拉格朗日中值定理的证明方法

第１４卷第５期 ２０１１年９月 高 等 数 学 研 究 ＳＴＵＤＩＥＳ　ＩＮ　ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖｏｌ．１４，Ｎｏ．５ Ｓｅｐｔ．，２０１１ 辅 导 篇 拉格朗日中值定理的证明 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 张 喆，张建林，姜永艳 （中原工学院 理学院，河南 郑州４５０００７） 收稿日期：２０１０－０８－１２；修改日期：２０１１－０８－０２． 作者简介：张喆（１９７９－），女，河南郑州人，硕士，讲师，主要从事组合 最优化研究．Ｅｍａｉｌ：ｚｚｘｑ２０１０＠１２６．ｃｏｍ； 张建林（１９７７－），男，河南洛阳人，硕士，讲师，主要从事微 分方程研究．Ｅｍａｉｌ：ｄｅｆａ２００１＠１６３．ｃｏｍ． 摘 要 　 分类总结拉格朗日中值定理的各种证明方法，并加以 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 讨论，以求深化对微分中值定理的理解． 关键词 　 微分中值定理；证明；辅助函数 中图分类号 　Ｏ１７２．１ 文献标识码 　Ａ 文章编号 　１００８－１３９９（２０１１）０５－００５７－０４ 微分中值定理，作为微分学中的重要定理，是微 分学应用的理论基础，是微分学的核心理论．微分中 值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰 勒定理．它们是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是 利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具． 其中拉格朗日中值定理是核心，从这些定理的条件 和结论可以看出罗尔定理是其特殊情况，柯西定理 和泰勒定理是其推广．本文着重讨论的就是拉格朗 日微分中值定理的证明． 人们对微分中值定理的研究，大约经历了二百 多年的时间．从费马定理开始，经历了从特殊到一 般，从直观到抽象，从强条件到弱条件的发展阶段． 人们正是在这一发展过程中，逐渐认识到微分中值 定理的普遍性．目前，对微分中值定理的证明方法， 除了数学分析或高等数学课本上的之外，还有很多 值得学习借鉴的方法．基于微分中值定理的重要意 义，同时为了使老师、学生都能更加全面、深入地理 解微分中值定理，掌握其证明技巧，本文对几种典型 的证明方法［１－３］进行了分类总结． １　 利用构造辅助函数方法证明 微分中值定理的证明方法很多，一般来说都是 通过构造辅助函数来完成的，但是如何辅助函数却 是一个难点问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ．下面针对构造辅助函数的方法分 别从几何和分析角度加以分析． １．１　 分析法 由于柯西、拉格朗日中值定理和罗尔中值定理 之间存在着一般与特殊的关系，所以证明拉格朗日 和柯西中值定理的方法可以利用向罗尔中值定理进 行化归来实现．下面就是从分析的角度构造出辅助 函数的若干方法． １）　 原函数构造法 为了利用罗尔定理来推证，以从后向前推的思 路，构造一个函数使它满足罗尔定理的第三个条件， 同时又能从罗尔定理结论中推导出来拉格朗日中值 定理的结论． 