小学奥数平面几何五种面积模型(等积_鸟头_蝶形_相似_共边)

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::SSab=③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCDSS=△△；反之，如果ACDBCDSS=△△，则可知直线AB平行于CD．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC△中，,DE分别是,ABAC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则:():()ABCADESSABACADAE=××△△EDCBAEDCBA图⑴图⑵三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①1243::SSSS=或者1324SSSS×=×②()()1243::AOOCSSSS=++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的一个途径．通过构造baS2S1DCBAS4S3S2S1ODCBA模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：①2213::SSab=②221324::::::SSSSababab=；③S的对应份数为()2ab+．四、相似模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型GFEABCDABCDEFG①ADAEDEAFABACBCAG===；②22:ADEABCSSAFAG=△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么::ABOACOSSBDDC∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO∆和ACO∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为ABCDObaS3S2S1S4OFEDCBA三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.典型例题【例1】如图，正方形ABCD的边长为6，AE=1.5，CF=2．长方形EFGH的面积为．【解析】连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，661.5622624.54216.5DEFS=×−×÷−×÷−×÷=△,所以长方形EFGH面积为33．【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接AG．(我们通过ABG△把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在正方形ABCD中，G12ABSABAB=××△边上的高，∴12ABGABCDSS=△(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABGEFGBSS=△．∴正方形ABCD与长方形EFGB面积相等．长方形的宽88106.4=×÷=(厘米)．_H_G_F_E_D_C_B_A_A_B_C_D_E_F_G_H_A_B_G_C_E_F_D_A_B_G_C_E_F_D【例2】长方形ABCD的面积为362cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图：可得：12EHBAHBSS∆∆=、12FHBCHBSS∆∆=、12DHGDHCSS∆∆=，而36ABCDAHBCHBCHDSSSS∆∆∆=++=即11()361822EHBBHFDHGAHBCHBCHDSSSSSS∆∆∆∆∆∆++=++=×=；而EHBBHFDHGEBFSSSSS∆∆∆∆++=+阴影，11111()()364.522228EBFSBEBFABBC∆=××=××××=×=．所以阴影部分的面积是：18184.513.5EBFSS∆=−=−=阴影解法二：特殊点法．找H的特殊点，把H点与D点重合，那么图形就可变成右图：这样阴影部分的面积就是DEF∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCDAEDBEFCFDSSSSS∆∆∆=−−−=−××−×××−××=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积．【解析】（法1）特殊点法．由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546×+=平方厘米．（法2）连接PA、PC．由于PAD∆与PBC∆的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546×+=平方厘米．【例3】如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，8AB=，15AD=，四边形EFGO的面积为．【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积．由于长方形ABCD的面积为158120×=，所以三角形BOC的面积为1120304×=，所以三角形AOE和DOG的面积之和为312070204×−=；又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为111203024×−=，所以四边形EFGO的面积为302010−=．另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积=三角形AFC面积+三角形BFD面积−白色部分的面积，而三角形AFC面积+三角形BFD面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050−=，所以四边形的面积为605010−=．【巩固】如图，长方形ABCD的面积是36，E是AD的三等分点，2AEED=，则阴影部分的面积为．【解析】如图，连接OE．