智合教育……暑期蓝天行动
目录
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（一） 数字谜
- 2 -
① 横式字谜
- 4 -
② 竖式字谜
- 7 -
（二） 定义新运算
- 11 -
（三） 不规则图形面积计算（1）
- 14 -
（四） 不规则图形面积计算（2）
- 19 -
（五） 抽屉问题
- 22 -
（六） 逻辑推理
- 25 -
（七） 牛吃草
- 28 -
（八）
工程
路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理
问题
- 32 -
（九） 植树问题
- 35 -
（十） 有趣的树阵图
- 39 -
（十一） 有趣的树阵图练习
- 42 -
（十二） 周期性问题
- 47 -
（十三） 棋盘中的数学
数字谜
小朋友们都玩过字谜吧，就是一种文字游戏，例如“空中码头”（打一城市名）。谜底你还记得吗？记不得也没关系，想想“空中”指什么？“天”。这个地名第1个字可能是天。“码头”指什么呢？码头又称渡口，联系这个地名开头是“天”字，容易想到“天津”这个地名，而“津”正好又是“渡口”的意思。这样谜底就出来了：天津。
算式谜又被称为“虫食算”，意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了无法辨认，需要运用四则运算各部分之间的关系，通过推理判定被吃掉的数字，把算式还原。“虫食算”主要指横式算式谜和竖式算式谜，其中未知的数字常常用□、△、☆等图形符号或字母
表
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示。文字算式谜是前两种算式谜的延伸，用文字或字母来代替未知的数字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的数字，相同的数字或字母表示同一个数字。文字算式谜也是最难的一种算式谜。
在数学里面，文字也可以组成许许多多的数学游戏，就让我们一起来看看吧。
①
横式字谜
例题与方法指导
例1 □，□8，□97在上面的3个方框内分别填入恰当的数字，可以使得这3个数的平均数是150。那么所填的3个数字之和是多少？
思路导航：150*3-8-97-5=340
所以3个数之和为3+4+5=12。
例2 在下列算式的□中填上适当的数字，使得等式成立：
（1）6□□4÷56=□0□，
（2）7□□8÷37=□1□，
（3）3□□3÷2□=□17，
（4）8□□□÷58=□□6。
分析：（1） 6104/56=109
（2）7548/37=204
（3） 3393/29=117
（4）8468/58=146
例3 在算式40796÷□□□=□99……98的各个方框内填入适当的数字后，就可以使其成为正确的等式。求其中的除数。
分析：40796/102=399...98。
例4 我学数学乐×我学数学乐=数数数学数数学学数学
在上面的乘法算式中，“我、学、数、乐”分别代表的4个不同的数字。如果“乐”代表9，那么“我数学”代表的三位数是多少？
分析：学=1，我=8，数=6 ，81619*81619=6661661161
例5 □÷（□÷□÷□）=24在式中的4个方框内填入4个不同的一位数，使左边的数比右边的数小，并且等式成立。
思路导航：
这样，我们可以先用字母代替数字，原等式写成：a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b，(a
、<”等。表示运算意义的表达式，通常是使用四则运算符号，例如a☆b=3a-3b，新运算使用的符号是☆，而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。
正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义，严格按照规定的法则进行运算。如果没有给出用字母表示的规则，则应通过给出的具体的数字表达式，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。
值得注意的是：定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质，所以，不能盲目地运用定律和运算性质解题。
例题与方法指导
例1.
设 ab都表示数，规定a△b表示a的4倍减去b的3倍，即a△b=4×a-3×b,试计算5△6，6△5。
解5△6-5×4-6×3=20-18=2
6△5=6×4-5×3=24-15=9
说明 例1定义的△没有交换律，计算中不得将△前后的数交换。
例2.
对于两个数a、b,规定a☆b表示3×a+2×b,试计算（5☆6）☆7，5☆（6☆7）。
思路导航：
先做括号内的运算。
解 （5☆6）☆7=（5×3+6×2）☆7=27☆7=27×3+7×2=95
5☆（6☆7）=5☆（6×3+7×2）=5☆32=5×3+32×2=79
说明 本题定义的运算不满足结合律。这是与常规的运算有区别的。
例3.