要从罗尔定理的结论 Ｆ′（ξ）＝０ 中推出拉格朗日定理的结论 ｆ′（ξ）＝ ｆ（ｂ）－ｆ（ａ） ｂ－ａ ， 显然只需要 ｆ′（ξ）－ ｆ（ｂ）－ｆ（ａ） ｂ－ａ ＝ Ｆ′（ξ）． 由于一次函数的导数是常数，可以猜想出（或通过两 边积分）得到辅助函数应设为 Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｆ （ｂ）－ｆ（ａ） ｂ－ａ ｘ＋ｃ， 其中ｃ为常数．由验证可知，它满足罗尔定理三个条 件，为计算方便起见，可取ｃ＝０． ２）　 参数变易法［４］７８ 目的仍然是构造一个函数Ｆ（ｘ）且满足 Ｆ（ａ）＝Ｆ（ｂ）． 这时若令 Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－Ａ－ｋ（ｘ－Ｂ）， 其中Ａ和Ｂ 是任意实数，那么 Ｆ（ａ）＝ｆ（ａ）－Ａ－ｋ（ａ－Ｂ）， Ｆ（ｂ）＝ｆ（ｂ）－Ａ－ｋ（ｂ－Ｂ）， 要使以上两式相等，只需 ｆ（ａ）－ｋａ＝ｆ（ｂ）－ｋｂ， 故仍然可设参数 ｋ＝ｆ （ｂ）－ｆ（ａ） ｂ－ａ ， 由此所得Ｆ（ｘ）即可满足要求． ３）　 行列式法 由于要求 Ｆ（ａ）＝Ｆ（ｂ）， 故可根据行列式的性质，设 Ｆ（ｘ）＝ ａ ｆ（ａ） １ ｂ　ｆ（ｂ） １ ｘ　ｆ（ｘ） １ ， 如此所得辅助函数满足 Ｆ（ａ）＝Ｆ（ｂ）＝０． ４）　 利用弦倾角法 目的同前．设连接连续曲线 Ｌ：｛（ｘ，ｆ（ｘ））｜ａ≤ｘ≤ｂ｝ 两端点Ａ和Ｂ的弦为ＡＢ（图１），其倾倾斜角为θ，则 －π２ ＜θ＜ π ２ ， ｔａｎθ＝ｓｉｎθｃｏｓθ＝ ｆ（ｂ）－ｆ（ａ） ｂ－ａ ， 也即有 ｆ（ｂ）ｃｏｓθ－ｂｓｉｎθ＝ ｆ（ａ）ｃｏｓθ－ａｓｉｎθ， 所以可令 Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｃｏｓθ－ｘｓｉｎθ， 如此所得辅助函数Ｆ（ｘ）即可满足要求． 图１　 曲线及其弦 １．２　 几何法 利用数形结合的思想来解决数学问题有着非常 直观的效果，对于微分中值定理的证明，利用几何图 形的特性观察分析，同样可以作出合适的辅助函数． 下面分不同方法加以说明． １）　 作差构造辅助函数 因为曲线Ｌ与其弦ＡＢ分别在ｘ＝ａ和ｘ＝ｂ两 处的高度对应相同（图１），所以，不妨考虑通过曲线 方程和弦方程的差来构造辅助函数，也即令 Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－［ｆ （ｂ）－ｆ（ａ） ｂ－ａ （ｘ－ａ）＋ｆ（ａ）］， 或者 Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－［ｆ （ｂ）－ｆ（ａ） ｂ－ａ （ｘ－ｂ）＋ｆ（ｂ）］． 如此所得辅助函数均满足 Ｆ（ａ）＝Ｆ（ｂ）＝０． 其实，曲线Ｌ与任何一条平行于弦ＡＢ 的直线 在ｘ＝ａ和ｘ＝ｂ两处的高度差皆对应相等，为简单 起见，不妨取平行于弦ＡＢ 且过原点的直线为参考， 构造辅助函数 Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｆ （ｂ）－ｆ（ａ） ｂ－ａ ｘ， 如此所得辅助函数也满足要求． ２）　 利用面积构造辅助函数 不难发现，曲线Ｌ上任意一点Ｐ（ｘ，ｆ（ｘ））与弦 ＡＢ 组成的 △ＡＢＰ 的面积Ｓ（ｘ）恰好在区间［ａ，ｂ］ 上满足罗尔定理的三个条件．