第三章层次分析建模

null第三章 层次分析方法建模第三章 层次分析方法建模§3.1 层次分析是处理决策问题的有效方法 §3.2 层次分析方法的基本步骤 §3.3 层次分析的理论基础 §3.4 层次分析的若干问题 §3.5 层次分析的广泛应用数学的研究对象数学的研究对象前苏联科学院曾把数学的研究对象定义为:现实世界中存在的数量关系和空间形式. 但后来有人认为应该加进和强调随机现象和随机变量等.三类不同关系及其相应处理方法三类不同关系及其相应处理方法① 严格确定关系与机理分析方法. 例: 商高定理 a2+b2=c2; 欧姆定律 v=ri; 牛顿冷却定律 Q=k(T-T)/b. 特点:涉及各门学科的各种成功范例;但不是自然界最广泛的关系.cabTTQb+_vir② 随机关系与概率统计方法例:掷骰(shai)子一次不一定出现红四;但掷六次可期望出现一次红四.在一定条件下可以说,掷一次出现红四的概率是1/6；男婴自然出生的概率可以严格证明是1/2；测量误差服从正态分布规律等等. 特点:既确定又不完全确定.② 随机关系与概率统计方法③不确定关系与系统分析方法例: 疫情(例如非典,甲型流感等)预测,股市预测等;三峡大坝坝高与坝址等的决策;城市建设规划;治疗 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ;商品进货计划等. 特点: 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 的不确定性与多样性,即一般地存在若干各有优缺点的答案.需要用系统分析方法,从不同的角度对它们进行优缺点分析,可行性分析,短期,长期效益分析等,以权衡利弊,并结合实际情况作出最满意(注意这个提法)的选择. 层次分析方法是为处理这类决策问题的一个行之有效的新方法.③不确定关系与系统分析方法决策问题的特性决策问题的特性① 广泛性: 生活中处处有决策问题. 衣:— 或买或做?款式颜色,价格,质量(面料做工等)如何?等等. 食:—(请朋友吃饭)或家宴或上饭馆?如何点(备)菜?中餐,西餐或火锅?包席,点菜或自助餐?等等. 住:— 买房或租房?价格?远或近?大或小?厅室厨卫配置?购物,上班,上学,看病是否方便?邻居与环境如何?等等. 行:—(旅游)旅行社或自主游?何时?何地?国内或国外?远或近?往何方向?看什麽(山,水,洞,古迹,风情)?等等. null个人大事:—升学或就业的决策,个人今后发展的规划等等. 机构工作:—研究课题的选择;为疑难病症确定治疗方案;招标招工的最后确定;购买设备,上马新产品的最后决定等等(涉及因素,背景与知识的广泛性). ② 答案的不确定性与多样性,即不存在唯一的毫无争议的答案,只存在相对满意的答案(满意解). ③ 答案存在较强的主观性,不同喜好的人会作出不同的决定(穿衣戴帽各有所好)null特性①说明决策问题的重要性; 特性②和③说明决策问题的复杂性.具体来讲,决策问题常常难以量化,结论易犯主观性毛病,不经过充分讨论研究和适当量化,就不能作出有足够说服力的结论.因决策问题而产生层次分析方法因决策问题而产生层次分析方法1970年代后期,针对决策问题的上述特性,力求以较客观的定量化方式来分析和解决决策问题,美国学者T.L.Saaty提出层次分析方法(简称AHP,英文全名是: Analytic Hierarchy Process) 以后的发展证明,此法是解决决策问题的一个行之有效的好方法,一经提出,立即在世界范围迅速传播,产生巨大影响. 1980年该法也传入我国. 例 旅游选点问题例 旅游选点问题某小家庭打算在十一黄金周出门旅游,他们拟从万佛湖,天堂寨和黄山三景点中挑选一个作为旅游目的地,如何决策?nullzy3y4y1x1, x2, x3y5y2万佛湖天堂寨黄 山景色费用食宿交通其它目标指标对象y1v1v2自然人文目标层: 就是最后决策. 