根据蝶形定理，1:::1:12COECDECAECDEONNDSSSS∆∆∆∆===，所以12OENOEDSS∆∆=；1:::1:42BOEBAEBDEBAEOMMASSSS∆∆∆∆===，所以15OEMOEASS∆∆=．又11334OEDABCDSS∆=×=矩形，26OEAOEDSS∆∆==，所以阴影部分面积为：11362.725×+×=．【例4】已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)【解析】因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN和三角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有ABCABNAMCAMHNSSSSS∆∆∆−=+−丙，即400200200AMHNSS−=+−丙，所以AMHNSS=丙．又ADFAMHNSSSSS∆+=++乙甲阴影，所以1143400434ADFSSSSS∆=++−=−×=乙甲丙阴影．【例5】如图，已知5CD=，7DE=，15EF=，6FG=，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是．GFEDCBAABCDEFG【解析】连接AF，BD．根据题意可知，571527CF=++=；715628DG=++=；所以，1527BECBFFSS∆∆=，1227BECBFCSS∆∆=，2128AEGADGSS∆∆=，728AEDADGSS∆∆=，于是：2115652827ADGCBFSS∆∆+=；712382827ADGCBFSS∆∆+=；可得40ADGS∆=．故三角形ADG的面积是40．【例6】如图在ABC△中，,DE分别是,ABAC上的点，且:2:5ADAB=，:4:7AEAC=，16ADES=△平方厘米，求ABC△的面积．EDCBAEDCBA【解析】连接BE，::2:5(24):(54)ADEABESSADAB===××△△，::4:7(45):(75)ABEABCSSAEAC===××△△，所以:(24):(75)ADEABCSS=××△△，设8ADES=△份，则35ABCS=△份，16ADES=△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC△的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？EDCBAABCDE【解析】连接BE．∵3ECAE=∴3ABCABESS=又∵5ABAD=∴515ADEABEABCSSS=÷=÷，∴1515ABCADESS==．【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BDDC==，3BE=，6AE=，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲EDCBAABCDE甲乙【解析】连接AD．∵3BE=，6AE=∴3ABBE=，3ABDBDESS=又∵4BDDC==，∴2ABCABDSS=，∴6ABCBDESS=，5SS=乙甲．【例7】如图在ABC△中，D在BA的延长线上，E在AC上，且:5:2ABAD=，:3:2AEEC=，12ADES=△平方厘米，求ABC△的面积．EDCBAEDCBA【解析】连接BE，::2:5(23):(53)ADEABESSADAB===××△△[]::3:(32)(35):(32)5ABEABCSSAEAC==+=×+×△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADEABCSS=××+=△△，设6ADES=△份，则25ABCS=△份，12ADES=△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC△的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例8】如图，平行四边形ABCD，BEAB=，2CFCB=，3GDDC=，4HAAD=，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．HGABCDEFHGABCDEF【解析】连接AC、BD．根据共角定理∵在ABC△和BFE△中，ABC∠与FBE∠互补，∴111133ABCFBESABBCSBEBF⋅×===⋅×△△．又1ABCS=△，所以3FBES=△．同理可得8GCFS=△，15DHGS=△，8AEHS=△．所以8815+3+236EFGHAEHCFGDHGBEFABCDSSSSSS=++++=++=△△△△．所以213618ABCDEFGHSS==．【例9】如图所示的四边形的面积等于多少？【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 对图形实施变换：把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB将旋转到三角形OCD的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144×=.(也可以用勾股定理)【例10】如图所示，ABC∆中，90ABC∠=°，3AB=，5BC=，以AC为一边向ABC∆外作正方形ACDE，中心为O，求OBC∆的面积．【解析】如图，将OAB∆沿着O点顺时针旋转90°，到达OCF∆的位置．由于90ABC∠=°，90AOC∠=°，所以180OABOCB∠+∠=°．而OCFOAB∠=∠，所以180OCFOCB∠+∠=°，那么B、C、F三点在一条直线上．由于OBOF=，90BOFAOC∠=∠=°，所以BOF∆是等腰直角三角形，且斜边BF为538+=，所以它的面积为218164×=．根据面积比例模型，OBC∆的面积为516108×=．【例11】如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，90AEB∠=°，AC、BD交于O．已知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形OBE的面积．【解析】如图，连接DE，以A点为中心，将ADE∆顺时针旋转90°到ABF∆的位置．