已知2△3=2×3×4，4△2=4×5，一般地，对自然数a、b，a△b 表示a×(a+1)×…（a+b-1）.
计算（6△3）-（5△2）。
思路导航：
原式=6×7--5×6
=336-30
规定：a△=a+(a+1)+(a+2)+…+（a+b-1）,其中a,b表示自然数。
例4.
求1△100的值。已知x△10=75,求x.
思路导航：
（1）原式=1+2+3+…+100=（1+100）×100÷2=5050
（2）原式即x+(x+1)+(x+2)+…+（X+9）=75,
所以
10X+(1+2+3+…+9)=75
10x+45=75
10x=30
x=3
巩固训练
1.
若对所有b,a△b =a×x,x是一个与b无关的常数；a☆b=(a+b)÷2,且（1△3）☆3=1△（3☆3）。
求（1△4）☆2的值。
分析 注意本题有两种运算，由（1△3）☆3=1△（3☆3），可求出x.
解 因为（1△3）☆3=1△（3☆3），所以（1×x）
即
（x+3）÷2=x
x+3=2x
x=3
因为（1△4）☆2
=（1×4）☆2
=（4+2）÷2
=3
如果规定：③=2×3×4，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……，⑨=8×9×10，求⑨+⑧-⑦+⑥-⑤+④-③的值。
解题思路
依题意可以看出：定义的新运算为连续三个数的乘积，而且，⑤里的数就是三个连续数中的中间的哪个数，即③是2，3，4三个连续的乘积，④是3，4，5三个连续睡的乘积，从而不难求出⑨+⑧-⑦+⑥-⑤+④-③的值。
解：原式=8×9×10+7×8×9-6×7×8+5×6×7-4×5×6+3×4×5-2×3×4
=720+504+-339+210-120+60-24
=1014
能力提升
答案
不规则图形面积计算（1）
我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：
实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。
那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。
一、例题与方法指导
例1
如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。
思路导航：
阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。
例2
如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.
思路导航：
∵△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，
∴四边形 AECF的面积与△ABE、△ADF的面积都等于正方形ABCD的
。
在△ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，
∴△ECF的面积为2×2÷2=2。
所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）。
例3
两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。
思路导航：
在等腰直角三角形ABC中
∵AB=10
∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，
∴阴影部分面积=S△ABG-S△BEF=25-8=17（平方厘米）。
例4
如右图，A为△CDE的DE边上中点，BC=CD，若△ABC（阴影部分）面积为5平方厘米.
求△ABD及△ACE的面积.
思路导航：
取BD中点F，连结AF.因为△ADF、△ABF和△ABC等底、等高，
所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.
∴△ACD的面积等于15平方厘米，△ABD的面积等于10平方厘米。
又由于△ACE与△ACD等底、等高，所以△ACE的面积是15平方厘米。
二、巩固训练
1.
如右图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8平方厘米，它是三角形DEC的面积的
，求正方形ABCD的面积。
解：过E作BC的垂线交AD于F。
在矩形ABEF中AE是对角线，所以S△ABE=S△AEF=8.
在矩形CDFE中DE是对角线，所以S△ECD=S△EDF。
2.
如右图，已知：S△ABC=1，AE=ED,BD=
BC.求阴影部分的面积。
解：连结DF。∵AE=ED，
∴S△AEF=S△DEF；S△ABE=S△BED
3.
如右图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的长DG为5厘米，求它的宽DE等于多少厘米？
解：连结AG，自A作AH垂直于DG于H，在△ADG中，AD=4，DC=4（AD上的高）.
∴S△AGD=4×4÷2=8，又DG=5，
∴S△AGD=AH×DG÷2，
∴AH=8×2÷5=3.2（厘米），
∴DE=3.2（厘米）。
4.
如右图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，△AED的面积是5平方米，BC=10米，求阴影部分面积.