对象层: 列出可供选择的对象. 指标层(还可细分):列出影响决策的主要因素.§3.2 层次分析基本步骤步骤① 建立层次模型 目标层: 就是最后决策. 对象层: 列出可供选择的对象. 指标层(还可细分):列出影响决策的主要因素. 主要指标的选取是关键,应该仔细列出一切影响决策的因素,并通过认真的分析和比较,从中(按计算能力)选出若干最关键的因素(本旅游问题选了5个).§3.2 层次分析基本步骤null步骤② 确定指标层对目标的权: Wz(y1,…,y5)=(w1,…,w5) =(0.48,0.27,0.05,0.10,0.10). 及对象层对每个指标的权: Wyi(x1,x2,x3),i=1,…,5. 步骤③ 确定对象层对目标的组合权(最后答案): Wz(x1,x2,x3)=Wz(y1,…,y5)A, 其中的A 是5行3列的矩阵,其第i行是Wyi.nullzy1y5yix1x2y3y4x3y2用向量 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示下层因素的重要性用向量表示下层因素的重要性设要考虑下层因素 v1,…,vn对其直接上层因素u的重要性贡献. 例如:u为景色;v1,v2 分别为人文景色,自然景色.某人认为,人文景色重要性比之自然景色是四六开,即 4:6.自然想到用一个行向量W=(0.4,0.6)来表示这个观点.uv1vn权向量的概念权向量的概念 元素全为非负且其和等于1的行向量 W=(w1,…,wn)称为权向量,满足 w1,…,wn0, w1+…+wn=1. 用权向量分量w1,…,wn分别表示下层因素 v1,…,vn对其直接上层因素u的重要性贡献.  任何正向量 W=(w1,…,wn)乘以正数 1/(w1+…+wn)后所得向量都是一个权向 量,这个权向量称为正向量 W 的归一化. (注意:线性相关正向量的归一化相同)正向量规一化的例子正向量规一化的例子nullnull上述旅游问题的组合权向量计算结果: Wz(x1,x2,x3)=(0.30,0.22,0.47) 结论:三景点对旅游选址重要性的大小顺序是: 黄山, 万佛湖, 天堂寨.A = Wz(x1,x2,x3)=Wz(y1,…,y5)A=(0.30,0.22,0.47).组合权向量计算公式:组合权向量计算公式:Wz(y1,…,y5)=(0.48,0.27,0.05,0.10,0.10); A = Wz(x1,x2,x3)=Wz(y1,…,y5)A=(0.30,0.22,0.47). 例如第一个对象(万佛湖)对选点重要性贡献是 0.48(0.08)+0.27(0.63)+0.05(0.43)+ 0.10(0.63)+0.10(0.17)=0.30.(加权平均)§3.3 层次分析的理论基础§3.3 层次分析的理论基础A. 基本工作模式是计算下层因素 v1,…,vn对其直接上层因素 u 的权: Wu(v1,…,vn), 这里, v1,…,vn可以是对象层、指标层或其子层; u 可以是目标或指标层的某一个因素.uv1vnnullB. AHP用成对比较法及9级记分法产生比较矩阵作为分析计算的基础 仍以求旅游问题的指标层对目标的权Wz(y1,…,y5)=(w1,…,w5)为例.即使你心目中已有了关于五个指标对目标重要性的一个估计,但要你写出你有充分根据的具体权(w1,…,w5)值,哪怕是近似值你也会感到很困难,因为要涉及5个因素细致而全面的综合比较.null 层次分析方法(AHP)所建议的解决办法是一种把困难化整为零的所谓成对比较法,即每次只比较两个因素重要性的比值: wi/wj,i,j=1,…,n  另外,AHP还建议估计wi/wj时,采用9级记分法,即:总是取其中小的一个为1,大的一个只在前9个正整数中取值.