2.4.2 抛物线的简单几何性质 题组训练-2021-2022学年高二上学期数学人教A版选修2-1第二章（Word版，含解析）

2.4.2　抛物线的简单几何性质基础过关练题组一　抛物线几何性质的应用1.(2018湖南长沙高三上学期期末)已知点A是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,O为坐标原点,当|AF|=4时,∠OFA=120°,则抛物线的准线方程是　(　　)A.x=-1B.y=-1C.x=-2D.y=-22.抛物线x2=4y关于直线x+y=0对称的曲线的焦点坐标为(　　)A.(1,0)B.(-1,0)C.116,0D.0,-1163.设A,B是抛物线x2=4y上的两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的面积为16,则∠AOB=(　　)A.30°B.45°C.60°D.90°4.已知抛物线的离心率为e,焦点为(0,e),则抛物线的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程为　　　　. 5.已知抛物线y2=8x.(1)写出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的取值范围;(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.题组二　抛物线的中点弦、焦点弦问题6.过抛物线x2=4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,若y1+y2=6,则|P1P2|=(　　)A.5B.6C.8D.107.设抛物线y2=9x与直线2x-3y-8=0交于A,B两点,则线段AB的中点的坐标为(　　)A.1138,-274B.1138,274C.-1138,-274D.-1138,2748.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为(　　)A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-29.已知直线l过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线交于A,B两点,若|AB|=8,求直线l的方程.题组三　直线与抛物线的位置关系10.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则(　　)A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点11.若直线y=kx+2与抛物线y2=8x只有一个公共点,则实数k的值为(　　)A.1B.1或3C.0D.0或112.若直线l:y=(a+1)x-1与曲线C:y2=ax(a≠0)恰好有一个公共点,求实数a的取值集合.13.已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点.(1)求证:OA⊥OB;(2)当△AOB的面积等于10时,求k的值.能力提升练一、选择题1.(四川成都双流中学高三月考,★★☆)过点(-1,0)且倾斜角为45°的直线与抛物线y2=4x的位置关系是(　　)A.相交且有两个公共点B.相交且有一个公共点C.相切且有一个公共点D.无公共点2.(广东梅州高三质检,★★☆)已知过抛物线y2=42x的焦点F的直线与抛物线交于点A,B,AF=3FB,抛物线的准线l与x轴交于点C,AM⊥l于点M,则四边形AMCF的面积为(　　)A.123B.12C.83D.633.(湖北襄阳高三调研,★★☆)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若△OFM(O为坐标原点)的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p=(　　)A.2B.4C.6D.84.(吉林长春高三月考,★★☆)已知椭圆x24+y23=1的右焦点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过F作倾斜角为60°的直线分别交抛物线于A,B两点(点A在x轴上方),则|AF||BF|的值为(　　)A.3B.2C.3D.45.(2018广东佛山高二月考,★★☆)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2x1x2的值为(　　)A.4B.-4C.p2D.-p26.(2018江西宜春高二月考,★★★)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA·OB=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)A.2B.3C.1728D.10二、填空题7.