解：∵梯形面积=（上底+下底）×高÷2
即45=（AD+BC）×6÷2，
45=（AD+10）×6÷2，
∴AD=45×2÷6-10=5米。
∴△ADE的高是2米。
EBC的高等于梯形的高减去△ADE的高，即6-2=4米，
5.
如右图，四边形ABCD和DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等.
证明：连结CE，
ABCD的面积等于△CDE面积的2倍，
而 DEFG的面积也是△CDE面积的2倍。
∴ ABCD的面积与 DEFG的面积相等。
不规则图形面积计算（2）
不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”（即：集合A与集合B之间有：SA∪B＝SA＋Sb-SA∩B）合并使用才能解决。
例题与方法指导
例1
.
如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部分的面积。
解法1：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到右图.这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等.所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。
解法2：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一半。
解法3：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影部分的面积是正方形的一半.
例2.
如右图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。
解：由容斥原理 S阴影＝S扇形ACB＋S扇形ACD-S正方形ABCD
例3
如右图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半径AE＝6厘米，扇形CBF的半CB=4厘米，求阴影部分的面积。
例4.
如右图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝20厘米，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，求BC长。
分析 已知阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，就是半圆面积比三角形ABC面积大7平方厘米；又知半圆直径AB＝20厘米，可以求出圆面积.半圆面积减去7平方厘米，就可求出三角形ABC的面积，进而求出三角形的底BC的长.
巩固训练
1.
如右图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。
分析 阴影部分的面积，等于底为16、高为6的直角三角形面积与图中（I）的面积之差。而（I）的面积等于边长为6的正方形的面积减去
以6为半径的圆的面积。
2.
如右图，将直径AB为3的半圆绕A逆时针旋转60°，此时AB到达AC的位置，求阴影部分的面积（取π=3）.
解：整个阴影部分被线段CD分为Ⅰ和Ⅱ两部分，以AB为直径的半圆被 弦AD分成两部分，设其中AD右侧的部分面积为S，由于弓形AD是两个半圆的公共部分，去掉AD弓形后，两个半圆的剩余部分面积相等.即Ⅱ=S，由于：
3.
如右图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积.
4.
如下页右上图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周上的中点，BC是半圆的直径，且AB=BC=10，求阴影部分面积（π取3.14）。
解：∵三角形ABC是等腰直角三角形，以AC为对角线再作一个全等的等腰直角三角形ACE，则ABCE为正方形（利用对称性质）。
总结
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：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.常用的基本方法有：
相加法：
这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了.
相减法：
这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.
直接求法：
这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它就是一个底是2，高为4的三角形，面积可直接求出来。
重新组合法：
这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了.
辅助线法：
这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便.
割补法：
这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.
平移法：
这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如右图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。
旋转法：
这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A与C重合，从而构成如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.
对称添补法：
这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求右图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。
十、重叠法：
这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然后运用“容斥原理”（SA∪B＝SA＋SB-SA∩B）解决。例如，欲求右图中阴影部分的面积，可先求两个扇形面积的和，减去正方形面积，因为阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分.
抽屉问题
如果将5个苹果放到3个抽屉中去，那么不管怎么放，至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。道理很简单，如果每个抽屉中放的苹果都少于2个，即放1个或不放，那么3个抽屉中放的苹果的总数将少于或等于3，这与有5个苹果的已知条件相矛盾，因此至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。
同样，有5只鸽子飞进4个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。
以上两个简单的例子所体现的数学原理就是“抽屉原理”，也叫“鸽笼原理”。
抽屉原理1：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
说明这个原理是不难的。假定这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2件，那么每一个抽屉中的物品或者是一件，或者没有。这样，n个抽屉中所放物品的总数就不会超过n件，这与有多于n件物品的假设相矛盾，所以前面假定“这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2件”不能成立，从而抽屉原理1成立。
从最不利原则也可以说明抽屉原理1。为了使抽屉中的物品不少于2件，最不利的情况就是n个抽屉中每个都放入1件物品，共放入n件物品，此时再放入1件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有1个抽屉不少于2件物品。这就说明了抽屉原理1。
例题与方法指导
例1.