其尺度及含义如下(8,6,4,2取相应的中间含义):null权Wz(y1,…,y5)=(w1,…,w5)的一个比较矩阵该比较矩阵A=(aij)(wi/wj)的每个对角元均为1: wi/wi1; 先将y1与y2,y3,y4,y5成对比较得A的第1行;一般地,将yi与其它yj比较得A的第i行★. 下面是某人定出的一个比较矩阵:A =null★ 构造比较矩阵其实只需要估定对角线(不包括对角线)以上的元素aij,1i0.3null思考题3-4 对例2及思考题3-3中的比较矩阵Ay2(x)做可靠性检验.思考题#3-5 验证随机一致性指标思考题#3-5 验证随机一致性指标问题:编一个MATLAB程序验证程序验证上面给出的关于随机一致性指标RI(n)的表. 提示:用MATLAB函数: max(eig(A)) 求矩阵A的最大特征值; 产生(均匀分布的)随机一致矩阵的一个MATLAB程序如下： n=5;b=rand(n); %n阶随机方阵 for i=1:n-1 b(i,i)=1; for j=i+1:n if rand<0.5 b(i,j)=ceil(9*b(i,j)); %取整函数b(i,j){1,9} b(j,i)=1/b(i,j); else b(j,i)=ceil(9*b(j,i)); b(i,j)=1/b(j,i); end; end; end b(n,n)=1; bn=5;b=rand(n); %n阶随机方阵 for i=1:n-1 b(i,i)=1; for j=i+1:n if rand<0.5 b(i,j)=ceil(9*b(i,j)); %取整函数b(i,j){1,9} b(j,i)=1/b(i,j); else b(j,i)=ceil(9*b(j,i)); b(i,j)=1/b(j,i); end; end; end b(n,n)=1; bG.多层指标的处理• 可能出现多层指标情形,例如对旅游选点问题的景色指标y1下可再细分为人文景观v1,自然景观v2两种(如下一幻灯片所示). • 对多层指标情形的处理与单层指标情形仅在求组合权Wz(x1,x2,x3)时有所不同.下面 说明如何求这个组合权.问题的关键是如何求Wy1(x1,x2,x3)?(因求出它后就可完全按从前的方法(公式)求组合权Wz(x)=Wz(y)A) • 一个很自然的解决办法是:把y1视为目标; v1,v2视为指标层;x1,x2,x3视为对象层得到一个子层次结构,从而可按前面的方法求出 Wy1(x).G.多层指标的处理例 旅游选点问题例 旅游选点问题zx1, x2, x3景色费用食宿交通其它目标指标对象y1u1u2自然人文y2y3y4y5v1v2例 子层次结构例 子层次结构y1x1, x2, x3目标指标对象自然景色v1v2人文景色注: 多次使用这个化整为零的办法可以解决任何更复杂的多层次结构的层次分析问题. 注: 多次使用这个化整为零的办法可以解决任何更复杂的多层次结构的层次分析问题. §3.4 层次分析的若干问题 本节从应用的角度讨论几个有关问题.它们是: ⑴ 不完全层次分析(不同于上面讨论的每个因素都支配着下一层的所有因素的完全层次分析情形); ⑵ 集体层次分析; ⑶ 成对比较矩阵残缺时的处理.§3.4 层次分析的若干问题⑴ 不完全层次分析实例⑴ 不完全层次分析实例 以某教研室教师工作考核为例.该教研室共4名教师:x1,x2,x3,x4.不完全性表现在x1,x2只教学;x3既教学又科研;x4只科研.教学科研y2y1zx1x4x3x2不完全层次分析组合权的计算不完全层次分析组合权的计算• 用前面的方法先求出Wz(y1,y2)=(1,2); Wy1(x1,x2,x3)=(1,2,3)和 Wy2(x3,x4)= (3,4).其次作矩阵 B= • 最后仍有null意义:减少主观性的根本措施. 