那么90EAFEABBAFEABDAE∠=∠+∠=∠+∠=°，而AEB∠也是90°，所以四边形AFBE是直角梯形，且3AFAE==，所以梯形AFBE的面积为：()1353122+××=(2cm)．又因为ABE∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534ABAEBE=+=+=，所以21172ABDSAB∆==(2cm)．那么()17125BDEABDABEADEABDAFBESSSSSS∆∆∆∆∆=−+=−=−=(2cm)，所以12.52OBEBDESS∆∆==(2cm)．【例12】如下图，六边形ABCDEF中，ABED=，AFCD=，BCEF=，且有AB平行于ED，AF平行于CD，BC平行于EF，对角线FD垂直于BD，已知24FD=厘米，18BD=厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？FEABDCGFEABDC【解析】如图，我们将BCD∆平移使得CD与AF重合，将DEF∆平移使得ED与AB重合，这样EF、BC都重合到图中的AG了．这样就组成了一个长方形BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为2418432×=平方厘米，所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米．【例13】如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且:1:2BDDC=，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于．FEDCBA33321FEDCBAABCDEF【解析】方法一：连接CF，根据燕尾定理，12ABFACFSBDSDC==△△，1ABFCBFSAESEC==△△,设1BDFS=△份，则2DCFS=△份，3ABFS=△份，3AEFEFCSS==△△份，如图所标所以551212DCEFABCSS==△方法二：连接DE，由题目条件可得到1133ABDABCSS==△△，11212233ADEADCABCSSS==×=△△△，所以11ABDADESBFFES==△△，111111122323212DEFDEBBECABCSSSS=×=××=×××=△△△△，而211323CDEABCSS=××=△△．所以则四边形DFEC的面积等于512．【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，2ECDE=，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?【解析】设1DEFS=△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCDSS==△阴影平方厘米.【例14】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的13，且2AO=，3DO=，那么CO的长度是DO的长度的_________倍．ABCDOHGABCDO【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABDBCDSS=，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生 体会 针灸治疗溃疡性结肠炎昆山之路icu常用仪器的管理名人广告失败案例两会精神体会 到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题．解法一：∵::1:3ABDBDCAOOCSS∆∆==，∴236OC=×=，∴:6:32:1OCOD==．解法二：作AHBD⊥于H，CGBD⊥于G．∵13ABDBCDSS∆∆=，∴13AHCG=，∴13AODDOCSS∆∆=，∴13AOCO=，∴236OC=×=，∴:6:32:1OCOD==．【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积；⑵:AGGC=？【解析】⑴根据蝶形定理，123BGCS×=×，那么6BGCS=；⑵根据蝶形定理，()():12:361:3AGGC=++=．【例15】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，CEF△、OEF△、ODF△、BOE△的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF△的面积；⑵求GCE△的面积．OGFEDCBA【解析】⑴根据题意可知，BCD△的面积为244616+++=，那么BCO△和CDO∆的面积都是1628÷=，所以OCF△的面积为844−=；⑵由于BCO△的面积为8，BOE△的面积为6，所以OCE△的面积为862−=，根据蝶形定理，::2:41:2COECOFEGFGSS∆∆===，所以::1:2GCEGCFSSEGFG∆∆==，那么11221233GCECEFSS∆∆==×=+．【例16】如图，长方形ABCD中，:2:3BEEC=，:1:2DFFC=，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积．ABCDEFGABCDEFG【解析】连接AE，FE．因为:2:3BEEC=，:1:2DFFC=，所以3111()53210DEFABCDABCDSSS=××=长方形长方形．因为12AEDABCDSS=长方形，11::5:1210AGGF==，所以510AGDGDFSS==平方厘米，所以12AFDS=平方厘米．因为16AFDABCDSS=长方形，所以长方形ABCD的面积是72平方厘米．【例17】如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分的面积．【解析】因为M是AD边上的中点，所以:1:2AMBC=，根据梯形蝶形定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMGABGMCGBCGSSSS=××=△△△△（）（），设1AGMS=△份，则123MCDS=+=△份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S=+=阴影份，所以:1:3SS=阴影正方形，所以1S=阴影平方厘米．