根据向量积的几何意 义不难证明，△ＡＢＰ 的面积 Ｓ（ｘ）＝ １２ ａ ｆ（ａ） １ ｂ　ｆ（ｂ） １ ｘ　ｆ（ｘ） １ ， 因此只需构造辅助函数 Ｆ（ｘ）＝Ｓ（ｘ）． ３）　 旋转坐标轴法 按弦ＡＢ 的倾斜角旋转坐标系，可使新坐标系 的Ｘ轴与原坐标系中的弦ＡＢ 平行，则原曲线的方 程在旋转变换下必定满足罗尔定理的条件（图２）． 显然，旋转角 θ＝ａｒｃｔａｎｆ （ｂ）－ｆ（ａ） ｂ－ａ ， 图２　 坐标系旋转 根据新旧坐标之间的关系 Ｘ＝ｘｃｏｓθ＋ｙｓｉｎθ， Ｙ ＝－ｘｓｉｎθ＋ｙｃｏｓθ｛ ． 可令 Ｆ（ｘ）＝－ｘｓｉｎθ＋ｆ（ｘ）ｃｏｓθ． 可以验证，此即为满足要求的辅助函数． ８５ 高 等 数 学 研 究 ２０１１年９月 ２　 特殊方法 ２．１　 利用区间套定理证明 引理１（区间套定理）［１］２１５　 如果闭区间系列 ｛［ａｎ，ｂｎ］｝满足条件 ［ａｎ＋１，ｂｎ＋１］ ［ａｎ，ｂｎ］， ｌｉｍ ｎ→∞ （ｂｎ－ａｎ）＝０， 则存在唯一实数ξ∈ ［ａｎ，ｂｎ］（ｎ＝１，２，…），且有 ｌｉｍ ｎ→∞ ａｎ ＝ξ＝ｌｉｍｎ→∞ｂｎ． 引理２［５］２０　如果ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，那么必 定存在ｃ，ｄ∈ （ａ，ｂ），使得 ｄ－ｃ＝ｂ－ａ２ ， ｆ（ｄ）－ｆ（ｃ） ｄ－ｃ ＝ ｆ（ｂ）－ｆ（ａ） ｂ－ａ ． 使用引理１和引理２，即可证明拉格朗日定理． 反复使用引理２可得区间序列｛［ａｎ，ｂｎ］｝，满足 ［ａ，ｂ］ ［ａ１，ｂ１］ ［ａ２，ｂ２］ …， ｂｎ－ａｎ ＝ １２ｎ （ｂ－ａ）， ｆ（ｂｎ）－ｆ（ａｎ） ｂｎ－ａｎ ＝ ｆ（ｂ）－ｆ（ａ） ｂ－ａ ． 由区间套定理得必有 ξ∈ ［ａｎ，ｂｎ］ （ａ，ｂ）　（ｎ＝１，２，…）， 使得 ｌｉｍ ｎ→∞ ａｎ ＝ｌｉｍ ｎ→∞ ｂｎ ＝ξ． 因为ｆ（ｘ）在ξ处可导，所以由导数定义得 ｌｉｍ ｎ→∞ ｆ（ｂｎ）－ｆ（ξ） ｂｎ－ξ ＝ｌｉｍ ｎ→∞ ｆ（ａｎ）－ｆ（ξ） ａｎ－ξ ＝ｆ′（ξ）， 从而当ｎ→ ∞ 时，有 ｆ（ｂｎ）－ｆ（ξ）＝ｆ′（ξ）·（ｂｎ－ξ）＋ｏ（ｂｎ－ξ）， ｆ（ａｎ）－ｆ（ξ）＝ｆ′（ξ）·（ａｎ－ξ）＋ｏ（ａｎ－ξ）， ｆ（ｂｎ）－ｆ（ａｎ） ｂｎ－ａｎ ＝ｆ ′（ξ）＋ ｏ（ｂｎ－ξ） ｂｎ－ａｎ － ｏ（ａｎ－ξ） ｂｎ－ａｎ ， 又因为 ｌｉｍ ｎ→∞ ｏ（ｂｎ－ξ） ｂｎ－ａｎ ＝ ｌｉｍ ｎ→∞（ｏ （ｂｎ－ξ） ｂｎ－ξ ·ｂｎ－ξ ｂｎ－ａ）ｎ ＝０， ｌｉｍ ｎ→∞ ｏ（ａｎ－ξ） ｂｎ－ａｎ ＝ ｌｉｍ ｎ→∞（ｏ （ａｎ－ξ） ａｎ－ξ ·ａｎ－ξ ｂｎ－ａ）ｎ ＝０， 所以 ｌｉｍ ｎ→∞ ｆ（ｂｎ）－ｆ（ａｎ） ｂｎ－ａｎ ＝ｆ ′（ξ）， 从而有 ｆ（ｂ）－ｆ（ａ） ｂ－ａ ＝ｆ ′（ξ）． 由此可证拉格朗日定理． ２．２　 利用巴拿赫不动点定理证明 引理３（巴拿赫不动点定理）［６］５　 在完备的度 量空间中的压缩映射必存在唯一的不动点． 显然，任意闭区间在通常的欧几里得度量下是 完备的，由此可证在［ａ，ｂ］上凸或凹的函数ｆ（ｘ）的 拉格朗日中值定理． 