nullnull第3章 力学的守恒定律null本章内容：4. 1 动量 动量守恒定律4. 2 功和能 机械能守恒定律4. 3 角动量 角动量守恒定律null§3.1 动量 动量守恒定律 3.1.1 质点动量定理牛顿运动定律动量：描述物体运动状态更为普遍和最为基本的物理量 单位：(㎏·m·s-1) 元冲量：表示力在时间 dt 内的积累量 单位： (N·S-1) null（微分形式）对一段有限时间有（积分形式）质点动量定理分量形式冲量的任何分量等于在它自己方向上的动量分量的增量在力的整个作用时间内，平均冲力的冲量等于变力的冲量平均冲力null动量和冲量都是矢量，动量与速度同方向，冲量沿动量增量的方向。(2) 动量是物质运动的一种量度，具有矢量性、瞬时性和相对性。说明：(3) 冲量是物质运动状态发生变化的原因。它是任何力在时间过
程中的积累效应的量度。(4) 由质点动量定理可知，要使物体的动量有很大的变化，不是
需要很大的力就是要有足够长的作用时间。(5) 质点受恒力作用时，(6) 质点受多个力作用时，合外力的冲量等于各分力冲量的和。nullyy0vFNG”例 质量为 m 的匀质柔软绳，全长为 L，将其卷成一堆放在地面上，手握柔软绳的一端，以匀速 v 将其上提。解 设 t 时刻（地面上有 l 长的绳子）此时绳的动量为求 绳一端被提离地面高度为 y 时，手的提力。绳的动量随时间的变化率为G”系统所受的合外力为得null例 质量为 m 的匀质柔软绳，全长为 L，开始时，下端与地面的距离为 h 。下落在地面上时所受绳的作用力？Lh解 设 t 时刻（地面上有 l 长的绳子）此时绳的速度为m求 绳自由下落地面上的长度为 l ( l
b0 ，拉力大于最大静摩擦力时，链条将开始滑动。 设链条下落长度 y =b0 时，处于临界状态PTT’fnull(2) 以整个链条为研究对象，链条在运动过程中各部分之间相互作用的内力的功之和为零，摩擦力的功重力的功根据动能定理有null力学
方法
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以链条为研究对象，受力分析后有：PTT’fnull3. 刚体的转动动能 刚体转动的动能定理（1）刚体的转动动能zO的动能为刚体的总动能P•绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半结论：null（2） 刚体转动的动能定理（合力矩功的效果）对于一有限过程绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的——动能定理null例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平
面内转动，初始时它在水平位置解由动能定理求 它由此下摆 角时的 null4. 理想流体的伯努利方程如图，取一细流管，经过短暂时间 △t ，截面 S1 从位置 a 移到 b，截面 S2 从位置c 移到d ，流过两截面的体积分别为由连续性原理得在b到ｃ一段中运动状态未变，流体经过△t 时间动能变化量：null流体经过△t 时间势能变化量：△t 时间内外力对该段流体做功：由功能原理 ：即上式即为伯努利方程的数学表达式。ΔtΔt伯努利方程的意义伯努利方程的意义（1）伯努利方程的实质是功能原理在流体力学中的应用（2）伯努利方程应用于流体静力学即为连通器原理：（3）注意统一单位，为国际单位。适用于理想流体的定常流动。（4）P、h、v 均为可测量，他们是对同一流管而言的。 （5）它是流体力学中的基本关系式，反映各截面处，P、h、v之间的关系。null水管里的水在压强 P = 4.0×105Pa 作用下流入室内，水管的内直径为 2.0 cm ，引入 5.0 m 高处二层楼浴室的水管，内直径为 1.0 cm 。当浴室水龙头完全打开时，浴室水管内水的流速为4.0m·s-1 。即= 3.5×105Pa 例求解浴室水龙头关闭以及完全打开时浴室水管内的压强。当水龙头完全打开后，= 2.3×105Pa 即由伯努利方程： 打开水龙头，管口处的压强减小，这是水的流动导致的结果。null例求解a、b、c、d 各处压强及流速。h1h2abcd由题意可知，va = 0, pa = pd = p0选d 点所在平面为参考平面，对a 、d 两点应用伯努力方程，有解得因b、c、d 各点处于截面积相同的同一流管中，所以由连续性原理，有：对于a、b 两点，有对于a、c 两点，有得：null3.2.3 势能 机械能守恒定律 1. 保守力 势能如果力所做的功与路径无关，而只决定于物体的始末