【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米．ABCDEF【解析】连接DE，根据题意可知:1:2BEAD=，根据蝶形定理得2129S=+=梯形（）(平方厘米)，3ECDS=△(平方厘米)，那么12ABCDS=(平方厘米)．【例18】已知ABCD是平行四边形，:3:2BCCE=，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．【解析】连接AC．由于ABCD是平行四边形，:3:2BCCE=，所以:2:3CEAD=，根据梯形蝶形定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COEAOCDOEAODSSSS=××=，所以6AOCS=(平方厘米)，9AODS=(平方厘米)，又6915ABCACDSS==+=(平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．【分析】连接AE．由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么OCDOAESS∆∆=．根据蝶形定理，4936OCDOAEOCEOADSSSS∆∆∆∆×=×=×=，故236OCDS∆=，所以6OCDS∆=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．【解析】连接AE．由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么OCDOAESS∆∆=．根据蝶形定理，2816OCDOAEOCEOADSSSS∆∆∆∆×=×=×=，故216OCDS∆=，所以4OCDS∆=(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED中，()111681222ADEABEDSS∆==×+=(平方厘米)，所以1284AOEADEAODSSS∆∆∆=−=−=(平方厘米)，根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244×÷=(平方厘米)．【例19】如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为___________平方厘米．?852OABCDEF?852OABCDEF【解析】连接DE、CF．四边形EDCF为梯形，所以EODFOCSS∆=，又根据蝶形定理，EODFOCEOFCODSSSS∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EODFOCEOFCODSSSS∆∆∆∆⋅=⋅=×=，所以4EODS∆=(平方厘米)，4812ECDS∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD的面积为12224×=平方厘米，四边形OFBC的面积为245289−−−=(平方厘米)．【例20】如图，ABC∆是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点．已知正方形DEFG的面积48，:1:3AKKB=，则BKD∆的面积是多少？【解析】由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形．在梯形ADBC中，BDK∆和ACK∆的面积是相等的．而:1:3AKKB=，所以ACK∆的面积是ABC∆面积的11134=+，那么BDK∆的面积也是ABC∆面积的14．由于ABC∆是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且AMDE=，可见ABM∆和ACM∆的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以ABC∆的面积与正方形DEFG的面积相等，为48．那么BDK∆的面积为148124×=．【例21】下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn，那么，()mn+的值等于．【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG．设AG与DE的交点为M．左图中AEGD为长方形，可知AMD∆的面积为长方形AEGD面积的14，所以三角形AMD的面积为21111248××=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482−×=．如上图所示，在右图中连接AC、EF．设AF、EC的交点为N．可知EF∥AC且2ACEF=．那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的14，所以三角形BEF的面积为21111248××=，梯形AEFC的面积为113288−=．在梯形AEFC中，由于:1:2EFAC=，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4××=，所以三角形EFN的面积为3118122424×=+++，那么四边形BENF的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463−×=．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即32mn=，那么325mn+=+=．【例22】如图，ABC△中，DE，FG，BC互相平行，ADDFFB==，则::ADEDEGFFGCBSSS=△四边形四边形．EGFADCB【解析】设1ADES=△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADEAFGSSADAF==△△，22::1:9ADEABCSSADAB==△△，因此4AFGS=△份，9ABCS=△份，进而有3DEGFS=四边形份，5FGCBS=四边形份，所以::1:3:5ADEDEGFFGCBSSS=△四边形四边形【巩固】如图，DE平行BC，且2AD=，5AB=，4AE=，求AC的长．