二重积分定义的函数求导

二重积分定义的函数求导 ! 杨士林 ! 彭良雪 ! （北京工业大学应用数理学院 ! 北京 ! !"""##） 摘 要 ! 讨论二重积分定义的函数的求导问题 关键词 ! 二重积分；导数；偏导数 ! 中图分类号 ! $!%# 我们知道，如果 "（#）$ " !（ #） "（ #） %（&）&&，其中 "（#），!（#）关于 #均可导，%（&）连续，那么 "（#）可导，且 "’（ #）$ %（!（ #））!’（ #）( %（"（ #））"’（ #） （!） 如果 "（ #）$ " !（ #） "（ #） %（&，#）&& 其中 "（ #），!（ #）关于 #均可导，%（&，#）关于 &连续，关于 #可偏导，那么 "（ #）是否可导，导数将是怎 样的呢？ 此问题虽然很常见，但用一元函数定积分的知识还不能完整地给出解答) 让我们用二元函数 偏导数等知识讨论此问题) 先考虑特殊情形 ""（ #）$ " !（ #） " %（&，#）&& 显然 "（ # * !#）$ " !（ # *!#） " %（&，# * !#）&&，所以 ! ! "（ # * !#）( "（ #）$ " !（ # *!#） " %（&，# * !#）&& ( " !（ #） " %（&，#）&& $ ! " !（ #） " ［ %（&，# * !#）( %（&，#）］&& * " !（ # *!#） !（ #） %（&，# * !#）&& 因此，由积分中值定理可知，存在 #在 !（ #）和 !（ # * !#）之间，使得 "（ # * !#）( "（ #） !# $ " !（ #） " %（&，# * !#）( %（&，#） !# && * !（ # * !#）( !（ #） !# %（#，# * !#） 令 !4"，我们得到 "’（ #）$ " !（ #） " $% $# （&，#）&& * !’（ #）%（!（ #），#） 一般地，我们有 定理!’ 设 "（ #）$ " !（ #） "（ #） %（&，#）&&，其中 "（ #），!（ #）关于 #均可导，%（&，#）关于 &连续，关于 #可 偏导，则 "（ #）可导，且导数为 "’（ #）$ !’（ #）%（!（ #），#）( "’（ #）%（"（ #），#）* " !（ #） "（ #） $% $# （&，#）&& （#） 对于一个给定的区域 +，其上的二重积分 "( 高等 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 研究 )*+,-.) -/ 0$11.2. 34*5.34*-0) ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ 6789 :，/79 # 3;<9，#""= ! 收稿日期：#"">9 "! ? #@万方数据 & ! "（#，$，%）!#!$ 定义了 %!［"，#］的一个函数，如何求此函数的导数呢？此问题的一般形式较复杂，我们只对某些特 殊的情形加以讨论& 假定区域 !满足 !：$（#，%）$ $$ %（#，%），&（ %）$ #$ ’（ %），"$ %$ #，其中 %是参数，令 ’（ %）( & ! "（#，$，%）!#!$ （"） 首先将（"）化成累次积分 ’（ %）( " ’（ %） &（ %） !#" %（#，%） $（#，%） "（#，$，%）!$ 这样，我们反复利用公式（#），便能得到 ’（ %）的导数& 实际上，令 )（#，%）( " %（#，%） $（#，%） "（#，$，%）!$ 由公式（#），我们有 ()（#，%） (% ( (%（#，%） (% "（#，%（#，%），%）* ($（#，%）(% "（#，$（#，%），%）+ " %（#，%） $（#，%） ("（#，$，%） (% !$ 从而 ),（ %）( ’,（ %）)（’（ %），%）* &,（ %）)（&（ %），%）+ " ’（ %） &（ %） ()（#，%） (% !# 即我们得到 定理 #$ 函数 )（ %）及区域 !定义同上，我们有 ),（ %）( ’,（ %）" %（’（ %），%） $（’（ %），%） "（’（ %），$，%）!$ * &,（ %）" %（&（ %），%） $（&（ %），%） "（&（ %），$，%）!$ + - " ’（ %） &（ %） (%（#，%） (% "（#，%（#，%），%）!# * " ’（ %） &（ %） ($（#，%） (% "（#，$（#，%），%）!# + & ! ("（#，$，%） (% !#!$ 下面举一例来说明此公式的应用& 例 %$ 设 .（ %）( " #*% & !#" % *# & （# * $ + %）!$，求 .（ %）的极值点& 解 - 由定理容易知道 .,（ %）( * " #% *# & （# * $）!$ + " #*% & ##!# + " #*% & !#" % *# & !$ 即 .,（ %）( * %# % # * ’% + ( 令 .,（ %）( & 得 % ( * ’ / !# )& 容易知道它们均是极大值点& 我们现在给出一种特殊情形：函数 )（ %）及区域 !定义同上，但 $，%仅是 #的一元函数，而 "是 #，$的二元函数，则有 ),（ %）( ’,（ %）" %（’（ %）） $（’（ %）） "（’（ %），$）!$ * &,（ %）" %（&（ %）） $（&（ %）） "（&（ %），$）!