某幼儿园有367名1996年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？
分析与解：1996年是闰年，这年应有366天。把366天看作366个抽屉，将367名小朋友看作367个物品。这样，把367个物品放进366个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个物品。因此至少有2名小朋友的生日相同。
例2.
在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？
分析与解：因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形。我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”。一个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里。
将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以3的余数相同。这两个数的差必能被3整除。
例3.
在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数？
分析与解：根据例2的讨论，任何整数除以3的余数只能是0，1，2。现在，对于任意的五个自然数，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的数，于是可分下面两种情形来加以讨论。
第一种情形。有三个数在同一个抽屉里，即这三个数除以3后具有相同的余数。因为这三个数的余数之和是其中一个余数的3倍，故能被3整除，所以这三个数之和能被3整除。
第二种情形。至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每个抽屉里各取一个数，这三个数被3除的余数分别为0，1，2。因此这三个数之和能被3整除。
综上所述，在任意的五个自然数中，其中必有三个数的和是3的倍数。
巩固训练
1.
有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？
分析与解：由于题目只要求判断两堆水果的个数关系，因此可以从水果个数的奇、偶性上来考虑抽屉的设计。
对于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可能，所以每堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有4种情形：
（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），
其中括号中的第一个字表示苹果数的奇偶性，第二个字表示桔子数的奇偶性。
将这4种情形看成4个抽屉，现有5堆水果，根据抽屉原理可知，这5堆水果里至少有2堆属于上述4种情形的同一种情形。由于奇数加奇数为偶数，偶数加偶数仍为偶数，所以在同一个抽屉中的两堆水果，其苹果的总数与桔子的总数都是偶数。
2.
用红、蓝两种颜色将一个2×5方格图中的小方格随意涂色（见右图），每个小方格涂一种颜色。是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？
分析与解：用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形：
将上面的四种情形看成四个“抽屉”。根据抽屉原理，将五列放入四个抽屉，至少有一个抽屉中有不少于两列，这两列的小方格中涂的颜色完全相同。
在上面的几个例子中，例1用一年的366天作为366个抽屉；例2与例3用整数被3除的余数的三种情形0，1，2作为3个抽屉；例4将一条线段的10等份作为10个抽屉；例5把每堆水果中，苹果数与桔子数的奇偶搭配情形作为4个抽屉；例6将每列中两个小方格涂色的4种情形作为4个抽屉。由此可见，利用抽屉原理解题的关键，在于恰当地构造抽屉。
3.
在长度是10厘米的线段上任意取11个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于1厘米？
分析与解：把长度10厘米的线段10等分，那么每段线段的长度是1厘米（见下图）。
将每段线段看成是一个“抽屉”，一共有10个抽屉。现在将这11个点放到这10个抽屉中去。根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的点（包括这些线段的端点）。由于这两个点在同一个抽屉里，它们之间的距离当然不会大于1厘米。
所以，在长度是10厘米的线段上任意取11个点，至少存在两个点，它们之间的距离不大于1厘米。
拓展提升
1.
有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。
分析与解答 首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉.把每人的3枚棋作为一组当作一个苹果，因此共有5个苹果.把每人所拿3枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉.由于有5个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。
一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？
分析与解答 扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃4种花色，2张牌的花色可以有：2张方块，2张梅花，2张红桃，2张黑桃，1张方块1张梅花，1张方块1张黑桃，1张方块1张红桃，1张梅花1张黑桃，1张梅花1张红桃，1张黑桃1张红桃共计10种情况.把这10种花色配组看作10个抽屉，只要苹果的个数比抽屉的个数多1个就可以有题目所要的结果.所以至少有11个人。
3.
