5］严加安． 测度论讲义［M］． 北京:科学出版社，2004: 54 － 78． ［6］张波，张景肖．应用随机过程［M］．北京:清华大学出 版社，2004:197 － 207． ［7］金治明． 数学金融学基础［M］． 北京:科学出版社， 2006:1 － 20． ［8］胡适耕，黄乘明，吴付科． 随机微分方程［M］． 北京: 科学出版社，2008:1 － 15． On the relations between Radon － Nikodym theorem and conditional expectation WEI Yan － hua，WANG Bing － can (School of Mathematics and Statistics，Tianshui Normal University，Tianshui Gansu 741001，China) Abstract:The relations between Radon － Nikodym theorem and conditional expectation are systematically studied in this paper，in order to help people understand the basic concepts of the probability theory． Key words:measure function;Radon － Nikodym theorem;conditional expectation (责任编辑 穆 刚) 62