一、平面二连杆机器人手臂运动学平面二连杆机械手臂如图1所示，连杆1长度，连杆2长度，连杆3长度为。建立如图1所示坐标系，其中，为基本坐标系，固定在基座上，、、为连体坐标系，分别固结在连杆1、连杆2、连杆3上并随它们一起运动。关节角顺时针为负逆时针为正。12PABCD图1平面双连杆机器人示意图1、用简朴平面几何关系建立运动学方程连杆2末段与中线交点处一点P在基本坐标系中位置坐标：（1）2、用D-H办法建立运动学方程假定、、垂直于纸面向外。从到齐次旋转变换矩阵为：（2）从到齐次旋转变换矩阵为：（3）从到齐次旋转变换矩阵为：（3）从到齐次旋转变换矩阵为：（4）那么，连杆2末段与中线交点处一点P在基本坐标系中位置矢量为：（5）即，（6）结论：（6）与用简朴平面几何关系建立运动学方程（1）相似。补充：正解用于仿真，逆解用于控制建立以上运动学方程后，若已知个连杆关节角，就可以用运动学方程求出机械手臂末端位置坐标，这可以用于运动学仿真。3、平面二连杆机器人手臂逆运动学二、平面二连杆机器人手臂速度雅可比矩阵速度雅可比矩阵定义：从关节速度向末端操作速度线性变换。现已二连杆平面机器人为例推导速度雅可比矩阵。上面运动学方程两边对时间求导，得到下面速度
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达式：（17）把上式写成如下矩阵形式：（18）令上式中末端位置速度矢量，关节角速度矢量，矩阵就是速度雅可比矩阵，实现从关节角速度向末端位置速度转变。（18）式可以写成：速度雅可比矩阵可以进一步写成：（19）其中，（20）由此可知雅可比矩阵定义：（21）三、平面二连杆机器人手臂动力学方程推倒动力学方程办法诸多，各有优缺陷。拉格朗日办法思路清晰、不考虑连杆之间内力，是推倒动力学方程惯用办法。下面推导图1所示平面双连杆机器人动力学方程。图1中所示连杆均为均质杆，其转动惯量分别是和。1、求两连杆拉格朗日函数（1）求系统总动能连杆1动能为：（21）求连杆2质心D处线速度：对连杆2质心位置求导得到其线速度。连杆2质心位置为：（22）连杆2质心速度为：（23）（24）连杆2动能：(25)系统总动能：（26）（2）求系统总势能系统总势能为：（27）（3）求拉格朗日函数（28）（4）列写动力学方程按照拉格朗日方程，相应关节1、2驱动力矩分别为：（29）（30）同理：（31）联合（30）、（31）式，将动力学方程写成如下矩阵形式：（32）四、平面二连杆机器人手臂轨迹规划轨迹规划就是已知起点和终点位置速度加速度等参数拟定中间点相应参数过程。轨迹规划是机器人完毕规定任务所必须。它分为关节空间轨迹规划和直角坐标空间轨迹规划、以及基于动力学轨迹规划等几种类型。关节空间轨迹规划就是已知某连杆起点和终点角位置角速度角加速度等参数拟定中间点相应参数过程。如图所示，一两自由度机械手，已知两连杆起点和终点关节角，拟定中间位置关节角。（1）非归一化和归一化问题（2）末端位置轨迹、关节空间轨迹规划缺陷。三次多项式轨迹规划举例：规定一种５轴机器人第一关节在５秒之内从初始角３０度运动到终端角７５度，用三次多项式计算在第１、２、３、４秒时关节角。五次多项式轨迹规划抛物线过渡线性运动轨迹规划（略）具备中间点以及用抛物线过渡线性运动轨迹规划（略）高次多项式运动轨迹规划（略）直角坐标空间轨迹规划（1）所有用于关节空间轨迹规划办法都可以用于直角坐标空间轨迹规划；（2）直角坐标轨迹规划必要不断进行逆运动学运算，以便及时得到关节角。这个过程可以归纳为如下计算循环：（a）将时间增长一种增量；（b）运用所选取轨迹函数计算出手位姿；（c）运用逆运动学方程计算相应关节变量；（d）将关节变量信息送给控制器；（e）返回到循环开始。五、二连杆机器人控制
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