从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。
分析与解答 我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉：
凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34。
现从题目中的15个偶数中任取9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8个），必有两个数在同一个抽屉中.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是34。
逻辑推理
曾经爱因斯坦出过一道测试题, 他说世界上有98%的人回答不出!!让我们一起来看看是什么题呢。
在一条街上有5座颜色不同的房子，住着5个不同国家的人，他们抽着5种不同的烟，喝着5种不同的饮料，养着5种不同的宠物。有下面15个已知条件，求解。
1、英国人住红色房子。
2、瑞典人养狗。
3、丹麦人喝茶。
4、绿色房子在白色房子左面。
5、绿色房子主人喝咖啡。
6、抽Pall Mall香烟的人养鸟。
7、黄色房子主人抽Dunhill香烟。
8、住在中间房子的人喝牛奶。
9、挪威人住第一间房。
10、抽Blends香烟的人住在养猫的人隔壁。
11、养马的人住抽Dunhill香烟的人隔壁。
12、抽Blue Master的人喝啤酒。
13、德国人抽Prince香烟。
14、挪威人住蓝色房子隔壁。
15、抽Blends香烟的人有一个喝水的邻居。
问:哪个国家的人养鱼?
这道题为什么会难倒这么多人呢，首先，我们就来研究一下关于他的最基本的逻辑问题吧。
例题与方法指导
例1.
某地质学院的学生对一种矿石进行观察和鉴别：
甲判断：不是铁，也不是铜。
乙判断：不是铁，而是锡。
丙判断：不是锡，而是铁。
经化验证明：有一个人的判断完全正确，有一个人说对了一半，而另一个人完全说错了。你知道三人中谁是对的，谁是错的，谁是只对一半的吗？
思路导航：
丙全说对了，甲说对了一半，乙全说错了。先设甲全对，推出矛盾后，再设乙全对，又推出矛盾，则说明丙全对，甲说对了一半，乙全说错了。
例2.
数学竞赛后，小明、小华和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌。老师猜测：“小明得金牌，小华不得金牌，小强不得铜牌。”结果老师只猜对了一个，那么谁得金牌，谁得银牌，谁得铜牌？
思路导航：
小华得金牌，小强得银牌，小明得铜牌。
（1）若小明得金牌，小华一定“不得金牌”，这与“老师只猜对了一个”相矛盾，不合题意。
（2）若小华得金牌，那么“小明得金牌”与“小华不得金牌”这两句都是错的，那么“小强不得铜牌”应是正确的，那么小强得银牌，小明得铜牌。
例3.
一位法官在审理一起盗窃案中，对涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁进行了审问。四人分别供述如下：
甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中。”
乙说：“我没有做案，是丙偷的。”
丙说：“在甲和丁中间有一人是罪犯。”
丁说：“乙说的是事实。”
经过充分的调查，证实这四人中有两人说了真话，另外两人说的是假话。
同学们，请你做一名公正的法官，对此案进行裁决，确认谁是罪犯？
思路导航：
乙和丁是盗窃犯。如果甲说的是假话，那么剩下三人中有一人说的也是假话，另外两人说的是真话。可是乙和丁两人的观点一致，所以在剩下的三人中只能是丙说了假话，乙和丁说的都是真话。即“丙是盗窃犯”。这样一来，甲说的也是对的，不是假话。这样，前后就产生了矛盾。所以甲说的不可能是假话，只能是真话。同理，剩下的三人中只能是丙说真话。乙和丁说的是假话，即丙不是罪犯，乙是罪犯。又由甲所述为真话，即甲不是罪犯。再由丙所述为真话，即丁是罪犯。
巩固训练
1.
小王、小张、小李三人在一起，其中一位是工人，一位是战士，一位是大学生。现在知道：小李比战士年龄大，小王和大学生不同岁，大学生比小张年龄小。那么三人各是什么职业?
解：小李是大学生，小王是战士，小张是工人.
2.
甲、乙、丙分别是来自中国、日本和英国的小朋友。甲不会英文，乙不懂日语却与英国小朋友热烈交谈。问：甲、乙、丙分别是哪国的小朋友？
解：甲是日本人，乙是中国人，丙是英国人。
3.
徐、王、陈、赵四位师傅分别是工厂的木工、车工、电工和钳工，他们都是象棋迷。
（1）车工只和电工下棋；
（2）王、陈两位师傅经常与木工下棋；
（3）徐师傅与电工下棋互有胜负；
（4）陈师傅比钳工下得好。
问：徐、王、陈、赵四位师傅各从事什么工种？
徐是车工，王是钳工，陈是电工，赵是木工。
解：提示：由（2）（3）（1）可画出右表：
牛吃草
牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。
由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。这类问题常用到四个基本公式，分别是：
（1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；
（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；
（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变，设为"1"，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。
例题与方法指导
例1.
