高中数学数列知识点

1、数列中a与Snn数列之间的关系：S,(n1)a1注意通项能否合并。nSS,(n2).nn12、等差数列：⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即a－ann1=d，（n≥2，n∈N），那么这个数列就叫做等差数列。⑵等差中项：若三数a、A、b成等差数列Aab2⑶通项公式：ana(n1)da1m(nm)d或apnq(p、q是常数）.n⑷前n项和公式：nn1naaSnad1nn122⑸常用性质：①若mnpqm,n,p,qN，则aamnaa；pq②下标为等差数列的项ak,akm,ak2m,，仍组成等差数列；③数列anb（,b为常数）仍为等差数列；④若{an}、{bn}是等差数列，则{kan}、{kanpbn}(k、p是非零常数)、{apnq}(p,qN*)、，…也成等差数列。⑤单调性：an的公差为d，则：nⅰ）d0anⅱ）d0a为递增数列；为递减数列；ⅲ）d0an为常数列；⑥数列{a}为等差数列annpnq（p,q是常数）⑦若等差数列an3、等比数列的前n项和Sn，则S、Sk2kS、Sk3kS…是等差数列。2k⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。⑵等比中项：若三数a、G、b成等比数列G2ab,（ab同号）。反之不一定成立。⑶通项公式：anaqn11aqnmma⑷前n项和公式：Sa1qn1aq1n⑸常用性质n1q1q①若mnpqm,n,p,qN，则aamnaa；pq②a,a,a,为等比数列，公比为qk(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)kkmk2m③数列an（为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；正项等比数列an；则lgan是公差为lgq的等差数列；④若a是等比数列，则ca，a12，，nnnan1ar(rZ)是等比数列，公比依次是q，q2，，qr.nq⑤单调性：a0,q1或a110,0q1an为递增数列；a0,0q1或a110,q1an为递减数列；q1anq0a为常数列；为摆动数列；n⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。⑦若等比数列a的前n项和S，则S、SS、SS…是等比数列.nnk2kk3k2k4、非等差、等比数列通项公式的求法类型Ⅰ观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。类型Ⅱ公式法：若已知数列的前n项和Sn与a的关系，求数列ann的通项a可用nS,(n1)公式a1构造两式作差求解。nSS,(n2)nn1用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a和a合为一个 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达，（要先分n1和n2两种情况分别进行运算，然后验1n类型Ⅲ证能否统一）。累加法：形如an1anf(n)型的递推数列（其中f(n)是关于n的函数）可构造：aaf(n1)nn1aaf(n2)n1n2...aa21f(1)将上述n1个式子两边分别相加，可得：af(n1)f(n2)...f(2)f(1)a,(n2)n1①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和.类型Ⅳ累乘法：a形如aaf(n)n1f(n)型的递推数列（其中f(n)是关于n的函数）可构n1nanaanf(n1)n1a造：an1f(n2)n2...a2f(1)a1将上述n1个式子两边分别相乘，可得：af(n1)f(n2)...f(2)f(1)a,(n2)n1有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 求解。类型Ⅴ构造数列法：㈠形如apaq（其中p,q均为常数且p0）型的递推式：n1n若p1时，数列{an若q0时，数列{an}为等差数列;}为等比数列;若p1且q0时，数列{an比数列来求.方法有如下两种：}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等法一：设an1p(an),展开移项整理得an1pan(p1),与题设apaq比较系数（待定系数法）得n1nq,(p0)aqp(aq)aqp(aq),即p1qn1p1qnp1np1n1p1a构成以a为首项，以p为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公np11p1q式求出an的通项整理可得a.p1naa法二：由an1panq得anpan1q(n2)两式相减并整理得n1aanp,即an1a构成以an2a为首项，以p为公比的等比数列.求出1naan1nn1的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出a.㈡形如an1paf(n)(p1)型的递推式：nn⑴当f(n)为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设anAnBpan1A(n1)B，通过待定系数法确定A、B的值，转化成以a1AB为首项，以p为公比的等比数列anAnB，再利用等比数列的通项公式求出anAnB的通项整理可得a.n法二：当f(n)的公差为d时，由递推式得：apaf(n)，n1npann1f(n1)两式相减得：aan1np(anan1)d，令bnaa得：n1npbnn1d转化为类型Ⅴ㈠求出bn，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出a.n⑵当f(n)为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设anf(n)pan1f(n1)，通过待定系数法确定的值，转化成以af(1)为首项，以p为公比的等比数列a1nf(n)，再利用等比数列的通项公式求出anf(n)的通项整理可得a.n法二：当f(n)的公比为q时，由递推式得：an1panf(n)——①，anpan1f(n1)，两边同时乘以q得anqpqan1qf(n1)——②，由①②两式相减得aaqp(aqa)，即an1qanp，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出a.n1nnn1aqannn1法三：递推公式为apaqn（其中p，q均为常数）或aparqn（其中n1nn1np，q,r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以qn1，得：an1pan1，aqn1qqnqp1引入辅助数列b（其中bn），得：bb再应用类型Ⅴ㈠的方法解决。nnqnn1qnq⑶当f(n)为任意数列时，可用通法：aaf(n)a在an1panf(n)两边同时除以pn1可得到n1pn1n，令npnpn1pnb，则nbn1bnf(n)pn1，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出bn之后得anpnb.n类型Ⅵ对数变换法：形如apaq(p0,a0)型的递推式：n1n在原递推式an1paq两边取对数得lgan1qlganlgp，令bnlga得：nbn1qbnlgp，化归为an1panq型，求出bn之后得an10bn.（注意：底数不一类型Ⅶ定要取10，可根据题意选择）。倒数变换法：形如aapaa（p为常数且p0）的递推式：两边同除于aa，转化为n1nn1nn1n11p形式，化归为aaann1n1panq型求出1的表达式，再求a；ann还有形如aman的递推式，也可采用取倒数方法转化成1m1m形式，化归n1paqanqapn1n为an1panq型求出1的表达式，再求a.ann类型Ⅷ形如an2pan1qa型的递推式：n用待定系数法，化为特殊数列{anan1}的形式求解。方法为：设an2kan1h(an1kan)，比较系数得hkp,hkq，可解得h、k，于是{aka}是公比为h的等比数列，这样就化归为apaq型。n1nn1n总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公a式.n5、非等差、等比数列前n项和公式的求法⑴错位相减法①若数列a为等差数列，数列b为等比数列，则数列ab的求和就要采用此法.nnnn②将数列anb的每一项分别乘以bnn的公比，然后在错位相减，进而可得到数列abnn的前n项和.此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法.⑵裂项相消法一般地，当数列的通项ac(a,b,b,c为常数）时，往往可将n(anb)(anb)1212a变成两项的差，采用裂项相消法求和.n可用待定系数法进行裂项：设ananb1anb2，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得c，从而可得bb21c=c(11).(anb)(anb)(bb)anbanb122112常见的拆项公式有：①111；n(n1)nn1②11(11);(2n1)(2n1)22n12n1ab③11(aabb);④Cm1nCmn1Cm;n⑤nn!(n1)!n!.⑶分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.⑷倒序相加法如果一个数列a，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与n倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：aa1naa2n1...⑸记住常见数列的前n项和：①123...nn(n1);2②135...(2n1)n2;1③122232...n2n(n1)(2n1).6