AEDCB【解析】由金字塔模型得:::2:5ADABAEACDEBC===，所以42510AC=÷×=【巩固】如图，ABC△中，DE，FG，MN，PQ，BC互相平行，ADDFFMMPPB====，则::::ADEDEGFFGNMMNQPPQCBSSSSS=△四边形四边形四边形四边形．【解析】设1ADES=△份，22::1:4ADEAFGSSADAF==△△，因此4AFGS=△份，进而有3DEGFS=四边形份，同理有5FGNMS=四边形份，7MNQPS=四边形份，9PQCBS=四边形份．所以有::::1:3:5:7:9ADEDEGFFGNMMNQPPQCBSSSSS=△四边形四边形四边形四边形【例23】如图，已知正方形ABCD的边长为4，F是BC边的中点，E是DC边上的点，且:1:3DEEC=，AF与BE相交于点G，求ABGS△GFAEDCBMGFAEDCBGFAEDCB【解析】方法一：连接AE，延长AF，DC两条线交于点M，构造出两个沙漏，所以有::1:1ABCMBFFC==，因此4CM=，根据题意有3CE=，再根据另一个沙漏有::4:7GBGEABEM==，所以4432(442)471111ABGABESS==××÷=+△△．方法二：连接,AEEF，分别求4224ABFS=×÷=△，4441232247AEFS=×−×÷−×÷−=△，根据蝶形定理::4:7ABFAEFSSBGGE==△△，所以4432(442)471111ABGABESS==××÷=+△△．【例24】如图所示，已知平行四边形ABCD的面积是1，E、F是AB、AD的中点，BF交EC于M，求BMG∆的面积．QEGNMFPADCBMHGFEDCBAIABCDEFGHM【解析】解法一：由题意可得，E、F是AB、AD的中点，得//EFBD，而::1:2FDBCFHHC==，::1:2EBCDBGGD==所以::2:3CHCFGHEF==，并得G、H是BD的三等分点，所以BGGH=，所以::2:3BGEFBMMF==，所以25BMBF=，11112224BFDABDABCDSSS∆∆==×=；又因为13BGBD=，所以1212113535430BMGBFDSS∆∆=××=××=．解法二：延长CE交DA于I，如右图，可得，::1:1AIBCAEEB==，从而可以确定M的点的位置，::2:3BMMFBCIF==，25BMBF=，13BGBD=(鸟头定理)，可得2121115353430BMGBDFABCDSSS∆∆=×=××=【例25】如图，ABCD为正方形，1cmAMNBDEFC====且2cmMN=，请问四边形PQRS的面积为多少？【解析】(法1)由//ABCD，有MPPCMNDC=，所以2PCPM=，又MQMBQCEC=，所以12MQQCMC==，所以111236PQMCMCMC=−=，所以SPQRS占AMCFS的16，所以121(112)63SPQRS=××++=2(cm)．(法2)如图，连结AE，则14482ABES∆=××=(2cm)，而RBERABEF=，所以2RBABEFEF==，22168333ABRABESS∆∆==×=(2cm)．而1134322MBQANSSS∆∆==×××=(2cm)，因为MNMPDCPC=，所以13MPMC=，则11424233MNPS∆=×××=(2cm)，阴影部分面积等于164233333ABRANSMBQMNPSSSS∆∆∆∆−−+=−−+=(2cm)．【例26】如右图，三角形ABC中，:4:9BDDC=，:4:3CEEA=，求:AFFB．OFEDCBA【解析】根据燕尾定理得::4:912:27AOBAOCSSBDCD===△△::3:412:16AOBBOCSSAECE===△△（都有AOB△的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:27:16:AOCBOCSSAFFB==△△【点评】本题关键是把AOB△的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC中，:3:4BDDC=，:5:6AECE=，求:AFFB.OFEDCBA【解析】根据燕尾定理得::3:415:20AOBAOCSSBDCD===△△::5:615:18AOBBOCSSAECE===△△（都有AOB△的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:20:1810:9:AOCBOCSSAFFB===△△【巩固】如右图，三角形ABC中，:2:3BDDC=，:5:4EACE=，求:AFFB.OFEDCBA【解析】根据燕尾定理得::2:310:15AOBAOCSSBDCD===△△::5:410:8AOBBOCSSAECE===△△（都有AOB△的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:15:8:AOCBOCSSAFFB==△△【点评】本题关键是把AOB△的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例27】如右图，三角形ABC中，:::3:2AFFBBDDCCEAE===，且三角形ABC的面积是1，则三角形ABE的面积为______，三角形AGE的面积为________，三角形GHI的面积为______．IHGFEDCBAIHGFEDCBA【分析】连接AH、BI、CG．由于:3:2CEAE=，所以25AEAC=，故2255ABEABCSS∆∆==；根据燕尾定理，::2:3ACGABGSSCDBD∆∆==，::3:2BCGABGSSCEEA∆∆==，所以::4:6:9ACGABGBCGSSS∆∆∆=，则419ACGS∆=，919BCGS∆=；那么2248551995AGEAGCSS∆∆==×=；同样分析可得919ACHS∆=，则::4:9ACGACHEGEHSS∆∆==，::4:19ACGACBEGEBSS∆∆==，所以::4:5:10EGGHHB=，同样分析可得::10:5:4AGGIID=，所以5521101055BIEBAESS∆∆==×=，55111919519GHIBIESS∆∆==×=．【巩固】如右图，三角形ABC中，:::3:2AFFBBDDCCEAE===，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC的面积．