青青一牧场
青青一牧场，牧草喂牛羊；放牛二十七，六周全吃光。
改养廿三只，九周走他方；若养二十一，可作几周粮？
（注：“廿”的读音与“念”相同。“廿”即二十之意。）
【解说】这道诗题，是依据闻名于世界的“牛顿牛吃草问题”编写的。牛顿是英国人，他的种种事迹早已闻名于世，这里不赘述。他曾写过一本书，名叫《普遍的算术》，“牛吃草问题”就编写在这本书中。书中的这道题目翻译过来是：
一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完。若是21头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草是不断生长的。）
解答这一问题，首先必须注意牧场里的草是不断生长增多的，而并非一个固定不变的数值。这虽然大大地增加了解题的难度，但我们不要害怕。只要依据下面的思路，就一定会找到问题的答案。
思路导航：
因为27头6星期草料=（27×6=）162头一星期草料
23头9星期草料=（23×9=）207头一星期草料
而这一牧场6星期吃完与9星期吃完，草料数量要相差207—162=45（头牛吃一星期的草料）
这多出的草料，便是 9—6=3（个星期之内新长出的草料）
所以，一个星期新长出的草料便是
45÷3=15（头牛吃一星期的草料）
进而可知，这牧场最初的草料数量就是
（27—15）×6=72（头牛吃一个星期的草料）
现在，有21头牛来吃这牧场里的草，其中必须拿出15头牛来吃每个星期新长出来的草料，这就只剩下：21-15=6（头牛）
去吃最初已经长成的草料了。所以，21头牛来吃这牧场的草料，全部吃光所需要的时间就是
72÷6=12（个星期）
列成综合算式，就是：
[27-（23×9—27×6）÷（9—6）]×6÷[21-（23×9—27×6）÷（9—6）]
=[27-45÷3]×6÷[21-45÷3]
＝12×6÷6
=12（个星期）
答：21头牛要12个星期才可以吃完。
例2.
一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛27头，6天把草吃尽，同样一片牧场，牛23头，9天把草吃尽。如果有牛21头，几天能把草吃尽？
摘录条件：
27头 6天 原有草+6天生长草
23头 9天 原有草+9天生长草
21头 ？天 原有草+？天生长草
解答这类问题关键是要抓住牧场青草总量的变化。设1头牛1天吃的草为"1"，由条件可知，前后两次青草的问题相差为23×9-27×6=45。为什么会多出这45呢？这是第二次比第一次多的那（9-6）＝3天生长出来的，所以每天生长的青草为45÷3=15
现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足15头牛吃。由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢？
（27-15）×6=72
那么：第一次吃草量27×6=162第二次吃草量23×9=207
每天生长草量45÷3=15
原有草量（27-15）×6=72或162-15×6=72
21头牛分两组，15头去吃生长的草，其余6头去吃原有的草那么72÷6=12（天）
例3.
