§4
线性变换的矩阵表示
引言：数域
上线性空间V上的所有线性变换组成的集合—L(V)是数域
的线性空间。若V是
维线性空间，那么L(V)的维数是多少呢？L(V)与
之间具有什么关系？为此，我们先研究一下线性变换的矩阵表示。
一、线性变换在一组基下的矩阵表示：
设
是数域P上的
维线性空间V的一组基，
是V上的一个线性变换，对
，则有
又
则有：
用矩阵形式表述（*）有
习惯上记上式左边为：
则有：
；这就有了下面的定义：
1.Df1.若
则称A为线性变换
在基
下的矩阵，且可逆
若
在
下的坐标为
，那么
在基
下的坐标又如何呢？
可见，
在基
下的坐标是由A与
在
下的坐标来确定的。
2.结论：
Th1.域P上n维线性空间V中的线性变换
在基
下的矩阵是唯一的。
由此可推得：当给定线性空间V的一组基
后，
与域P上的
一一对应。
进一步可得
Th2..若
是域P上的n维线性空间V的一组基，
是V上的线性变换，
在
下的矩阵为
，则有
由此可得：
Th3..数域P上的n维线性空间V在取定一组基下，L(V)与P域上所有的
矩阵构成的线性空间
是同构的
即：
推论：
上述线性变换与矩阵之间的对应关系是在给定的一组基下实现的，随着基的改变，线性变换的矩阵表示会发生什么样的变化？
二、线性变换在不同基下的矩阵表示(首先回忆过渡矩阵的概念)
Df2.设
与
是n维线性空间V的两组不同基，且满足
。则称P为由基
到基
的过渡矩阵，且P是可逆的。
从而可以研究同一线性变换在两组不同基下的矩阵的关系。下面定理解决这个问题：
Th4.
在不同基下的矩阵是相似的
Proof:设
;
是线性空间
的两组不同基
由
则
可逆，上式两边右乘
由Th1
即
eg1.设4维线性空间
上的线性变换
在基
下的矩阵为：
试求
在基
下的矩阵
解：由已知有
设
而
计算得：
又
与
相似
三、正交变换在一组标准正交基下的矩阵：
正交变换在一组基下的矩阵为正交矩阵 或
线性变换在一组标准正交基下的矩阵为正交矩阵
设T是内积空间V的正交变换，
是V的一组标准正交基，由上节课知，
亦是V的一组标准正交基
若
即
则A可以看作是由
的过渡矩阵
据正交基变换可知：A为正交矩阵
同样，内积空间的正交变换与正交矩阵亦是一一对应的。
eg2.设
是三维欧氏空间V的一组标准正交基，试求V的一个正交变换T，使得：
解：设
由T在
下的矩阵为正交矩阵
即
其中
为正交矩阵
由
可解得a= b= c=
从而可得正交变换。
第5节 不变子空间与点到子空间的距离
上节课研究了线性变换在一组基下的矩阵及不同基下的矩阵之间的关系，从中可得，线性变换与矩阵之间的关系，以及正交变换与正交矩阵之间的关系。知道这些关系对研究矩阵理论具有很重要的意义。不但如此，而且线性空间、线性变换及矩阵这三者之间的关系也是紧密的联系在一起，为此我们先研究一下不变子空间。
一、不变子空间
1.Df: 设
是线性空间V的一个线性变换，W是V的一个子空间，若对
。即
。则称W为
的不变子空间，或者说子空间W对线性变换
是不变的。
2.结论：①零空间及V本身都是
的不变子空间。
②若
是n维线性空间
的两个子空间，且是线性变换的不变子空间，若
且
与
分别是
与
的一组基，则向量组
便构成
的一组基，且
在基
下的矩阵为分块对角矩阵
其中：
是
在基
下的矩阵；
是
在基
下的矩阵
注：该结果可以推广到有限个子空间直和的情形。
即：若
可分解为有限的
个子空间
的直和
二、点到子空间的距离与最小二乘法
1.点到子空间的距离
Df:设
是有限维内积空间（即欧氏空间），
称x-y的长度
为x与y的距离，记为
满足下列三个基本的性质：
①
②
③
当然这里点到子空间的距离，也象几何里点到直线（平面）的距离一样，是指点到子空间各点距离的最短距离。即设子空间
，x是V中给定的一元素，显然有
（？）
设
，满足
，且对
都有：
（向量x到W的各向量间距离以垂线最短）
则
即为点x到子空间W的距离。
作为点到子空间距离的应用来解决最小二乘法问题
2. 最小二乘法：——在系统理论中处理最优化问题时有重要的应用。
考虑不相容线性方程组
※（方程个数与变量个数不同）
其中
（线性代数知：R(A)=R(A,b)时，※有解，R(A)
R(A,b) ※无解）
这里解决无解的情况（利用最小二乘法）
也即：设法找出一组数
使偏差的平方和：
最小，
称为※的最小二乘解。
若令y=Ax，则y是n维列向量；上述
即为
。而最小二乘法即是找一组
。使y与b的距离最小。为此；假设
，
表示A的第i列。
则有
显然
，则上述问题可叙述为：
求x，使
最小，即在
中找一向量y，使向量b到它的距离比到子空间
中其它向量的距离都短。
若
即为所求向量，则
此即
即
——这就是最小二乘解所满足的代数方程，它仍是一个线性方程组，系数矩阵为
，常数项为
。
eg2: 用最小二乘法解方程组：
解：
解此线性方程组，得最小二乘解为，
,
,
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