办法①:每个人对同一问题各自作层次分 析,再将他们的结果取平均值. 设共有m个人,他们各自为决定权 W=Wu(v1,…,vn),提供计算结果: W(j)=(wj1,…,wjn),j=1,…,m.则可综合大家意见得最终结果为 Wu(v1,…,vn)=(1/m)(W(1)+…+W(m))=(w1,…,wn) 其中 wj=(1/m)(w1j+…+wnj),j=1,…n. 注：这里W可以是最后的组合权，即最后结果； W也可以是每一个子结构涉及到的权. ⑵ 集体层次分析null②:每人只建立比较矩阵,统一由一人取他们的综合平均值得到最后的比较矩阵,再由此人进行AHP计算求得权 W=Wu(v1,…,vn). 注:求综合平均比较矩阵时,只须对任意i0).这就产生如何对此作修正,以便能继续进行权向量计算的问题. • 下面通过一个简例,介绍一种处理方法.设一成对比较矩阵为 A= 其中,符号表示残缺.null• 记由A计算的权向量为w=(w1,w2,w3)T,我们知道,用wi/wj代替残缺的aij是合理的; Aw=rw可以代替为Cw=rw,其中 C= 不难看出:Cw=rw又可以代替为Bw=rw,其中 B= (例如,Cw的第一元是w1+2w2+w1,Bw的第一元是2w1+2w2,它们相等) • 注:因a13残缺,没有比较1,3二因素的直接信息,但可通过a12和a23获得间接信息.null对比较矩阵有多个残缺元的一般情形 矩阵B的作法是 bij=0,当aij=,ij; bii=mi+1,mi为第i行的个数,i=j; 其它bij=aij. 并非任何残缺矩阵都是可以修补的. 怎样的残缺矩阵才是可以接受的呢?这个问题的答案依赖于比较矩阵中的0元的分布情况,已经证明:可以接受的残缺比较矩阵只是属于所谓”不可约矩阵”类★的比较矩阵.null ★ 实方阵A称为可约矩阵,如果把A的行列编号做适当调整之后,可使A变为下之分块形式: 其中,对角块A11,A22都是方阵.这个条件等价于用一个置换矩阵P及其转置矩阵(也是其逆矩阵)分别左,右乘A之后可使A变为上述分块形式. 例如, 是可约矩阵,因为§3.5 层次分析的广泛应用§3.5 层次分析的广泛应用1980年文献: T.L.Saaty,The Analitic Hierarchy Process, NcGram-Hill Company,1980. 问世之后,AHP方法迅速在全世界得到认可与采用,并广为流传.在涉及,评价,预测等方面的问题,遍及经济计划与管理,能源政策与分配,行为科学,军事指挥,运输,农业,教育,医疗,环境等领域都取得了显著的成绩。 AHP方法1980年代初也传入我国并取得很大成绩.大家今天学过此法以后,在你们今后的学习和工作中也许会派上用场. 下面介绍层次分析的几个应用实例.null实例1 某城市供热系统改造方案 解：化为分别以效益y1,费用y2为目标的两个层次分析问题,并分别求得组合权向量为 W1=(0.101,0.264,0.326,0.256,0.053) 和 W2=(0.056,0.326,0.192,0.388,0.040). W1的第3分量最大说明:热电联供效益最好;而W2的第5,第1分量最小说明:沼气,高效煤制品费用最低.问题是如何把两个方面结合起来进行分析. 把它们结合在一起进行综合分析时,可利用W1,W2的特点定义一个综合权向量W,其分量是W1的分量除以W2的对应分量.nullzy1节能环境社会y2投资旧设备社会x2x1x3x4x5高效煤制品区域供热热电联供煤气化郊区沼气化效益费用null代入已求出数据得到向量 (0.101/0.056,0.264/0.032,0.326/0.192,0.256/0.388,0.053/0.040) 再归一化得 W=(0.288,0.128,0.268,0.104,0.212). 