$ 参考文献 ［%］刘玉链，傅沛仁编&数学分析讲义（第三版）&高等教育出版社，#&&%年& ［#］华东师范大学数学系编&数学分析&高等教育出版社，%*+&& %’第 * 卷第 # 期 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 杨士林，彭良雪：二重积分定义的函数求导 万方数据 二重积分定义的函数求导 作者： 杨士林， 彭良雪 作者单位： 北京工业大学应用数理学院,北京,100022 刊名： 高等数学研究 英文刊名： STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS 年，卷(期)： 2006，9(2) 被引用次数： 2次 参考文献(2条) 1.华东师范大学数学系 数学分析 1980 2.刘玉链;傅沛仁 数学分析讲义 2001 相似文献(5条) 1.期刊论文 范庆珍.郭文洋 高职数学课"公式化教学"的探索 -辽宁高职学报2010,12(10) 改革教学 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ,提高教学质量,是当前高职学校培养高技能型人才的需要.高职院校高等数学"公式化教学",是教学改革的一个尝试,力求 在短时间内使学生掌握专业课所需的数学知识,使知识公式化,使数学成为专业课的工具. 2.期刊论文 熊昌萍.朱军.王亚华.XIONG Chang-ping.ZHU Jun.WANG Ya-hua 二重积分变量代换公式证明 的探讨 -大学数学2005,21(6) 在一般教材中二重积分变量代换公式的证明通常采用几何的方法,也有部分数学分析教材给与了严格的分析证明,但证明不便直观的几何 说明.本文对二重积分变量代换公式进行了一些探讨,给出了一个较简洁直观的分析证明方法. 3.期刊论文 曹帆.CAO Fan 关于Green公式条件的一点注记 -湖州师范学院学报2010,32(1) 在仅假设Green公式中所出现的线积分存在、一阶偏导数连续,在不要求所有的一阶偏导数存在的较弱条件下证明了Green公式,且证明过 程更易理解. 4.期刊论文 张毅 导数与微分概念的引入与体系的设置 -科技信息（科学·教研）2007(8) 素质教育与体系的优化、教材的改革等息息相关.本文主要从数学分析中概念引入的历史先后、定义的延续性对后续教学的影响等几个 方面展开来,比较新旧体系对两者阐述的不同并提出了新体系在Lagrange插值多项式、二重积分编排上的不合理处. 5.学位论文 李松 滑坡信息遥感识别和空间分析研究 2009 信息识别和空间分析是滑坡遥感研究的重要 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 。滑坡信息遥感识别包括目视识别和计算机自动识别，目前日视解译是精度最高的滑坡 信息识别方法，但它对遥感影像信息的利用率低下。为了更有效地识别滑坡信息，本文以目视解译原理为基础，以北川县为试验区，滑坡前 后的FORMOSAAT-II多光谱影像为数据源，研究采用GLCM提取纹理信息后，综合纹理特征、时间信息和光谱特征进行遥感变化检测识别滑坡信 息的方法。空间分析包括滑动方向分析和滑坡体积计算等内容，传统的滑动方向研究一般基于方向不变性假设，而滑坡体积算法没有考虑滑 动距离等因素的影响，针对这些不足，本文研究了不同时点下的滑动方向和不同滑动距离滑坡的体积算法。
　　 本文的主要研究内容和创新点如下：
　　 第一，以滑坡信息地学原理为依据，在目视解译方法的基础上，研究了综合利用光谱特征、纹理特征和时间信息的多时相遥感变化检测进 行滑坡信息自动识别的方法，并引入总体精度、制图精度、用户精度和Kappa统计值指标评价自动识别滑坡信息的精度效果。多时相遥感变 化检测方法适用于干旱和湿润地区的新滑坡，还适用于有影像和其他地图数据记录的老滑坡。结合遥感变化检测方法和目视解译识别滑坡信 息，可以极大地提高信息识别效率，满足滑坡紧急救灾和综合防治的需要。
　　 第二，基于滑动方向不变性假设的传统滑动方向研究方法与大多数滑坡不相符，本文基于滑坡体沿着最陡坡度滑动的假设研究单滑向方法 在滑动方向确定中的应用：分别在垂直投影平面和高程剖面上求解滑坡体运动轨迹方程后，通过求解方程的一阶导数，其反三角函数值就是 不同时点下的滑坡运动方向。
　　 第三，结合滑坡地学原理和二重积分原理，利用多项式拟合滑动面和滑坡体上 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面，采用最小二乘法拟合出滑坡周界，引入假设水平面后 将滑坡地形和滑坡周界数学模型分别作为被积函数和积分区域，构建二重积分模型计算不同滑动距离的滑坡体积。根据滑坡类型和数据源 ，滑坡体积的计算可分为以下四种情况：1)长距离新滑坡且有滑坡前后地形数据；2)短距离新滑坡且有滑坡前后地形数据及滑动而钻井数据 ；3)具备滑坡前后地形数据且滑坡地貌典型的滑动距离超过一定程度的短距离新滑坡；4)有影像和地形数据记录的发育典型且滑坡地貌保存 完好的老滑坡。 引证文献(2条) 1.韩广华.戴更新.孟瑶 可替代性服务备件的末次备货问题研究[期刊论文]-科学技术与 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 2008(3) 2.钮宏霞 变限积分求导公式在高维典型立体上的推广[期刊论文]-数学的实践与认识 2008(20) 本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_gdsxyj200602017.aspx 授权使用：华中科技大学(hzkjdx)，授权号：9b3b553b-fef2-423e-82c4-9ee600f8b668 下载时间：2011年5月17日