对任意小的ε＞０，在闭区间［ａ＋ε，ｂ－ε］上构 造自映射 Ａｘ＝ｘ－ｆ′（ｘ）＋ｆ （ｂ）－ｆ（ａ） ｂ－ａ ． 可以证明Ａ是一个压缩映射，事实上，对于 ｘ１，ｘ２ ∈ ［ａ＋ε，ｂ－ε］， 不妨设 ｘ１ ＜ｘ２， 则有 ｜Ａｘ２－Ａｘ１｜＝ ｜（ｘ２－ｘ１）－［ｆ′（ｘ２）－ｆ′（ｘ１）］｜， 假设ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上是凹的，那么，ｆ′（ｘ）在区 间［ａ＋ε，ｂ－ε］内单调增加，所以 ｆ′（ｘ２）－ｆ′（ｘ１）＞０， 从而一定存在一个数λ∈ （０，１），使得 ０＜λ（ｘ２－ｘ１）＜ｆ′（ｘ２）－ｆ′（ｘ１）． 因此 ｜Ａｘ２－Ａｘ１｜＝＜｜ｘ２－ｘ１｜（１－λ）． 所以Ａ是闭区间［ａ＋ε，ｂ－ε］上的压缩映射．由引理 ３知，存在唯一的一点ξ∈ （ａ，ｂ），使得 Ａξ＝ξ， 于是有 ｆ′（ξ）＝ ｆ（ｂ）－ｆ（ａ） ｂ－ａ ， 由此可证拉格朗日中值定理． ３　 结论 通过对拉格朗日中值定理的证明方法的分类总 结，发现证明方法的确多种多样．一般来说大多采用 的是构造辅助函数的方法，我们从分析和几何的角 度加以分析总结，分析法构造辅助函数主要有：原函 数构造法、参数变易法、行列式法、利用弦ＡＢ 的倾 角法；几何法是利用图形的特征进行分析，从而构造 出需要的辅助函数，与分析法有异曲同工之妙，同时 也可以认为是上面某些分析方法的几何解释．另外 我们还总结了一些特殊方法，它们不需要构造辅助 函数，仍可以得证，如区间套定理证明法、巴拿赫不 动点证明法．通过分类总结，有助于开阔我们的思 路，对微分中值定理的认识也会更加深入． ９５第１４卷第５期 张喆，张建林，姜永艳：拉格朗日中值定理的证明方法 第１４卷第５期 ２０１１年９月 高 等 数 学 研 究 ＳＴＵＤＩＥＳ　ＩＮ　ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖｏｌ．１４，Ｎｏ．５ Ｓｅｐｔ．，２０１１ 欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍 参考文献 ［１］华东师范大学数学系．数学分析：上册［Ｍ］．２版．北京： 高等教育出版社，１９９６：１５３－１６３． ［２］同济大学数学系．高等数学：上册［Ｍ］．６版．北京：高等 教育出版社，２００２：１２８－１３２． ［３］刘新民．关于微分中值定理的一般形式及其证明方法的 统一［Ｊ］．青岛化工学院学报，１９９４，１５（４）：３７６－３８０． ［４］徐礼卡．参数变易法在两个微分中值定理证明中的应用 ［Ｊ］．宁波教育学院学报，２００９，１１（２）：７８－８１． ［５］许在库．用区间套定理证明 Ｒｏｌｌｅ定理、Ｌａｇｒａｎｇｅ定 理［Ｊ］．安徽大学学报，２００３，２７（２）：１８－２１． ［６］张恭庆，林源渠．泛函分析讲义：上册［Ｍ］．北京：北京大 学出版社，２００３：５． Ｔｈｅ　Ｐｒｏｏｆｓ　ｏｆ　Ｌａｇｒａｎｇｅ　Ｍｅａｎ　Ｖａｌｕｅ　Ｔｈｅｏｒｅｍ ＺＨＡＮＧ　Ｚｈｅ，　ＺＨＡＮＧ　Ｊｉａｎ－ｌｉｎ，　ＪＩＡＮＧ　Ｙｏｎｇ－ｙａｎ （Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｚｈｏｎｇｙｕａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ　４５０００７，ＰＲＣ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：　Ｔｈｉｓ　ａｒｔｉｃｌｅ　ｓｕｍｍａｒｉｚｅｓ　ｖａｒｉｏｕｓ　ｐｒｏｏｆｓ　ｆｏｒ　Ｌａｇｒａｎｇｅ　ｍｅａｎ　ｖａｌｕｅ　ｔｈｅｏｒｅｍ．