综合意见: 推广高效煤炉及煤制品虽然效益不太高,但所需费用很低,少量资金投入即可迅速生效,可优先实施.待资金积累较多以后再上马热电联供方案.null实例2 科技成果的综合评价科技成果涉及的领域很广,种类繁多,这里指的是直接应用于国民经济的某个生产部门后,可迅速地转化为生产力.带来可定量计算的经济效益的那一类成果. 评价准则先分为效益,水平和规模3类;再在每类中确定若干具体指标. 如此构造的一个层次结构如下图所示.null实例2科技成果评价效益y1若干待评价科技成果水平y2规模y3直接经济效益社会效益间接经济效益技术创新技术水平学术创新学术水平zx1,…,xn计算过程计算过程• 先用常法求出权Wz(y)和Wy3(x); • 作两个子层次分析分别求出权Wy1(x)和Wy2(x); • 最后求组合权null实例3 大国综合实力排名次实力排名外贸经济军力人力社会科技参加排名国家null实例4 个人工作选择一个本科毕业大学生面临选择工作岗位,他(她)将要考虑的择业原则是: 能够发挥自己才干为国家作贡献;丰厚的收入;适合个人的兴趣与发展;良好的声誉;满意的人际关系和地理位置. 于是可以构成如下图所示的层次结构:null实例4关系贡献收入发展位置声誉可供选择单位工作选择null思考题3-6: 对你将来报考研究生或找工作,取4个你最在意的指标因素,和3个对象,用层次分析作一个定量计算,并检验计算结果的合理性(只要求对个别比较矩阵做可靠性检验).购买国际机票购买国际机票最后决策全部费用全程所需时间是否中国公司到目的地时间启程时间可供选择的国内外航空公司null实例5 MCM-92B有关问题1992年国际大学生数学建模竞赛B题是关于为沿海地区服务的电力公司处理风暴引起电力中断的应急系统修复计划.题中给出具体的计算机数据库,列举了一次事故发生当天,该公司接到的修复请求者及所涉及人数,并把请求者分类为居民点,政府部门,工业,商业,社区和紧急单位等六类.该问题要求建立安排 工作计划 幼儿园家访工作计划关于小学学校工作计划班级工作计划中职财务部门工作计划下载关于学校后勤工作计划 的客观准则,势必涉及按给定数据为请求者类型作优先级排序的问题. 这里介绍某参赛队用层次分析排序的详情.null先建立如下层次结构:合理排序 z单位重要性 y1 影响人数 y2居民点 x1紧急单位 x6政府部门 x2工业 x3商业 x4社区 x5null 在第二层两个因素之间进行比较,一种观点认为”单位重要性”比之”影响人数”为”强”,从而决定指标层对目标层的权向量为wz(y1,y2)=(5/6,1/6).  为了求对象层关于因素y1的权向量,将六个对象,即六类修复请求者之间进行成对比较,一种观点给出下列比较矩阵(其中,六个对象,按 居民点,政府部门,工业,商业,社区和紧急单位依次排序,即y1=居民点,…,y6=紧急单位):null用数学软件求得A的最大特征值为r(A)=6.589,对应归一化特征向量为 (0.026,0.188,0.141,0.045,0.051,0.549). 对于这个比较矩阵有 CI=0.589/5=0.118, CR=0.118/1.24<0.1,能通过一致性检验.所以上述归一化特征向量可以取为权 wy1(x1,…,x6).nullMCM92-B问题提供的数据有 总共87865人,各类型所占比率即为对”影响人数”的权系数: wy2(x1,…,x6) =(0.018,0.067,0.012,0.862,0.035,0.004). 最后求得组合权向量为 wz(x1,…,x6)=(5/6)wy1(x)+(1/6)wy2(x) =(0.025,0.168,0.119,0.181,0.048,0.458) 请求者类型的优先级即可按此向量排序如下: 紧急单位 商业 政府部门 工业 社区 居民点