(四川成都石室中学高三开学考试,★★☆)已知抛物线y2=4x的一条弦AB经过焦点F,O为坐标原点,点M在线段OB上,且|OB|=3|OM|,点N在射线OA上,且|ON|=3|OA|,过M,N分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为C,D,则|CD|的最小值为　　　. 8.(安徽宣城高二期末,★★☆)已知抛物线E:y2=12x的焦点为F,准线为l,过F的直线m与E交于A,B两点,过A作AM⊥l,垂足为M,AM的中点为N,若AM⊥FN,则|AB|=　　　. 9.(北京丰台高三期末,★★★)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,则F的坐标为　　　　;过点F的直线交抛物线C于A,B两点,若|AF|=4,则△AOB的面积为　　　　. 10.(2018云南质检,★★★)对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P(a,0)满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是　　　　. 三、解答题11.(河北石家庄二中高二月考,★★☆)在直角坐标系xOy中,抛物线C:y=x24与直线l:y=kx+4交于M,N两点.(1)当k=0时,求抛物线C在点M和N处的切线方程;(2)在y轴上是否存在一点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?请说明理由.12.(2018湖南六校联考,★★★)如图所示,已知点M(a,3)是抛物线y2=4x上一定点,直线AM,BM的斜率互为相反数,且与抛物线另交于A,B两个不同的点.(1)求点M到其准线的距离;(2)求证:直线AB的斜率为定值. 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 全解全析基础过关练1.A　如图所示,过A作准线的垂线AC,过F作AC的垂线FB,垂足分别为C,B,由题意得∠BFA=∠OFA-90°=30°,所以|AB|=|AF|·sin30°=2,A点到准线的距离d=|AB|+|BC|=p+2=4,解得p=2,则抛物线的准线方程是x=-1,故选A.2.B　设抛物线x2=4y关于直线x+y=0对称的曲线为Q,易知Q为抛物线,其焦点与抛物线x2=4y的焦点关于直线x+y=0对称,因为抛物线x2=4y的焦点坐标为(0,1),所以Q的焦点坐标为(-1,0).故选B.3.D　由|OA|=|OB|,知抛物线上的点A,B关于y轴对称,设A-a,a24,Ba,a24(a>0),则S△AOB=12×2a×a24=16,解得a=4,所以|AB|=8,|OA|=|OB|=42,所以∠AOB=90°.4.答案　x2=4y解析　由e=1,得焦点为(0,1),所以抛物线的标准方程为x2=4y.5.解析　(1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的取值范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴,x≥0.(2)不妨令点A位于x轴上方,点B位于x轴下方,如图所示,由|OA|=|OB|,可知AB⊥x轴,设垂足为M,又焦点F是△OAB的重心,所以|OF|=23|OM|.因为F(2,0),所以|OM|=32|OF|=3,所以M(3,0),故设A(3,m).代入y2=8x,得m2=24,所以m=26或m=-26,所以A(3,26),B(3,-26),所以|OA|=|OB|=33,|AB|=46,所以△OAB的周长为233+46.6.C　抛物线x2=4y的准线方程为y=-1,因为P1(x1,y1),P2(x2,y2)是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点,所以P1(x1,y1),P2(x2,y2)到准线的距离分别是y1+1,y2+1,所以|P1P2|=y1+y2+2=8.7.B　由2x-3y-8=0,得x=32y+4,代入y2=9x,得y2-272y-36=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点坐标为(x0,y0),则y0=y1+y22=274,x0=x1+x22=1232y1+4+32y2+4=34(y1+y2)+4=32y0+4=1138,故AB的中点的坐标为1138,274.故选B.8.B　抛物线的焦点坐标为p2,0,所以过焦点且斜率为1的直线的方程为y=x-p2,即x=y+p2,代入y2=2px得y2=2py+p2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,又由题意得y1+y22=2,所以2p=4,p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.9.