Ｉｔ　ａｌｓｏ ｐｒｏｖｉｄｅｓ　ａｎａｌｙｓｅｓ　ｆｏｒ　ｄｅｅｐｅｒ　ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍｅａｎ　ｖａｌｕｅ　ｔｈｅｏｒｅｍ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：　ｍｅａｎ　ｖａｌｕｅ　ｔｈｅｏｒｅｍ，ｐｒｏｏｆ，ａｕｘｉｌｉａｒｙ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ 微分中值问题中辅助函数的构造程式 朱双荣 （武汉船舶职业技术学院 公共课部，湖北 武汉４３００５０） 收稿日期：２０１０－１１－２７；修改日期：２０１１－０８－１５． 作者简介：朱双荣（１９６６－），女，湖北武汉人，学士，副教授，主要从事 高等数学的教学与研究．Ｅｍａｉｌ：８７４７０６３６４＠ｑｑ．ｃｏｍ． 摘 要　给出解决微分中值问题时，所需辅助函数的构造程式，并通过实例加以详细解释．所给程式具有一定 的可操作性，可帮助学生掌握同类问题解决 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 中的规律性． 关键词 　 微分；辅助函数；中值问题；程式 中图分类号 　Ｏ１７２．１ 文献标识码 　Ａ 文章编号 　１００８－１３９９（２０１１）０５－００６０－０２ 在微分学中，对拉格朗日中值定理和柯西中值定 理的证明都是通过构造适当的辅助函数，使这个函数 满足罗尔定理的条件来实现的．事实上，在微分中值 问题中，有很多命题的证明都是要通过构造一个辅助 函数才能很好地解决．虽然构造辅助函数有多种方 法，但是学生们还是不易掌握其中的规律，有时甚至 感觉无从下手．本文给出辅助函数的一种构造程式， 以使部分中值问题的解决思路变得有规律可循． 对于区间［ａ，ｂ］上的中值问题，构造辅助函数 的程式化思路大体如下： １）将待证关系式变形，使得含有ａ，ｂ的所有表 达式只出现在关系式的一侧，而所有不含ａ，ｂ的表 达式出现在关系式的另一侧，并用ｋ代替，即得到 ｇ（ａ，ｂ）＝ｋ． ２）对上述一侧为ｋ的关系式再次变形，使ａ，ｂ 分别分离在关系式的两侧，并使两侧分别关于ａ，ｂ 具有相同的结构形式，即得到 Ｆ（ｋ，ａ）＝Ｆ（ｋ，ｂ）． ３）根据上述两端具有相同结构的关系式，可得 辅助函数，即得到 Ｆ（ｘ）＝Ｆ（ｇ（ａ，ｂ），ｘ）． 现在先用上述程式来证明大家熟悉的拉格朗日 中值定理． 例１（拉格朗日中值定理）［１］　 如果函数ｆ（ｘ） 在闭区间［ａ，ｂ］上连续，在开区间（ａ，ｂ）内可导，那 么在（ａ，ｂ）内至少存在一点ξ，使得 ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ′（ξ）（ｂ－ａ）． 证明 　 对待证关系式进行变形，有 ｆ（ｂ）－ｆ（ａ） ｂ－ａ ＝ｆ ′（ξ）＝ｋ， ｆ（ｂ）－ｋｂ＝ｆ（ａ）－ｋａ． 故可得辅助函数