一水库原有存水量一定，河水每天入库。5台抽水机连续20天抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？
摘录条件：
5台 20天 原有水+20天入库量
6台 15天 原有水+15天入库量
？台 6天 原有水+6天入库量
设1台1天抽水量为"1"，第一次总量为5×20=100，第二次总量为6×15=90
每天入库量(100-90)÷(20-15)=2
20天入库2×20=40，原有水100-40=60
60+2×6=7272÷6=12（台）
巩固训练
某车站在检票前若干分钟就开始排队了，每分钟来的旅客一样多，从开始检票到队伍消失（还有人在接受检票），若开5个检票口，要30分钟，开6个检票口，要20分钟。如果要在10分钟消失，要开多少个检票口？
解：把每个检票口一分钟检票量作为1份，则每分钟来的旅客为：
﹙5×30-6×20﹚÷﹙30-20﹚=3份 开始检票前有旅客：5×30－30×3=60份
所以要10分钟剪完票，需要看开﹙60＋3×10﹚÷10=9个
画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。
解：设每一个入场口每分钟通过“1份”人。
每分钟到来的人有﹙27-25﹚÷﹙9-5﹚=0.5份人
开门前已经有27-0.5×9=22.5份人
这些人来到画展，用时间22.5÷0.5=45（分）
第一个观众到达的时间为9点-45分=8点15分
由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天匀速减少。经过计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或者供16头牛吃6天，那么这片牧场上的草可供11头牛吃几天？
解：20头牛5天吃草20×5=100（份），16头牛6天吃草16×6=96（份）
青草每天减少（100-96）÷﹙6-5﹚=4（份） 牧场原有草：100+4×5=120（份）
每天减少4份草，相当于4头牛吃掉，所以120份草可供11＋4=15头牛吃8天。
由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。如果牧场上的草可供20头牛吃5天，或者供15头牛吃6天，那么可供多少头牛吃10天？
解：青草每天减少（20×5-15×6）÷﹙6-5﹚＝10（份）
牧场原有草：100+10×5=150（份） 150份草10天可供150÷10=15（头）
但每天减少10份，相当于10头牛吃掉，所以只能供牛：15-15（头）
拓展提升
1.
自动扶梯以均匀的速度由上往下行驶，小明和小红要从扶梯上楼，小明每分钟走20梯级，小红每分钟走14梯级，结果小明4分钟到达楼上，小红用5分钟到达楼上，求扶梯共有多少级？
解：电梯每分钟走20×4-14×5=10（级）
所以扶梯共有（20＋10）×4=120（级）
2.
两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶走向井底，白天往下走，一只蜗牛一个白天能走20分米，另一只只能走15分米；黑夜里往下滑，两只蜗牛下滑速度相同，结果一只蜗牛5昼夜到达井底，另一只却恰好用了6昼夜。问井深是多少？
解：蜗牛黑夜下滑的速度为﹙20×5-15×6﹚÷﹙6-5﹚=10（分米）。
井深：﹙20+10﹚×5=150（分米）
3.
有三块草地，面积分别是5公顷，15公顷和24公顷。草地上的草一样厚而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天；第二块草地可供28头牛吃45天。那么第三块草地可供多少头牛吃80天？
解：一头牛一天吃草量为1份
10×30=300 ………………5公顷草量+5公顷30天生长量
300÷5=60 ………………1公顷草量+1公顷30天生长量
28×45=1260 ………………15公顷草量+15公顷45天生长量
1260÷15=84 ………………1公顷草量+1公顷45天生长量
﹙84-60﹚÷﹙45-30﹚=1.6 ………………1公顷1天生长量
1公顷草地原有草：60-1.6×30=12
24公顷草地原有草够多少头牛吃80天：12×24÷80=3.6（头）
24公顷草地每天生长的草够多少头牛吃：1.6×24=38.4（头）
共3.6+38.4=42头
4.
12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草。多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？
解：一公亩一天新生长草量可供多少头牛吃一天？
﹙63×21÷30-12×28÷10﹚÷﹙63－28﹚＝0.3（头）
一公亩原有牧草可供多少头牛吃一天？
12×28÷10-0.3×28=25.2（头）
72公亩的牧草可供多少头牛吃126天？
72×25.2÷126+72×0.3=36（头）
工程问题
顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。
在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：
工作量=工作效率×工作时间，
工作时间=工作量÷工作效率，
工作效率=工作量÷工作时间。
工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可
工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。
工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。
一、例题与方法指导
例1.
单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？
思路导航：
以全部工程量为单位1。甲队单独干需100天，甲的工作效
INCLUDEPICTURE "http://www.xiao5.cn/TK/ktlx/6/_OLE2387.JPG" \* MERGEFORMATINET
例2.
某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18天才完成任务。问：甲队干了多少天？
思路导航：
将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。
答：甲队干了12天。
例3.
单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？
思路导航：
乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了
例4.
一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。这批零件共有多少个？
思路导航：
这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间，
巩固训练
1.
一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管
浙公网安备 33021202002483