解析　易知抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),若直线l与x轴垂直,则直线l的方程为x=1,此时|AB|=4,不合题意,所以可设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0).由y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则由根与系数的关系,得x1+x2=2k2+4k2.又AB过焦点,所以由抛物线的定义可知|AB|=x1+x2+p=2k2+4k2+2=8,所以2k2+4k2=6,解得k=±1.所以直线l的方程为x+y-1=0或x-y-1=0.10.C　因为直线y=kx-k=k(x-1),所以直线过点(1,0).又点(1,0)在抛物线y2=2px(p>0)的内部,所以当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.故选C.11.D　当k=0时,直线方程为y=2,此时直线与抛物线的对称轴平行,易知直线与抛物线只有一个交点;当k≠0时,联立方程y=kx+2,y2=8x,消去y,得k2x2+(4k-8)x+4=0,令Δ=(4k-8)2-16k2=0,解得k=1.综上,当直线y=kx+2与抛物线y2=8x只有一个公共点时,k=0或k=1.12.解析　联立方程y=(a+1)x-1,y2=ax,消去y并整理,得(a+1)2x2-(3a+2)x+1=0(*).因为直线l与曲线C恰好有一个公共点,所以方程(*)有唯一解或两个相等的实数解.(1)当a+1=0,即a=-1时,方程(*)是关于x的一元一次方程,解得x=-1,方程(*)有唯一解,满足题意.(2)当a+1≠0,即a≠-1时,方程(*)是关于x的一元二次方程.令Δ=(3a+2)2-4(a+1)2=a(5a+4)=0,解得a=0(舍去)或a=-45.此时,方程(*)有两个相等的实数解.综上,实数a的取值集合是-1,-45.13.解析　(1) 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 :易知直线OA,OB的斜率均存在,且k≠0.联立y2=-x,y=k(x+1),消去x并整理,得ky2+y-k=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得y1+y2=-1k,y1y2=-1.所以kOA·kOB=y1x1·y2x2=y1-y12·y2-y22=1y1y2=-1,所以OA⊥OB.(2)设直线y=k(x+1)与x轴交于点N,如图.易知直线过定点(-1,0),即N(-1,0),所以S△OAB=S△OAN+S△OBN=12|ON||y1|+12|ON||y2|=12|ON||y1-y2|=12×1×(y1+y2)2-4y1y2=12×-1k2+4=10,所以k=±16.能力提升练一、选择题1.C　过点(-1,0)且倾斜角为45°的直线方程为y=x+1,将其代入y2=4x,得x2-2x+1=0,Δ=4-4=0,∴方程有两个相等实数根,∴该直线与抛物线y2=4x有唯一公共点且相切.2.A　如图,过点B作BN⊥l于点N,BK⊥AM于点K.设|BF|=m,则|AF|=|AM|=3m,|BN|=m,|AB|=4m,∴|AK|=|AM|-|BN|=2m,∴∠BAM=60°,∴∠BFC=60°,∴|CF|=|BN|+12|BF|=32m=22,∴m=423,∴|AM|=3m=42,|MC|=|AF|sin60°=3m×32=26,∴S四边形AMCF=12(|CF|+|AM|)·|MC|=12×(22+42)×26=123.3.D　∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.∵圆的面积为36π,∴圆的半径为6.又圆心在OF的垂直平分线上,|OF|=p2,∴p2+p4=6,∴p=8.故选D.4.C　椭圆x24+y23=1的右焦点为(1,0),所以p2=1,解得p=2,则y2=4x,易得直线AB的方程为y=3(x-1).联立方程y2=4x,y=3(x-1),消去y,得3x2-10x+3=0,解得x1=3,x2=13.则点A的横坐标xA=3,点B的横坐标xB=13,所以|AF||BF|=xA+p2xB+p2=3+113+1=3.5.B　解法一:(特例法)当直线垂直于x轴时,Ap2,p,Bp2,-p,则y1y2x1x2=-p2p24=-4.故选B.解法二:当直线斜率存在时,设直线方程为y=kx-p2.