相对位置，这样的力称为保守力。保守力沿闭合路径一周所做的功为零。 例如重力、万有引力、弹性力都是保守力。 作功与路径有关的力称为非保守力。例如: 摩擦力 abdcnull势能在保守力场中A(选参考点)B取：则（势能的定义） ：(势能零点)势能是位置的函数，在数值上等于从B 到 势能零点 保守力所做的功，该函数通常称作势能函数。势能是系统具有的作功本领(蕴藏在保守力场与位置有关的能量)null 讨论：（1）由于势能零点可以任意选取，所以某一点的势能值是相对的。（2）势能增量：在保守力场中，质点从 P1 → P2 位置，势能增量为质点在该过程中，保守力的功 A 为即在该过程中，保守力的功 A 等于质点在始末两位置势能增量的负值 微分形式（3）保守力场中任意两点间的势能差与势能零点选取无关。nullr 几种常见的势能（势能定义）1. 重力势能 2. 万有引力势能 rMm等势面3. 弹性势能 null例在质量为M、半径为R、密度为 的球体的万有引力场中求 质量为m的质点在球内外任一点C 的万有引力势能解 质点在球外任一点C ，与球心距离为xMRxmO质点在球内任一点C，与球心距离为 xnull（质点的势能与位置坐标的关系可以用图线表示出来）势能曲线重力势能万有引力势能弹性势能E势能零点？保守力的大小？null由势能函数求保守力 由势能曲线求保守力势能曲线上某点斜率的负值，就是该点对应的位置处质点所受的保守力。 null2. 机械能守恒定律对质点:(机械能守恒定律)保守力所作的功A应为：质点在仅有保守力作功的条件下运动，由动能定理得：故有null对质点系:当(机械能守恒定律)(机械能增量)(2) 守恒定律是对一个系统而言的(3) 守恒是对整个过程而言的，不能只考虑始末两状态 说明：(1) 守恒条件(4) 机械能守恒定律只适用于惯性系 null应用守恒定律解题时的思路与用牛顿定律解题不同（1）无需具体分析系统中间过程的受力细节。（2）守恒定律形式中只涉及到系统的始末状态物理量。（3）解题步骤大致是：(a) 选取研究对象。若为质点系，则必须弄清所研究的质点系是由哪些质点组成。(b) 分析守恒条件。分析研究对象的运动过程是否满足机械能守恒条件。(c) 明确过程的始、末状态。－－－选定各种势能的零势能位置，写出始、末两种状态研究对象的机械能。(d) 列方程。－－－根据机械能守恒定律列出方程，还要列出必要的辅助性方程(e) 解方程，求出结果。null把一个物体从地球表面上沿铅垂方向以第二宇宙速度 v0 解根据机械能守恒定律有例物体从地面飞行到与地心相距 nRe 处经历的时间。求发射出去，阻力忽略不计。null用弹簧连接两个木板m1 、m2 ，弹簧压缩 x0 。解整个过程只有保守力作功，机械能守恒例给m2 上加多大的压力能使m1 离开桌面？求null
3.5 能量守恒定律 能量不能消失，也不能创造，只能从一种形式转换为另一种形式。对一个孤立系统来说，不论发生何种变化，各种形式的能量可以互相转换，但它们总和是一个常量。这一结论称为能量守恒定律。 3. 机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围内的体现 1. 能量守恒定律可以适用于任何变化过程 2. 功是能量交换或转换的一种度量例如：利用水位差推动水轮机转动，能使发电机发电，将机械能转换为电能；电流通过电热器能发热，把电能又转换为热能。 讨论：null3.3.1 质点的角动量(对O点)其大小质点的角动量与质点的动量及位矢(取决于固定点的选择)有关特例：质点作圆周运动O惯性参照系§3.3 角动量 角动量守恒定律 单位：kg·m2·s-1 null例一质点m，速度为v，如图所示，A、B、C 分别为三个参考点,此时m 相对三个点的距离分别为d1 、d2 、 d3求 此时刻质点对三个参考点的动量矩解null3.3.2 刚体对定轴的角动量O质点对 Z 轴的动量矩…刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩为且刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩具有相同的方向(所有质元对 Z 轴的动量矩之和)null3.3.3 角动量定理 角动量守恒定律对于质点：对定轴转动刚体，J 为常量。角动量矩定理(角动量定理的积分形式)(角动量定理的微分形式)无论是对于运动的质点还是定轴转动的刚体，在某段时间内所受合力矩的冲量矩等于其角动量的增量null 说明：冲量矩是质点或刚体角动量变化的原因角动量的变化是力矩对时间的积累结果角动量守恒定律(1) 守恒条件(2) 若质点所受到的是有心力，则角动量守恒。讨论：应用举例：行星运动的开普勒第二定律null(3)变形体绕某轴转动时，若则变形体对该轴的角动量角动量守恒举例花样滑冰、跳水、芭蕾舞等。null当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度v 0发射一 求 θ角及着陆滑行时的速度多大？解引力场（有心力）质点的角动量守恒系统的机械能守恒例 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M 、半径为 R 的行星.质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面null例 一均质棒，长度为 L，质量为M，现有一子弹在距轴为 y 处水平射入细棒，子弹的质量为 m ,速度为 v0 。求 子弹细棒共同的角速度 。解其中m子弹、细棒系统的角动量守恒 null例 上题中，若子弹和杆共同偏转30o，子弹的质量为 m ,速度为 v0 。求 子弹的初速度v0 。解 由机械能守恒有其中解之，得：null 试用角动量守恒定律解释：猫从高处落下时，不论原来的姿势如何。它总是能使自己的四肢着地，以免摔伤的现象。null例 在自由旋转的水平圆盘边上，站一质量为m 的人。圆盘的半径为R，转动惯量为J,角速度为ω。如果这人由盘边走到盘心求 角速度的变化及此系统动能的变化ω解由角动量守恒定律null例解o
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