IHGFEDCBAIHGFEDCBA【解析】连接BG，AGCS△=6份根据燕尾定理，::3:26:4AGCBGCSSAFFB===△△，::3:29:6ABGAGCSSBDDC===△△得4BGCS=△(份)，9ABGS=△(份)，则19ABCS=△(份)，因此619AGCABCSS=△△,同理连接AI、CH得619ABHABCSS=△△,619BICABCSS=△△,所以1966611919GHIABCSS−−−==△△三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19【巩固】如图，ABC∆中2BDDA=，2CEEB=，2AFFC=，那么ABC∆的面积是阴影三角形面积的倍．【分析】如图，连接AI．根据燕尾定理，::2:1BCIACISSBDAD∆∆==，::1:2BCIABISSCFAF∆∆==，所以，::1:2:4ACIBCIABISSS∆∆∆=，那么，221247BCIABCABCSSS∆∆∆==++．同理可知ACG∆和ABH∆的面积也都等于ABC∆面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC∆面积的211377−×=，所以ABC∆的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC△中，12DCEAFBDBECFA===,求GHIABC△的面积△的面积的值．IHGFEDCBAIHGFEDCBA【解析】连接BG,设BGCS△=1份，根据燕尾定理::2:1AGCBGCSSAFFB==△△,::2:1ABGAGCSSBDDC==△△,得2AGCS=△(份)，4ABGS=△(份),则7ABCS=△(份)，因此27AGCABCSS=△△,同理连接AI、CH得27ABHABCSS=△△,27BICABCSS=△△,所以7222177GHIABCSS−−−==△△【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【例28】如图，三角形ABC的面积是1，BDDEEC==，CFFGGA==，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFEDCBANMQPGFEDCBA【解析】设BG与AD交于点P，BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M，BF与AE交于点N．连接CP，CQ，CM，CN．根据燕尾定理，::1:2ABPCBPSSAGGC==△△，::1:2ABPACPSSBDCD==△△，设1ABPS=△(份)，则1225ABCS=++=△(份)，所以15ABPS=△同理可得，27ABQS=△,12ABNS=△,而13ABGS=△，所以2137535APQS=−=△，1213721AQGS=−=△．同理，335BPMS=△121BDMS=△,所以1239273570PQMNS=−−=四边形，13953357042MNEDS=−−=四边形,1151321426NFCES=−−=四边形,1115321642GFNQS=−−=四边形【巩固】如图，ABC∆的面积为1，点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三等分点，那么四边形JKIH的面积是多少？KJIHABCDEFGKJIHABCDEFG【解析】连接CK、CI、CJ．根据燕尾定理，::1:2ACKABKSSCDBD∆∆==，::1:2ABKCBKSSAGCG∆∆==，所以::1:2:4ACKABKCBKSSS∆∆∆=，那么111247ACKS∆==++，11321AGKACKSS∆∆==．类似分析可得215AGIS∆=．又::2:1ABJCBJSSAFCF∆∆==，::2:1ABJACJSSBDCD∆∆==，可得14ACJS∆=．那么，111742184CGKJS=−=．根据对称性，可知四边形CEHJ的面积也为1784，那么四边形JKIH周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJAGIABESSS∆∆×++=×++=，所以四边形JKIH的面积为61917070−=．【例29】右图，ABC△中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与BG交于N，已知ABM△的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则ABC△的面积是多少平方厘米？NMGABCDEFNMGABCDEF【解析】连接CM、CN．根据燕尾定理，::1:1ABMCBMSSAGGC==△△，::1:3ABMACMSSBDCD==△△，所以15ABMABCSS=△△；再根据燕尾定理，::1:1ABNCBNSSAGGC==△△，所以::4:3ABNFBNCBNFBNSSSS==△△△△，所以:4:3ANNF=，那么1422437ANGAFCSS=×=+△△，所以2515177428FCGNAFCABCABCSSSS=−=×=△△△．根据题意，有157.2528ABCABCSS−=△△，可得336ABCS=△(平方厘米)【例30】如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点,求阴影部分面积.