由y=kx-p2,y2=2px,得y2-2pky-p2=0,可得y1y2=-p2,则y1y2x1x2=y1·y2y122p·y222p=4p2y1y2=4p2-p2=-4.6.B　设点A的坐标为(a2,a),点B的坐标为(b2,b),直线AB的方程为x=ty+m(m>0),与抛物线方程y2=x联立,消去x,得y2-ty-m=0,故ab=-m,易知m为直线AB与x轴交点的横坐标,且m>0.由OA·OB=2,得a2b2+ab=2,故ab=-2或ab=1(舍去),所以m=2,所以△ABO的面积等于12m|a-b|=|a-b|=a+2a,△AFO的面积等于12×14|a|=|a|8,所以△ABO与△AFO的面积之和为a+2a+|a|8=98a+2a≥298|a|×2|a|=3,当且仅当98|a|=2|a|,即|a|=43时,等号成立.故选B.二、填空题7.答案　4解析　抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),又直线AB过点(1,0),所以设直线AB的方程为y=k(x-1),与抛物线的方程联立,消去x,得y2-4ky-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4k,y1y2=-4,所以|CD|=13y2-3y1=13y2+12y2=13|y2|+12|y2|≥213|y2|×12|y2|=4当且仅当13|y2|=12|y2|,即|y2|=6时取等号,则|CD|的最小值为4.8.答案　16解析　由题意画出图象,如图所示.∵|AF|=|AM|,N为AM的中点,∴|AN|=12|AM|=12|AF|.又FN⊥AM,∴∠AFN=30°,则直线AB的倾斜角为60°,斜率为3.又直线AB过抛物线y2=12x的焦点F(3,0),则直线AB的方程为y=3(x-3).由y=3(x-3),y2=12x得x2-10x+9=0,则xA+xB=10,∴|AB|=xA+xB+6=16.9.答案　(1,0);433解析　由抛物线C:y2=4x,可得焦点坐标为(1,0).设A(x0,y0),则|AF|=x0+p2=x0+1=4,故x0=3.根据抛物线的对称性,不妨设A在第一象限,则y0=23,故kAB=233-1=3,故直线AB:y=3(x-1).由y2=4x,y=3(x-1),可得3x2-10x+3=0,解得x=3,y=23或x=13,y=-233,所以S△AOB=12×1×23+233=433.10.答案　(-∞,2]解析　设点Q的坐标为y024,y0,由|PQ|≥|a|,得y02+y024-a2≥a2,整理,得y02(y02+16-8a)≥0,因为y02≥0,所以y02+16-8a≥0,即a≤2+y028恒成立.而2+y028的最小值为2,所以a≤2.三、解答题11.解析　(1)当k=0时,直线l的方程为y=4,联立y=4,y=x24,解得x=4,y=4或x=-4,y=4.不妨令点M的坐标为(4,4),点N的坐标为(-4,4).设过点M(4,4)的切线方程为y=m(x-4)+4,联立y=m(x-4)+4,y=x24,消去y,得x2-4mx+16m-16=0.令Δ=16m2-4(16m-16)=0,即m2-4m+4=0,解得m=2,即过点M的切线方程为y=2x-4.根据抛物线的对称性可知,过点N(-4,4)的切线与直线y=2x-4关于y轴对称,即过点N的切线方程为y=-2x-4.综上,过点M和点N的切线方程为y=2x-4和y=-2x-4.(2)存在符合题意的点,理由如下:设P(0,b),M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.联立y=kx+4,y=x24,消去y,得x2-4kx-16=0,故x1+x2=4k,x1x2=-16,从而k1+k2=y1-bx1+y2-bx2=kx1+4-bx1+kx2+4-bx2=2kx1x2+(4-b)(x1+x2)x1x2=k(4+b)4.当b=-4时,有k1+k2=0,则直线PM与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-4)符合题意.12.解析　(1)因为M(a,3)是抛物线y2=4x上一定点,所以32=4a,a=94,所以M94,3.因为抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,所以点M到其准线的距离为94-(-1)=134.(2)证明:由题意知直线AM,BM的斜率存在且不为0,设直线AM的方程为y-3=kx-94,由y-3=kx-94,y2=4x,得y2-4ky+12k-9=0.所以yA+3=4k,所以yA=4k-3.因为直线AM,BM的斜率互为相反数,所以直线BM的方程为y-3=-kx-94.同理可得yB=4-k-3只需将yA=4k-3中的k换为-k.所以kAB=yB-yAxB-xA=yB-yAyB24-yA24=4yB+yA=44-k-3+4k-3=-23.所以直线AB的斜率为定值-23.