【解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI与CD的交点为M，AF与CD的交点为N，BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、BN、CP⑴求ADMIS四边形：在ABC△中，根据燕尾定理，::1:2ABMCBMSSAICI==△△::1:2ACMCBMSSADBD==△△设1ABMS=△(份)，则2CBMS=△(份),1ACMS=△(份),4ABCS=△(份),所以14ABMACMABCSSS==△△△，所以11312ADMABMABCSSS==△△△,112AIMABCSS=△△,所以111()12126ABCABCADMISSS=+=△△四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC△面积的16⑵求DNPQES五边形：在ABC△中，根据燕尾定理::1:2ABNACNSSBFCF==△△::1:2ACNBCNSSADBD==△△,所以111133721ADNABNABCABCSSSS==×=△△△△,同理121BEQABCSS=△△在ABC△中，根据燕尾定理::1:2ABPACPSSBFCF==△△,::1:2ABPCBPSSAICI==△△所以15ABPABCSS=△△，所以1111152121105ABPADNBEPABCABCDNPQESSSSSS=−−=−−=△△△△△五边形同理另外两个五边形面积是ABC△面积的11105，所以11113133610570S=−×−×=阴影【例31】如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点,求中心六边形面积.【解析】设深黑色六个三角形的顶点分别为N、R、P、S、M、Q，连接CR在ABC△中根据燕尾定理，::.2:1ABRACRSSBGCG==△△,::1:2ABRCBRSSAICI==△△所以27ABRABCSS=△△,同理27ACSABCSS=△△,27CQBABCSS=△△所以222117777RQSS=−−−=△，同理17MNPS=△根据容斥原理，和上题结果11131777010S=+−=六边形课后练习：练习1.已知DEF△的面积为7平方厘米，,2,3BECEADBDCFAF===，求ABC△的面积．FEDCBA【解析】:():()(11):(23)1:6BDEABCSSBDBEBABC=××=××=△△，:():()(13):(24)3:8CEFABCSSCECFCBCA=××=××=△△:():()(21):(34)1:6ADFABCSSADAFABAC=××=××=△△设24ABCS=△份，则4BDES=△份，4ADFS=△份，9CEFS=△份，244497DEFS=−−−=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABCS=△平方厘米练习2.如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EAAB=，CBBF=，DCCG=，HDDA=，求四边形ABCD的面积．HGFEDCBAABCDEFGH【解析】连接BD．由共角定理得:():()1:2BCDCGFSSCDCBCGCF=××=△△，即2CGFCDBSS=△△同理:1:2ABDAHESS=△△，即2AHEABDSS=△△所以2()2AHECGFCBDADBABCDSSSSS+=+=△△△△四边形连接AC，同理可以得到2DHGBEFABCDSSS+=△△四边形5AHECGFHDGBEFEFGHABCDABCDSSSSSSS=++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCDS=÷=四边形平方米练习3.正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是平方厘米．HGFEDCBAMHGFEDCBA【解析】欲求四边形BGHF的面积须求出EBG∆和CHF∆的面积．由题意可得到：::1:2EGGCEBCD==，所以可得：13EBGBCESS∆∆=将AB、DF延长交于M点，可得：:::1:1BMDCMFFDBFFC===，而1::():3:22EHHCEMCDABABCD==+=，得25CHCE=，而12CFBC=，所以121255CHFBCEBCESSS∆∆∆=×=11112030224BCESABBC∆=××=×=11773014351515EBCEBCEBCEBCBGHFSSSSS∆∆∆∆=−−==×=四边形．本题也可以用蝶形定理来做，连接EF，确定H的位置(也就是:FHHD)，同样也能解出．练习4.如图，已知4cmABAE==，BCDC=，90BAEBCD∠=∠=°，10cmAC=，则SABCACECDESS∆∆∆++=2cm．DCEBABCA'C'EDA【解析】将三角形ABC绕A点和C点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形'AEC和'ADC，再连接''AC，显然'ACAC⊥，'ACAC⊥，''ACACAC==，所以''ACAC是正方形．三角形'AEC和三角形'ADC关于正方形的中心O中心对称，在中心对称图形''ACAC中有如下等量关系：''AECADCSS∆∆=；''AECADCSS∆∆=；'CEDCDESS∆∆=．所以2'''11101050cm22ABCACECDEAECACECDEACACSSSSSSS∆∆∆∆∆∆++=++==××=．练习5.如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是_____平方厘米．【解析】连接BH,根据沙漏模型得:1:2BGGD=,设1BHCS=△份，根据燕尾定理2CHDS=△份，2BHDS=△份，因此122)210S=++×=正方形（份，127236BFHGS=+=，所以712010146BFHGS=÷×=(平方厘米).练习6.如图，ABC∆中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，若ABC∆的面积为1，那么四边形CDMF的面积是_________．FABCDEMNFABCDEMN【解析】由于点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，如果能求出BN、NM、MD三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF的面积．连接CM、CN．根据燕尾定理，::2:1ABMACMSSBFCF∆∆==，而2ACMADMSS∆∆=，所以24ABMACMADMSSS∆∆∆==，那么4BMDM=，即45BMBD=．那么421453215BMFBCDBMBFSSBDBC∆∆=××=××=，14721530CDMFS=−=四边形．另解：得出24ABMACMADMSSS∆∆∆==后，可得111155210ADMABDSS∆∆==×=，则11731030ACFADMCDMFSSS∆∆=−=−=四边形．练习7.如右图，三角形ABC中，:::4: