高中数学必修 选修(文科)知识点归纳

高中数学必修 选修(文科) 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 归纳 .. 高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A版 选修3—6:三等分角与数域扩充。 引言 系列4:由10个专题组成。 1.课程内容: 选修4—1:几何证明选讲。 必修课程由5个模块组成: 选修4—2:矩阵与变换。 必修1:集合、函数概念与基本初等函数,指、选修4—3:数列与差分。 对、幂函数, 选修4—4:坐标系与参数方程。 必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。 选修4—5:不等式选讲。 必修3:算法初步、统计、概率。 选修4—6:初等数论初步。 必修4:基本初等函数,三角函数,、平面向量、选修4—7:优选法与试验 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 初步。 三角恒等变换。 选修4—8:统筹法与图论初步。 必修5:解三角形、数列、不等式。 选修4—9:风险与决策。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 选修4—10:开关电路与布尔代数。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础 知识和基本技能的主要部分～其中包括集合、 函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初2(重难点及考点: 步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打重点:函数，数列，三角函数，平面向量，好基础的同时～进一步强调了这些知识的发生、圆锥曲线，立体几何，导数 发展过程和实际应用～而不在技巧与难度上做难点:函数、圆锥曲线 过高的要求。 高考相关考点: 此外～基础内容还增加了向量、算法、概?集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻率、统计等内容。 辑、充要条件 ?函数:映射与函数、函数解析式与定义域、选修课程有4个系列: 值域与最值、反函数、三大性质、函系列1:由2个模块组成。 数图象、指数与指数函数、对数与对选修1—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、数函数、函数的应用 导数及其应用。 ?数列:数列的有关概念、等差数列、等比数选修1—2:统计案例、推理与证明、数系的扩列、数列求和、数列的应用 充与复数、框图 ?三角函数:有关概念、同角关系与诱导公式、系列2:由3个模块组成。 和、差、倍、半公式、求值、化选修2—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 简、证明、三角函数的图象与性 空间向量与立体几何。 质、三角函数的应用 选修2—2:导数及其应用～推理与证明、数系?平面向量:有关概念与初等运算、坐标运算、 的扩充与复数 数量积及其应用 选修2—3:计数原理、随机变量及其分布列～?不等式:概念与性质、均值不等式、不等式 统计案例。 的证明、不等式的解法、绝对值不系列3:由6个专题组成。 等式、不等式的应用 选修3—1:数学史选讲。 ?直线和圆的方程:直线的方程、两直线的位选修3—2:信息安全与密码。 置关系、线性规划、圆、选修3—3:球面上的几何。 直线与圆的位置关系 选修3—4:对称与群。 选修3—5:欧拉公式与闭曲面分类。 .. .. ?圆锥曲线方程:椭圆、双曲线、抛物线、直有元素组成的集合，称为A与B的交集.记 线与圆锥曲线的位置关系、A:B. 作:轨迹问题、圆锥曲线的应用 ?直线、平面、简单几何体:空间直线、直线3、全集、补集, CAxxUxU,,,{|,}且U与平面、平面与平面、棱柱、 棱锥、球、空间向量 ?1.2.1、函数的概念 ?排列、组合和概率:排列、组合应用题、二1、 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定 项式定理及其应用 f的对应关系，使对于集合A中的任意一?概率与统计:概率、分布列、期望、方差、个数，在集合B中都有惟一确定的数x，，fx 抽样、正态分布 f:A,B和它对应，那么就称为集合A到?导数:导数的概念、求导、导数的应用 集合B的一个函数，记作:. ，，y,fx,x,A?复数:复数的概念与运算 2、 一个函数的构成要素为:定义域、对应关 必修1数学知识点 系、值域.如果两个函数的定义域相同，并第一章:集合与函数概念 且对应关系完全一致，则称这两个函数相?1.1.1、集合 等. 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组?1.2.2、函数的表示法 成的总体叫做集合。集合三要素:确定性、1、 函数的三种表示 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 :解析法、图象法、 互异性、无序性。 列表法. 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称?1.3.1、单调性与最大(小)值 这两个集合相等。 1、注意函数单调性的证明方法: (1)定义法:设那么 *x、x,[a,b],x,x12123、 常见集合:正整数集合:或，整数NN，上是增函f(x),f(x),0,f(x)在[a,b]12 数; Q集合:，有理数集合:，实数集合:. ZR 上是减函数. f(x),f(x),0,f(x)在[a,b]124、集合的表示方法:列举法、描述法. 步骤:取值—作差—变形—定号—判断 ?1.1.2、集合间的基本关系 格式:解:设且，则:x,x,,,a,bx,x12121、 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A =„ ，，，，fx,fx中任意一个元素都是集合B中的元素，则12 y,f(x) (2)导数法:设函数在某个区间内A,B称集合A是集合B的子集。记作. ,f(x),0f(x)可导，若，则为增函数; ,f(x),0f(x)若，则为减函数. A,Bx,B2、 如果集合，但存在元素，且 ?1.3.2、奇偶性 x,A，则称集合A是集合B的真子集.记 作:AB. 1、 一般地，如果对于函数的定义域内任，，fx ,3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作:. 并规定:空集合是任何集合的子集. 意一个，都有，那么就称函x，，，，f,x,fx n24、 如果集合A中含有n个元素，则集合A有 y数为偶函数.偶函数图象关于轴对，，fx n21,个子集，个真子集. 称. ?1.1.3、集合间的基本运算 2、 一般地，如果对于函数的定义域内任，，fx1、 一般地，由所有属于集合A或集合B的元 素组成的集合，称为集合A与B的并集.记意一个，都有，那么就称x，，，，f,x,,fx A:B作:. 函数为奇函数.奇函数图象关于原点，，fx 2、 一般地，由属于集合A且属于集合B的所 .. .. 对称. yfx,()fafb(),()的各极值点与比较，(2)将知识链接:函数与导数 其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小y,f(x)1、函数在点处的导数的几何意义: x0值。 y,f(x)函数在点处的导数是曲线注:极值是在局部对函数值进行比较(局部x0 性质);最值是在整体区间上对函数值进行比较y,f(x)在处的切线的斜率P(x,f(x))00(整体性质)。 ,，相应的切线方程是f(x)0 ,. y,y,f(x)(x,x)第二章:基本初等函数(?) 000 ?2.1.1、指数与指数幂的运算 2、几种常见函数的导数 n'n'n,1x,a、 一般地，如果，那么叫做 的次1xanC?,0; ?; (x),nx 方根。其中. ''n,1,n,N，?; ?; (sinx),cosx(cosx),,sinx nnx'xx'xa,a2、 当为奇数时，; n?; ?; (a),alna(e),e nn11''当为偶数时，. na,a(lnx)(logx)?;? ,,axxlna3、 我们规定: 3、导数的运算法则 n'''(1). ()uvuv,,,mnma,a ? '''(2). ()uvuvuv,，*''; ，，a,0,m,n,N,m,1uuvuv,'()(0),,v (3). 2vv1n, ?，，; a,n,0n4、函数的极值 a (1)极值定义: 4、 运算性质: rsr，sxf(x)极值是在附近所有的点，都有,0 ?; ，，aa,aa,0,r,s,Q sf(x)f(x)f(x)，则是函数的极大值; rrs00，，a,a，，a,0,r,s,Q?; rrrxf(x) 极值是在附近所有的点，都有,0?，，，，. ab,aba,0,b,0,r,Q ?2.1.2、指数函数及其性质 f(x)f(x)f(x)，则是函数的极小值. 00 x1、记住图象: ，，y,aa,0,a,1(2)判别方法: y'' x?如果在附近的左侧,0，右侧f(x)f(x)x0y=a a>101 .. 么函数在区间内有零点，即存在，，，，y,fxa,b ，使得，这个也就是方程，，，，cc,a,bfc,0 ?体积公式: 的根. ，，fx,01;; V,S,hV,S,h柱体锥体?3.1.2、用二分法求方程的近似解 3 11、掌握二分法. ，，V,S，S,S，Sh下下台体上上?3.2.1、几类不同增长的函数模型 3 ?3.2.2、函数模型的应用举例 ?球的表面积和体积: 41、解决问题的常规方法:先画散点图，再用适23S4RVR. ,,，,,球球当的函数拟合，最后检验. 3 第二章:点、直线、平面之间的位置关系 数学知识点 、公理1:如果一条直线上两点在一个平面内，必修21 第一章:空间几何体 那么这条直线在此平面内。 1、空间几何体的结构 2、公理2:过不在一条直线上的三点，有且只常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见 ?有一个平面。 的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。 3、公理3:如果两个不重合的平面有一个公共?棱柱:有两个面互相平行，其余各面都是四点，那么它们有且只有一条过该点的公共直 边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互线。 相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱4、公理4:平行于同一条直线的两条直线平行. 柱。 5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平?棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱行，那么这两个角相等或互补。 锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体6、线线位置关系:平行、相交、异面。 叫做棱台。 7、线面位置关系:直线在平面内、直线和平面2、空间几何体的三视图和直观图 平行、直线和平面相交。 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投8、面面位置关系:平行、相交。 影，中心投影的投影线交于一点;把在一束9、线面平行: 平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投?判定:平面外一条直线与此平面内的一条直 影的投影线是平行的。 线平行，则该直线与此平面平行(简称线线3、空间几何体的表面积与体积 平行，则线面平行)。 ?性质:一条直线与一个平面平行，则过这条 直线的任一平面与此平面的交线与该直线?圆柱侧面积; S,2,,r,l侧面平行(简称线面平行，则线线平行)。 10、面面平行: ?判定:一个平面内的两条相交直线与另一个 平面平行，则这两个平面平行(简称线面平 行，则面面平行)。 ?性质:如果两个平行平面同时和第三个平面?圆锥侧面积: S,,,r,l侧面相交，那么它们的交线平行(简称面面平行， 则线线平行)。 11、线面垂直: ?定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任 意一条直线，那么就说这条直线和这个平面 垂直。 ?圆台侧面积: S,,,r,l，,,R,l侧面?判定:一条直线与一个平面内的两条相交直.. .. 线都垂直，则该直线与此平面垂直(简称线l:Ax，By，C,0,1111有: 线垂直，则线面垂直)。 l:Ax，By，C,02222?性质:垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直: ,ABAB,1221,?l//l; ?定义:两个平面相交，如果它们所成的二面,12,BCBC1221,角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 ?判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线，?和相交; ll,AB,AB121221则这两个平面垂直(简称线面垂直，则面面 垂直)。 ,ABAB,1221,?和重合; ll?性质:两个平面互相垂直，则一个平面内垂,12BC,BC1221,直于交线的直线垂直于另一个平面。(简称 面面垂直，则线面垂直)。 ?. l,l,AA，BB,0121212 第三章:直线与方程 5、两点间距离公式: y,y21k,tan,,1、倾斜角与斜率: 22x,x ，，，，PP,x,x，y,y211221212、直线方程: 6、点到直线距离公式: Ax，By，C?点斜式: ，，y,y,kx,x0000d, 22A，B y,kx，b?斜截式: 7、两平行线间的距离公式: yyyy,,:与:平行，lAx，By，C,0lAx，By，C,01211212,?两点式: xxxx,,121 C,C12d,则 xy22?截距式: ，,1A，Bab 第四章:圆与方程 Ax，By，C,0?一般式: 1、圆的方程: 222? 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程:，，，， x,a，y,b,r3、对于直线: (,)ab有: ，半径为. 其中圆心为l:y,kx，b,l:y,kx，br111222 22,kk,?一般方程:. x，y，Dx，Ey，F,012,l//l?; ,12,bb12,DE其中圆心为，半径为(,),,22?和相交; ,,kkll1212122. rDEF,，,42,kk,12,?和重合; ll2、直线与圆的位置关系 ,12bb,12,222Ax，By，C,0直线与圆(x,a)，(y,b),r?. l,l,kk,,11212的位置关系有三种: ; d,r,相离,,,04、对于直线: ; d,r,相切,,,0.. .. . d,r,相交,,,0 22l,2r,d弦长公式: 22 (图3) ,(1，k)[(x，x),4xx] 1212?循环结构示意图: ?当型(WHILE型)循环结构示意图: d,OO3、两圆位置关系: 12 d,R，r?外离:; d,R，r?外切:; 循环体 R,r,d,R，r?相交:; d,R,r?内切:; 满足条件, d,R,r. ?内含:是 否 必修3数学知识点 第一章:算法 (图4) 1、算法三种语言: UNTIL型)循环结构示意图: ?直到型(自然语言、流程图、程序语言; 2、流程图中的图框: 起止框、输入输出框、处理框、判断框、流 程线等 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 表示方法; 循环体 3、算法的三种基本结 构: 否 语句n 顺序结构、条件结构、 满足条件, 循环结构 是 当型循环结构语句n+1 , , 直到型循环结构, (图5) ?顺序结构示意图(1) 4、基本算法语句: ?条件结构示意图: ?输入语句的一般格式:INPUT“提示内容”;?IF-THEN-ELSE格式: 变量 满足条件, 否 ?输出语句的一般格式:PRINT“提示内容”; 是 表达式 语句1 语句2 ?赋值语句的一般格式:变量,表达式 (“=”有时也用“?”). (图2) ?条件语句的一般格式有两种: ?IF-THEN格式: THEN—ELSE语句的一般格式为: IF— IF 条件 THEN 是 语句1 满足条件, ELSE 否 .. 语句 语句2 END IF .. (等数)就是所求的最大公约数。 ?进位制 十进制数化为k进制数—除k取余法 (图2) k进制数化为十进制数 第二章:统计 1、抽样方法: IF—THEN语句的一般格式为: ?简单随机抽样(总体个数较少) ?系统抽样(总体个数较多) IF 条件 THEN ?分层抽样(总体中差异明显) 语句 注意:在N个个体的总体中抽取出n个个体组 END IF (图3) n。 成样本，每个个体被抽到的机会(概率)均为 N ?循环语句的一般格式是两种: 2、总体分布的估计: 当型循环(WHILE)语句的一般格式: ?一表二图: WHILE 条件 ?频率分布表——数据详实 循环体 ?频率分布直方图——分布直观 (图4) ?频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 WEND 注:总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1。 直到型循环(UNTIL)语句的一般格式: ?茎叶图: ?茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看 DO 出数据的分布，以及中位数、众位数等。 循环体 ?个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从 LOOP UNTIL 条件 小到大书写，相同的数据重复写。 3、总体特征数的估计: (图5) xxxx，，，？，123n x?平均数:,; n?算法案例: ?辗转相除法—结果是以相除余数为0而得到 x,x,？,xp,p,？,p取值为的频率分别为，则12n12n利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下: ?):用较大的数m除以较小的数n得到一个xp，xp，？，xp其平均数为; 1122nn商和一个余数; SR00 注意:频率分布表计算平均数要取组中值。 ?):若,0，则n为m，n的最大公约数;R0 若?0，则用除数n除以余数得到一个商RRS001x,x,？,x?方差与标准差:一组样本数据 12n和一个余数; R1 ?):若,0，则为m，n的最大公约数;RR211n12若?0，则用除数除以余数得到一个商RRR方差:; s,(x,x)101i,n,i1和一个余数;„„ SR22 依次计算直至,0，此时所得到的即RRnn,12n1为所求的最大公约数。 s,(x,x)标准差: i,n?更相减损术—结果是以减数与差相等而得到 i1, 利用更相减损术求最大公约数的步骤如下: 注:方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。 ?):任意给出两个正数;判断它们是否都是平均数反映数据总体水平;方差与标准差反映偶数。若是，用2约简;若不是，执行第二步。 数据的稳定水平。 ?):以较大的数减去较小的数，接着把较小?线性回归方程 的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续?变量之间的两类关系:函数关系与相关关系; 这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数.. .. ?制作散点图，判断线性相关关系 A,A,？,A彼此互斥，则有: ?如果事件12n,y,bx，a?线性回归方程:(最小二乘法) P(A，A，？，A),P(A)，P(A)，？，P(A) 12n12n n?对立事件:两个互斥事件中必有一个要发生，,xynxy,,ii则称这两个事件为对立事件。 ,i,1,b,,A?事件的对立事件记作 An2 2,xnx,,i, P(A)，P(A),1,P(A),1,P(A)i,1,aybx,,,,?对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是 对立事件。 注意:线性回归直线经过定点。 (x,y)必修4数学知识点 第三章:概率 第一章:三角函数 、随机事件及其概率: 1?1.1.1、任意角 ?事件:试验的每一种可能的结果，用大写英、 正角、负角、零角、象限角的概念. 1 文字母表示; 2、 与角终边相同的角的集合: , ?必然事件、不可能事件、随机事件的特点; ,,,,,,，2k,,k,Z. mP(A),,0,P(A),1?随机事件A的概率:. n?1.1.2、弧度制 12、古典概型: 、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1?基本事件:一次试验中可能出现的每一个基弧度的角. l本结果; 2、 ,. ,?古典概型的特点: r ,nR?所有的基本事件只有有限个; 3、弧长公式:. l,,,R?每个基本事件都是等可能发生。 180?古典概型概率计算公式:一次试验的等可能2n,R1基本事件共有n个，事件A包含了其中的m个S,,lR4、扇形面积公式:. 3602mP(A),基本事件，则事件A发生的概率. n?1.2.1、任意角的三角函数 3、几何概型: 1、 设是一个任意角，它的终边与单位圆交, ?几何概型的特点: 于点，那么:，，Px,y?所有的基本事件是无限个; y?每个基本事件都是等可能发生。 ,y,x, sin,,cos,,tan,d的测度xP(A),?几何概型概率计算公式:; D的测度Axy,2、 设点为角终边上任意一点，那,，，其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、 yx面积、体积等。 22rxy,，么:(设), ，，sin,,cos,,4、互斥事件: rr?不可能同时发生的两个事件称为互斥事件; xy，cot,, tan,,A,A,？,A?如果事件任意两个都是互斥事yx12n sin,tan,3、 ，，在四个象限的符号和cos,A,A,？,A件，则称事件彼此互斥。 12n三角函数线的画yT?如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概法. P率，等于事件A，B发生的概率的和， 正弦线:MP; AxOMP(A，B),P(A)，P(B)即: 余弦线:OM; .. .. 正切线:AT ,,,，，sin,,sin, ,,,，，cos,,,cos, 5、 特殊角0?，30?，45?，60?， ，，tan,,,,,tan,.90?，180?，270?等的三角函数值. , 5、诱导公式五: , sin, ,,,,sin,,cos,,,cos, 2,, tan, ,,,cos,,,sin,.,,?1.2.2、同角三角函数的基本关系式 2,, 22sin,，cos,,11、 平方关系:. 6、诱导公式六: ,,,,sin,,sin，,cos,,,,tan,2、 商数关系:. 2,,cos, tancot1,,,3、 倒数关系: ,,,cos，,,,sin,.,,?1.3、三角函数的诱导公式 2,, k,Z(概括为“奇变偶不变，符号看象限”) ?1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、 诱导公式一: 、记住正弦、余弦函数图象: 1,,,sin，2k,sin,，， yy=sinx,,,，，cos，2k,cos,k,Z(其中:) ,37,,-5,-1 2，，tan,，2k,,tan,.222ox-7,,5,34-3,,-2,,-3,,-2-4,,, -12、 诱导公式二: 2222 y,,,，，sin，,,sin, y=cosx ,37,,,,,，，cos，,,cos, -5, 1--3-3,,,,2222 ，，tan,，,,tan,.ox4,-2,-7,,2,5,-3,-4,-1 22223、诱导公式三: 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性,,，，sin,,,sin,质:定义域、值域、最大最小值、对称轴、 ,,，，cos,,cos, 对称中心、奇偶性、单调性、周期性. ，，tan,,,,tan,.3、会用五点法作图. 4、诱导公式四: yx,sinx,[0,2],在上的五个关键点为: ,,3 (，)(，，)(，，)(，，)(，，).0010-120,,22 ?1.4.3、正切函数的图象与性质 y y=tanx 1、记住正切函数的图象: ,3,3,x,o,-,--2222 3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质:定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. .. .. 周期函数定义:对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都，，xfx 有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. ，，，，，，fx，T,fxfx 图表归纳:正弦、余弦、正切函数的图像及其性质 y,cosxy,tanx y,sinx 图象 ,定义 {x|x,，k,,k,Z}R R 2域 值域 [-1,1] [-1,1] R ,xkkZy,，,,2,1时，, maxxkkZy,,,2,1,时，2max 最值 无 xkkZy,，,,,2,1时，,,,minxkkZy,,,,,2,1时，,min2 T,2,T,2,T,, 周期 性 奇偶奇 偶 奇 性 ,,上单调递在[2,2]kk,，,,上单调递在[2,2]kk,,,,22,,单调上单调递在(,)kk,，,,增 增 22性 ,,3在上单调递，，[2,2]kk,,在[2,2]kk,,,，上单调递k,Z 增 22 减 减 ,对称轴方程:xk ,，,对称xk,, 对称轴方程:无对称轴 2k,,性 对称中心 对称中心 (,0)(,0)k,，(,0)k,对称中心 k,Z 22 y,sinx的图象与 2、能够讲出函数?1.5、函数的图象 ，，y,Asin,x，, yAxB,，，sin,,的图象之间的平移伸缩，，1、对于函数: 变换关系. yAxBA,，，,,sin0,0,,,有:振幅A，，，，，? 先平移后伸缩: 2,yx,，sin,yx,sin,x，,周期，初相,，相位，频率 平移||,个单位 ,T，， , (左加右减) ,1f,,. T2, 横坐标不变 .. .. yAx,，sin(),,求函数图像的对称轴与对称中yAx,，sin, ，，,心，只需令与xkkZ，,，,(),,,纵坐标变为原来的A倍 2 ,,,xkkZ，,,() 纵坐标不变 解出即可.余弦函数可与正弦函数类比可得. xyAx,，sin,, ，，4、由图像确定三角函数的解析式 1yy,yy，maxminmaxmin倍 横坐标变为原来的||利用图像特征:，. A,B,,22 ||B平移个单位 要根据周期来求,要用图像的关键点来求. ,, ?1.6、三角函数模型的简单应用 yAxB,，，sin,, ，，1、 要求熟悉课本例题. (上加下减) 第三章、三角恒等变换 ? 先伸缩后平移: ?3.1.1、两角差的余弦公式 ?3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 yAx,sinyx,sin 横坐标不变 1、 ，，sin,，,,sin,cos,，cos,sin,纵坐标变为原来的A倍 纵坐标不变 2、 ，，sin,,,,sin,cos,,cos,sin,yAx,sin, 3、 ，，cos,，,,cos,cos,,sin,sin,1横坐标变为原来的倍 ||,4、 ，，cos,,,,cos,cos,，sin,sin,,平移个单位 tantan,,，,tan,,，,5、. ，，1tantan,,,yAx,，sin,, ，，tantan,,,tan,,,,6、. ，，1tantan，,,(左加右减) ?3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 ||B平移个单位 sin2,,2sin,cos,1、， 1yAxB,，，sin,,sincossin2,,,, 变形: . ，，2 (上加下减) 22cos2,,cos,,sin,2、 3、三角函数的周期，对称轴和对称中心 yx,，sin(),,函数，x?R及函数2,2cos,,1 yx,，cos(),,，x?R(A,,,为常数，且A?, 2,2,1,2sin,. yx,，tan(),,,0)的周期T;函数，||, 变形如下: ,(A,ω,,为常数，且A?0)的xkkZ,，,,,2,1cos22cos，,,,,2 升幂公式: ,2,1cos22sin,,,,,,T周期,. ||,21,,,,，cos(1cos2)yAx,，sin(),,yAx,，cos(),,对于和来,2降幂公式: ,说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点21,sin(1cos2),,,,,2联系. .. .. 2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则. ,2tan,tan2,3、. 21,tan, sin21cos2,,, 4、 tan,,, 1cos2sin2，,, ?3.2、简单的三角恒等变换 1、注意正切化弦、平方降次. 2、辅助角公式 ?2.2.3、向量数乘运算及其几何意义 22y,asinx，bcosx,a，bsin(x，,) ,与向量的积是一个向量，这1、 规定:实数a (,)ab(其中辅助角所在象限由点的象限决,种运算叫做向量的数乘.记作:，它的,a b长度和方向规定如下: 定, ). tan,,a ,a,,a, ?第二章:平面向量 ?2.1.1、向量的物理背景与概念 1、 了解四种常见向量:力、位移、速度、加,,0 ?当时, 的方向与的方向相同;,aa 速度. 2、 既有大小又有方向的量叫做向量. ,,0当时, 的方向与的方向相反. ,aa?2.1.2、向量的几何表示 ，，aa,02、 平面向量共线定理:向量与 共线，b1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段 包含三个要素:起点、方向、长度. ,当且仅当有唯一一个实数，使. b,,a2、 向量的大小，也就是向量的长度(或ABAB ?2.3.1、平面向量基本定理 ,,,, 称模)，记作;长度为零的向量叫做零ABe,e1、 平面向量基本定理:如果是同一平面12 向量;长度等于1个单位的向量叫做单位内的两个不共线向量，那么对于这一平面向量. 内任一向量，有且只有一对实数，a,,,3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量12 (或共线向量).规定:零向量与任意向量 a,,e，,e使. 平行. 1122?2.1.3、相等向量与共线向量 ?2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. ，，a,xi，yj,x,y1、 . ?2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则. ?2.3.3、平面向量的坐标运算 ，，，，a,x,y,b,x,y1、 设，则: 1122 ，，a，b,x，x,y，y ?， 1212 ，，a,b,x,x,y,y?， 1212 a，ba，b2、?. ，，,a,,x,,y?， 11?2.2.2、向量减法运算及其几何意义 a//b,xy,xy?. 12211、 与长度相等方向相反的向量叫做的相反aa 2、 设，则: ，，，，Ax,y,Bx,y向量. 1122.. .. ,,,,,xxh,，,，， AB,x,x,y,y. 2121,， 则 PPhk,(,),,yyk,，.,?2.3.4、平面向量共线的坐标表示 ,1、设，则 ，，，，，，Ax,y,Bx,y,Cx,yyfx,() 函数的图像按向量平移后ahk,(,)112233 x，xy，y1212ykfxh,,,().的图像的解析式为 ，，,?线段AB中点坐标为， 22 ?2.5.1、平面几何中的向量方法 x，x，xy，y，y123123，，,??ABC的重心坐标为. 33?2.5.2、向量在物理中的应用举例 ?2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义 知识链接:空间向量 a,b,abcos,1、 . 空间向量的许多知识可由平面向量的知识类 下面对空间向量在立体几何中证明，求比而得.acos,、 在方向上的投影为:. 2ab值的应用进行总结归纳. 221、直线的方向向量和平面的法向量 a,a3、 . ?(直线的方向向量: ,,,,2AB4、 . l 若A、B是直线上的任意两点，则为直a,a ,,,, ABl线的一个方向向量;与平行的任意非零向5、 . a,b,a,b,0 l?2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 量也是直线的方向向量. ?(平面的法向量: ，，，，a,x,y,b,x,y1、 设，则: 1122, 若向量所在直线垂直于平面，则称这个n,a,b,xx，yy? 1212,, 向量垂直于平面，记作，如果，,n,,n,,22a,x，y? 11, 那么向量叫做平面的法向量. n,,,,, ababxxyy,,,,,，,00? 1212?(平面的法向量的求法(待定系数法): ,,,, ?建立适当的坐标系( ababxyxy//0,,,,,,? 1221, ?设平面的法向量为( nxyz,(,,), 、 设，则: 2，，，，Ax,y,Bx,y1122?求出平面内两个不共线向量的坐标 ,,,22，，，，AB,x,x，y,y. aaaabbbb,,(,,),(,,)( 2121123123 ,,3、 两向量的夹角公式 ,na,,0,,,?根据法向量定义建立方程组. ,,,xxyyab，,1212nb,,0, cos,,,,,,2222abxyxy，,，1122?解方程组，取其中一组解，即得平面的, 4、点的平移公式 法向量. Pxy(,) 平移前的点为(原坐标)，平移后的(如图) ,,,Pxy(,)对应点为(新坐标)，平移向量为 .. .. ,,, ,am,,0, ,,.l则, ,,,an0,,,,2、 用向量方法判定空间中的平行关系 ?线线平行 即:直线与平面垂直直线的方向向量与 ,,平面的法向量共线直线的方向向量与平面 设直线的方向向量分别是，则要证明ll,ab、12内两条不共线直线的方向向量都垂直。 ,,,,?面面垂直 ?，只需证明?，即. lakbkR,,()lab12, , 若平面的法向量为，平面的法向量为,u 即:两直线平行或重合两直线的方向向量 ,,,,,共线。 ,,,，要证，只需证，即证. vuv,uv,,0?线面平行 , 即:两平面垂直两平面的法向量垂直。 l?(法一)设直线的方向向量是，平面,a4、利用向量求空间角 ,?求异面直线所成的角 l的法向量是，则要证明?，只需证明,u ab,已知为两异面直线，A，C与B，D分别是,,,, ，即. au,au,,0 ab,ab,,上的任意两点，所成的角为， 即:直线与平面平行直线的方向向量与,,,,,,,,该平面的法向量垂直且直线在平面外 ACBD, 则cos., ,,,,,,,,,?(法二)要证明一条直线和一个平面平行，ACBD也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向 ?向量是共线向量即可. 求直线和平面所成的角 面面平行 ? ?定义:平面的一条斜线和它在平面上的射 ,影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的,若平面的法向量为，平面的法向量为,u新疆王新敞奎屯角 ,,,,,,,，要证?，只需证?，即证. ,vuvuv,,l?求法:设直线的方向向量为，平面的,a ,,,即:两平面平行或重合两平面的法向量,法向量为，直线与平面所成的角为，与的uau共线。 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ,夹角为,， 则为,的余角或,的补角 ?线线垂直 ,,的余角.即有: 设直线的方向向量分别是，则要证ll,ab、,,12au,,,,,s.in,cos, ,,,明，只需证明，即. ll,ab,ab,,0au12 即:两直线垂直两直线的方向向量垂直。 求二面角 ? ?线面垂直 ?定义:平面内的一条直线把平面分为两个 ,部分，其中的每一部分叫做半平面;从一条直l?(法一)设直线的方向向量是，平面,a线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面 ,,角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫l,,的法向量是，则要证明，只需证明?ua新疆王新敞奎屯 做二面角的面 ,,,,,l,,二面角的平面角是指在二面角的，即. uau,, 棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线, l?(法二)设直线的方向向量是，平面,aAO,l,BO,l,,l,,，AOB，则为二面角的 ,,,,,平面角. 内的两个相交向量分别为，若mn、 .. .. ,,,,, nMP,,,,,如图: ,,MP,,,,,A l B nMP ,,,,, O B nMP, ,,O A n,,,,l?求法:设二面角的两个半平面的 ,,,,,,?直线与平面之间的距离 a,法向量分别为，再设的夹角为，二,mn、mn、 当一条直线和一个平面平行时，直线上的各,,, ,,,,l的平面角为,，则二面角,为面角mn、点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面 的距离可转化为求直线上任一点到平面的距的夹角或其补角 ,,,,.离，即转化为点面距离。 ,,,,,,根据具体图形确定是锐角或是钝角: nMP,,,, 即d,. ,mn,n,?如果是锐角，则coscos,,， ,,,,, mn ,,,,,,?两平行平面之间的距离 mn, 即,arccos; ,,,, mn 利用两平行平面间的距离处处相等，可将两 ,,,平行平面间的距离转化为求点面距离。 mn,,,,,, ,? 如果是钝角，则coscos,,， ,,,,nMP,,,, mn即d,. , n ,,,,,mn,?异面直线间的距离 ,,,arccos,, 即. ,,,,,,mnab, 设向量与两异面直线都垂直，n,, 5、利用法向量求空间距离 MaPb,,,,ab,d则两异面直线间的距离就是 l?点Q到直线距离 ,,,,,,lla 若Q为直线外的一点,P在直线上，为直MP在向量方向上投影的绝对值。 n,,,,,,,,,,ll线的方向向量，=，则点Q到直线距离PQbnMP,,,1,,22 即d,. ,为 habab,,,(||||)(),n||a 三垂线定理及其逆定理 6、?点A到平面的距离 , ?三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它若点P为平面外一点，点M为平面内任,,和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也一点， 新疆王新敞奎屯和这条斜线垂直 ,P推理模式:平面的法向量为，则P到平面的距离就等,,n POO,,,,,,,,,,,,MP于在法向量方向上的投影的绝对值. nPAAaPA:,,,,O, ,A,,,,,,,,,,aaOA,,,,a,dMPnMP,cos,即 , 概括为:垂直于射影就垂直于斜线. ?三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线，.. .. abc如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和 ,,,,sin,sin,sin;ABC新疆王新敞奎屯这条斜线的射影垂直 222RRR ,,abcABC::sin:sin:sin. POO,,,,,, ,用途:?已知三角形两角和任一边，求其它元推理模式: PAAaAO:,,,,,素; ,aaAP,,,,, ?已知三角形两边和其中一边的对角， 概括为:垂直于斜线就垂直于射影. 求其它元素。 2、余弦定理: 2227、三余弦定理 ,abcbcA,，,2cos, ,设AC是平面内的任一条直线，AD是的,,222 bacacB,，,2cos,,一条斜线AB在内的射影，且BD?AD，垂足为,,222cababC,，,2cos.D.设AB与 (AD)所成的角为， AD与AC所,,,1 222,， AB与AC所成的角为(则成的角为,,bca，,2cos,A,,2bcB,222acb，,,cos,B, ,,2ac,,1A222D,2,abc，,cos.C,,,C2ab, 用途:?已知三角形两边及其夹角，求其它元. coscoscos,,,,12 素; ?已知三角形三边，求其它元素。 8、 面积射影定理 做题时两个定理经常结合使用. ,已知平面内一个多边形的面积为 3、三角形面积公式: SS，它在平面内的射影图形的面积为,，，原111 S,absinC,bcsinA,acsinB,ABC,,SS，平面与平面所成的二面角的大小,，，射222 4、三角形内角和定理: ,为锐二面角，则 '在?ABC中，有SS射 cos=.,,ABCCAB，，,,,,，,,() SS原CAB,，9、一个结论 ,,,，222()CAB,. ,,,222l长度为的线段在三条两两互相垂直的直线5、一个常用结论: 上的射影长分别为，夹角分别为lll、、123abABAB,,,,,sinsin;,ABC 在中， ,则有 ,,,、、123,2222222若特别注sin2sin2,.ABABAB,,，,则或 llll,，，,，，,coscoscos1,,,1231232222. ,，，,sinsinsin2,,,sinsinABAB,,,意，在三角函数中，不成123 立。 (立体几何中长方体对角线长的公式是其特 例). 第二章:数列 必修5数学知识点 1、数列中与之间的关系: aSnn第一章:解三角形 1、正弦定理: Sn,(1),,1注意通项能否合并。 a,abc,n. ,,,2RSSn,,,(2).,nn1,sinAsinBsinC 2、等差数列: ,ABCR(其中为外接圆的半径) ?定义:如果一个数列从第2项起，每一项与,,,,aRAbRBcRC2sin,2sin,2sin; .. .. 它的前一项的差等于同一个常数，即a,ab、G、成等比数列?等比中项:若三数n ，2=d ，(n?2，n?N)， aab(同号)。反之不一定成立。 ,,Gab,n,1 那么这个数列就叫做等差数列。 nnm,,1?通项公式: aaqaq,,nm1aAb、、?等差中项:若三数成等差数列 ab，naq1, ,,A，，aaq,11n?前项和公式: nS,,2n11,,qq ?通项公式: aandanmd,，,,，,(1)()nm1?常用性质 ?若，则，，m，n,p，q m,n,p,q,N 或 apnqpq,，(、是常数).，n ; aaaa,,,mnpq?前项和公式: nk?为等比数列，公比为(下a,a,a,？qkk，mk，2m nnnaa,，1，，，，1n标成等差数列,则对应的项成等比数列) Snad,，,n122,a,?数列(为不等于零的常数)仍是公比,,n?常用性质: alga为的等比数列;正项等比数列;则q,,,,?若，则，，m，n,p，q m,n,p,q,Nnn， ; a，a,a，amnpqlgq是公差为的等差数列; ?下标为等差数列的项，仍组，，a,a,a,？kk，mk，2m ,,12成等差数列; caa，，，?若是等比数列，则 ,,a,,,,,,nnnan,,,,b?数列(为常数)仍为等差数列; ,,,a，bn rarZ(),是等比数列，公比依次是,,?若、是等差数列，则、{}a{}b{}kannnn k (、p是非零常数)、{}kapb，nn12rqqq，，， .*{}(,)apqN,、，„也成等差数列。 qpnq， d?单调性:的公差为，则: ,,a?单调性: n d,0,?)为递增数列; ,,a,a为递增数列;naqaq,,,,,0,10,01或,,n11 d,0,?)为递减数列; ,,anaqaqa,,,,,,0,010,1或为递减数列; ,,11nd,0,?)为常数列; ,,an qa,,1为常数列; a?数列{}为等差数列(p,q是,,，apnq,,nnn 常数) qa,,0为摆动数列; ,,n?若等差数列的前项和，则、,,anSSnnk?既是等差数列又是等比数列的数列是常数 列。 、„ 是等差数列。 S,SS,S2kk3k2k ?若等比数列的前项和，则、,,anSSnnk3、等比数列 ?定义:如果一个数列从第2项起，每一项与、„ 是等比数列. S,SS,S2kk3k2k它的前一项的比等于同一个常数，那么这个 数列就叫做等比数列。 4、非等差、等比数列通项公式的求法 .. .. a,n类型? 观察法:已知数列前若干项，求fn,,(1),an,1,该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，a,n,1,,fn(2),寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通a ,n,2项。 ,...n,类型? 公式法:若已知数列的前项和 a,2与的关系，求数列的通项可用公式 ,,Saaaf,(1)nnnn,a1,Sn,(1),,1构造两式作差求解。 a,n,1将上述个式子两边分别相乘，可得:,nSSn,,,(2),nn1, afnfnffan,,,,,,,(1)(2)...(2)(1),(2)n1用此公式时要注意结论有两种可能，一种 是“一分为二”，即分段式;另一种是“合二为有时若不能直接用，可变形成这种形式，然 后用这种方法求解。 n,1一”，即和合为一个表达，(要先分和aa1n 类型? 构造数列法: n,2两种情况分别进行运算，然后验证能否统 一)。 ?形如(其中均为常数且pq,a,pa，qn，1n类型? 累加法: p,0)型的递推式: f(n)形如型的递推数列(其中a,a，f(n)n，1n 是关于的函数)可构造: np,1(1)若时，数列{}为等差数列; an aafn,,(1),,nn,1,q,0(2)若时，数列{}为等比数列; aaafn,,,(2),nnn,,12 ,...,p,1q,0(3)若且时，数列{}为线性递an,aaf,,(1)21, 推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数n,1将上述个式子两边分别相加，可得: 列来求.方法有如下两种: afnfnffan,,，,，，，,(1)(2)...(2)(1),(2)n1 法一:设,展开移项整理apa，,，,,()nn，1 fn()?若是关于的一次函数，累加后可转化n 得,与题设比apap,，,(1),apaq,，nn，1nn，1为等差数列求和; 较系数(待定系数法)得fn()? 若是关于的指数函数，累加后可转化n qqq,,,,，,，,(0)()papann，1为等比数列求和; ,,,111ppp fn()?若是关于的二次函数，累加后可分组n ,,qqq,，,，(),即构apaa，,,nn,1求和; n,,11pp1p,,, fn()?若是关于的分式函数，累加后可裂项n qa，p成以为首项，以为公比的等比数列.1求和. p,1 类型? 累乘法: ,,q,,an，1再利用等比数列的通项公式求出的a，()形如,fn型的递推数列aafn,,(),,n,,nn，11p,a,,n,, 通项整理可得 a.f(n)n(其中是关于的函数)可构造:n .. .. 法二:由得两a,pa，qapaqn,，,(2)n，1nnn,1两边同时乘以得——qaqpqaqfn,，,(1)nn,1aa,nn，1,aa,,p式相减并整理得即构成,,nn，1aa,nn,1?，由??两式相减得，aaqpaqa,,,()nnnn，,11以为首项，以为公比的等比数列.求出paa,21 aqa,nn，1aa,的通项再转化为类型?(累加法)便,,nn，1即,p，在转化为类型??便可求出aqa,nn,1可求出 a.n (1)p,?形如型的递推式: apafn,，() a.nn，1n nfn()?当为一次函数类型(即等差数列)时: 法三:递推公式为(其中p，a,pa，q，1nn naAnBpaAnB，，,，,，(1)法一:设，,,(其中p，q, rq均为常数)或aparq,，nn,1nn，1 均为常数)时，要先在原递推公式两边同时除AB、通过待定系数法确定的值，转化成以 aap1n，1n，1n,,，以，得:，引入辅助数列qn，1n为首项，以p为公比的等比数列aAB，，qqqq1 apaAnB，，，再利用等比数列的通项公式求出1,,nnb,bb(其中)，得:,，再应,,bnn，1nnnqqqaAnB，，的通项整理可得 a.,,nn用类型??的方法解决。 fn()?当为任意数列时，可用通法: fn()d法二:当的公差为时，由递推式得: n，1，两式相减apafn,，()apafn,，,(1) 在两边同时除以可得apafn,，()pnn，1nn,1nn，1 得:，令aapaad,,,，()baa,,aaafn()nnnn，,11nnn，1nn，1n到,，，令,b，则nnnnn，，11pppp 得:转化为类型??求出 ，再bpbd,，bnn,1n fn(),，，在转化为类型?(累加法)，bbnn，1n，1用类型?(累加法)便可求出 a.pn nfn()?当为指数函数类型(即等比数列)时: 求出之后得. apb,bnnn afnpafn，,，,,,()(1)法一:设，通,,类型? 对数变换法: nn,1 q形如apapa,,,(0,0)型的递推式: ,过待定系数法确定的值，转化成以af，,(1)，1nn1 qafn，,()p为首项，以为公比的等比数列，,,在原递推式apa,两边取对数得nn，1 afn，,()再利用等比数列的通项公式求出,,，令得:lglglgaqap,，ba,lgnnn，1nn的通项整理可得 a.，化归为型，求出bqbp,，lga,pa，qnn，1nnn，1 bnfn()法二:当的公比为时，由递推式得:q之后得a,10.(注意:底数不一定要取10，bnn 可根据题意选择)。 ——?，，apafn,，()apafn,，,(1)nn，1nn,1 .. .. ab,比，然后在错位相减，进而可得到数列的,,类型? 倒数变换法: nn 前项和. np,0形如(为常数且)的paapaa,,nnnn,,11此法是在推导等比数列的前项和公式时所n 用的方法. 11,，p递推式:两边同除于，转化为aann,1aa?裂项相消法 nn,1 1形式，化归为型求出的表达式，a,pa，qn，1nca一般地，当数列的通项a, nn()()anbanb，，12再求; an 时，往往可将变成两项的(,,,abbc为常数)a12nman还有形如的递推式，也可采用取倒,an，1，paq差，采用裂项相消法求和. n 11mm待定系数法进行裂项: 可用形式，化归为数方法转化成,，aqapnn，1,,a,,设，通分整理后与原1n型求出的表达式，再求. a,pa，qan，1nnanbanb，，12an c,,式相比较，根据对应项系数相等得，类型? 形如型的递推式: a,pa，qa,bbn，2n，1n21 从而可得 用待定系数法，化为特殊数列的{a,a}nn,1 cc11=()., 形式求解。方法为:设()()()anbanbbbanbanb，，,，，122112 ，比较系数得a,ka,h(a,ka)n，2n，1n，1n 常见的拆项公式有: h，k,p,,hk,qhk、，可解得，于是{}aka,nn，1 111? ,,;h是公比为的等比数列，这样就化归为nnnn(1)1，， 型。 a,pa，qn，1n 1111? ,,();总之，求数列通项公式可根据数列特点采(21)(21)22121nnnn,，,，用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法 求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出11? ,,();ab数列通项公式 a.ab,ab，n ?分组法求和 5、非等差、等比数列前项和公式的求法 n有一类数列，既不是等差数列，也不是等 比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个?错位相减法 等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再 将其合并即可.一般分两步:?找通向项公式?ab?若数列为等差数列，数列为等比,,,,nn由通项公式确定如何分组. ab,数列，则数列的求和就要采用此法. ,,nn ?倒序相加法 ab,b?将数列的每一项分别乘以的公,,,,nnn .. .. a如果一个数列，与首末两项等距的两项之,,nab，，abR，, ,?(基本不等式) ,ab，，2和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着 ab,(当且仅当时取到等号). 写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和， 2ab，这种求和方法称为倒序相加法。特征:,,变形公式: abab，,2ab,.,,2,, aaaa，,，,...121nn, 用基本不等式求最值时(积定和最小，和定?记住常见数列的前项和: n积最大)，要注意满足三个条件“一正、二定、nn(1)，? 123...;，，，，,n三相等”. 2 2? 135...(21);，，，，,,nn?(三个正数的算术—几何平均不等式) abc，，1，32222,abc(当且仅当()abcR、、,? 123...(1)(21).，，，，,，，nnnn36 第三章:不等式 abc,,时取到等号). ?3.1、不等关系与不等式 222abcabbccaabR，，,，，,， ?1、不等式的基本性质 ，， abba,,,?(对称性) abc,,(当且仅当时取到等号). abbcac,,,,,?(传递性) 333? abcabcabc，，,,,,3(0,0,0) abacbc,,，,，?(可加性) abc,,(当且仅当时取到等号). (同向可加性) a,b,c,d,a，c,b，dba?(当仅当a=b时取等号) 若则ab,，,0,2ab (异向可减性) a,b,c,d,a,c,b,dba(当仅当a=b时取等号) 若则ab,，,,0,2ab ?(可积性) a,b,c,0,ac,bcbb，ma，na,,1,,? aa，mb，nb a,b,c,0,ac,bc (000)abmn,,,,，，其中 ?(同向正数可乘性) abcdacbd,,,,,,0,0 规律:小于1同加则变大，大于1同加则变小. ab(异向正数可除性) abcd,,,,,,0,022cd? 当时，或axaxaxaxa,,,,,,,,0; nn?(平方法则) ababnNn,,,,,,0(,1)且22xaxaaxa,,,,,,,. nn?(开方法则) ababnNn,,,,,,0(,1)且ababab,,,,，.?绝对值三角不等式 ?(倒数法则) 1111a,b,0,,;a,b,0,, 3、几个重要不等式 abab?平均不等式:2、几个重要不等式 22222abab，，abababR，,,2，ab,?,(当且仅当时，， ,,,ab,,11ab，22 22ab，，ab,.取"",号). 变形公式: abR，,ab,,(当且仅当时取"",号). ，，2 (即调和平均几何平均算术平均平方平,,,.. .. 均). fx(),,,,0()()0fxgx 变形公式: gx() “,,或” (时同222fxgx()()0,,,abab，，fx(),, ab,,;,,0,,,gx()0,gx()22,,, 理) 2()ab，22规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求ab，,. 2解. 4、不等式证明的几种常用方法 8、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解 常用方法有:比较法(作差，作商法)、综fx()0,,? fxaa()(0),,,合法、分析法; ,2fxa(),,其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构 . 造法，函数单调性法，数学归纳法等fx()0,,? fxaa()(0),,,常见不等式的放缩方法: ,2fxa(),,13122?舍去或加上一些项，如 ()();aa，，,，242fx()0,,fx()0,,,?将分子或分母放大(缩小)，如 fxgx()(),,或? gx()0,,,gx()0,,2,1111fxgx()[()],, ,,,,22kkk(1),kkk(1)， fx()0,,,2212fxgx()(),,? gx()0,, (),,,,2,21kkkkkk，，,fxgx()[()],, fx()0,,12*等. ,,,(,1)kNk,fxgx()(),,? gx()0,,kkk，，1 ,fxgx()(),,5、一元二次不等式的解法 规律:把无理不等式等价转化为有理不等式，2求一元二次不等式 axbxc，，,,0(0)或诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法: 2解集的步骤: (0,40)abac,,,,, fxgx()()a,1?当时, aafxgx,,,()()一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. fxgx()()01,,a?当时, aafxgx,,,()()三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象. 规律:根据指数函数的性质转化. 五解集:根据图象写出不等式的解集. 10、对数不等式的解法 a,1规律:当二次项系数为正时，小于取中间，大?当时, 于取两边. fx()0,, ,6、高次不等式的解法:穿根法. log()log()()0fxgxgx,,, ,aa分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次,fxgx()(),,往下穿(奇穿偶切)，结合原式不等号的方向， 01,,a写出不等式的解集. ?当时, 7、分式不等式的解法:先移项通分标准化，则 fx()0,, ,log()log()()0.fxgxgx,,, ,aa ,fxgx()(),,.. .. 规律:根据对数函数的性质转化. a,0,a,0?当时 ,11、含绝对值不等式的解法: ,,,0.,aa(0),,?定义法: a,.,fxa(),?恒成立 ,,fxa();,,aa(0)max, 22fxa(),fxgxfxgx()()()().,,,?平方法: 恒成立 ,,fxa();max?同解变形法，其同解定理有: fxa(),?恒成立 ,,fxa();min xaaxaa,,,,,,(0);? fxa(),恒成立 ,,fxa().min xaxaxaa,,,,,,或(0);? 15、线性规划问题 二元一次不等式所表示的平面区域的判断: ?? 法一:取点定域法: fxgxgxfxgxgx()()()()()(()0),,,,,, AxByC，，,0由于直线的同一侧的所有? fxgxfxgxfxgxgx()()()()()()(()0),,,,,,或 AxByC，，点的坐标代入后所得的实数的符号. 规律:关键是去掉绝对值的符号 相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式 的解法: 一侧任取一特殊点(如原点)，由(,)xy00、规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值 每段中取交集，最后取各段的并集. 的正负即可判断出AxByC，，00、含参数的不等式的解法 13 2AxByC，，,0,0)或表示直线哪一侧的平面(axbxc，，,0解形如且含参数的不等式 时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准区域. 有: 即:直线定边界，分清虚实;选点定区域， ?讨论与0的大小; 常选原点. a ?讨论,与0的大小; AxByC，，,0,0)法二:根据B或，观察(?讨论两根的大小. 14、恒成立问题 的符号与不等式开口的符号，若同号， 2AxByC，，,0,0)或表示直线上方的区域;(axbxc，，,0?不等式的解集是全体实数(或 恒成立)的条件是: 若异号，则表示直线上方的区域.即:同号上方， ,,,bc0,0;a,0?当时 异号下方. a,0,a,0?当时 ,?二元一次不等式组所表示的平面区域: ,,,0., 不等式组表示的平面区域是各个不等式所 表示的平面区域的公共部分. 2axbxc，，,0?不等式的解集是全体实数(或 zAxBy,，(,AB?利用线性规划求目标函数为 恒成立)的条件是: 常数)的最值: ,,,bc0,0;a,0?当时 法一:角点法: zAxBy,，如果目标函数 (xy、即为公共.. .. 区域中点的横坐标和纵坐标)的最值存在，则 这些最值都在该公共区域的边界角点处取得， 将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对 应值，最大的那个数为目标函数的最大值，选修数学知识点 zz 最小的那个数为目标函数的最小值 专题一:常用逻辑用语 z 法二:画——移——定——求: 1、命题:可以判断真假的语句叫命题; 第一步，在平面直角坐标系中画出可行域;逻辑联结词:“或”“且”“非”这些词就叫 做逻辑联结词; 第二步，作直线 ，平移直线(据lAxBy:0，,l00简单命题:不含逻辑联结词的命题; 复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的可行域，将直线平行移动)确定最优解;第三l0命题. (,)xy(,)xy步，求出最优解;第四步，将最优解，，，，„„表常用小写的拉丁字母pqsr 示命题. zAxBy,，代入目标函数即可求出最大值或最2、四种命题及其相互关系 小值 .第二步中最优解的确定方法:利用 的几z Azz 何意义:,为直线的纵截距.?yx,,， BBB B,0,zAxBy,，若则使目标函数所表示直线 的纵截距最大的角点处，取得最大值，使直 z 线的纵截距最小的角点处，取得最小值; z 四种命题的真假性之间的关系: B,0,zAxBy,，?若则使目标函数所表 ?、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真示直线的纵截距最大的角点处，取得最小值，z假性; 使直线的纵截距最小的角点处，取得最大值. z?、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的 真假性没有关系( ?常见的目标函数的类型: 3、充分条件、必要条件与充要条件 pq,p?、一般地，如果已知，那么就说:是 zAxBy,，;?“截距”型: 的充分条件，是p的必要条件; qq yb,y?“斜率”型:或 z,;z,pq,p若，则是q的充分必要条件，简称充要xa,x 条件( 2222?、充分条件，必要条件与充要条件主要用来zxy,，;?“距离”型:或 zxy,， p区分命题的条件与结论q之间的关系: 2222zxayb,,，,()().或 zxayb,,，,()()?、从逻辑推理关系上看: pq,pp?若，则是q充分条件，q是的必要 在求该“三型”的目标函数的最值时，可 条件; 结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而 使问题简单化. pq,pp?若，但q ，则是q充分而不必要 条件; .. .. ?复合命题的真假判断 ?若 ，但，则是必要而不充分pqp,pqq 或”形式复合命题的真假判断方法:一真“pq条件; 必真; ?若pq,且qp,，则p是的充要条件; q “p且”形式复合命题的真假判断方法:一假q ?若p 且 p，则p是的既不充分也不qqq必假; 必要条件. “非”形式复合命题的真假判断方法:真假p?、从集合与集合之间的关系上看: 相对. Axx,Bxx,p已知满足条件，满足条件,,,5、全称量词与存在量词 ?全称量词与全称命题 q: , 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫 ”表示.含有全称量做全称量词，并用符号“,AB,?若,则p是充分条件; q词的命题，叫做全称命题. ?存在量词与特称命题 BA,?若,则p是必要条件; q短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通 ”表示.含有存常叫做存在量词，并用符号“，?若A B，则p是充分而不必要条件; q在量词的命题，叫做特称命题. ?全称命题与特称命题的符号表示及否定 ?若B A，则p是必要而不充分条件; q ,,,xpx,()?全称命题p:，它的否定:，p?若，则p是的充要条件; AB,q 全称命题的否定是特称命题( ，,,，xpx,().00 AB,BA,?若p且，则是q的既不充分也不 ?特称命题p:，它的否定:，p，,,xpx,(),00必要条件. 4、复合命题 ,,,，xpx,().特称命题的否定是全称命题.?复合命题有三种形式:pp或q(pq,);且 p，pq(pq,);非(). 专题二:圆锥曲线与方程 1(椭圆 y轴上 焦点在焦点的位置 焦点在轴上 x 图形 2222xyyx标准方程 ，,,,10ab，,,,10ab ，，，，2222abab.. .. 的距离之和等于常数2，即() 到两定点FF、||||2MFMFa，,2||aFF,a第一定义 222111 MF与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数，即 ,,,ee(01)e第二定义 d ,,,byb,,,aya且 ,,,bxb且 ,,,axa范围 ,,a,0,a,0,,0,a,0,a、 、 ，，，，，，，，1122顶点 ,,0,b,0,b,,b,0,b,0、 、 ，，，，，，，，1212 ,2b轴长 长轴的长,2a 短轴的长 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 yx对称性 Fc,,0Fc,0Fc0,,Fc0,、 、 ，，，，，，，，焦点 1122 222FFccab,,,2() 焦距 12 2222ccabb,离心率 ee,,,,,,,1(01)222aaaa 22aa准线方程 x,,y,, cc MFaex,，MFaey,， 左焦半径:下焦半径:焦半径 1010Mxy() 0,0MFaex,,MFaey,,右焦半径: 上焦半径: 2020 ,2 SbFMF,,，tan(),焦点三角形面积 ,MFF12122 2b,通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径:HH, a (焦点)弦长公式 222AxyBxy(),()， ABkxxkxxxx,，,,，,,11()41,12,2121212 2.双曲线 y轴上 焦点在 焦点的位置 焦点在轴上 x .. 图形 轴上 焦点在y 焦点的位置 焦点在轴上 x .. 图形 2222xyyx标准方程 ,,,,10,0ab,,,,10,0ab ，，，，2222abab 2a到两定点的距离之差的绝对值等于常数，即FF、||||2MFMFa,,2211第一定义 () 02||,,aFF21 MF与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数，即 ,,ee(1)e第二定义 d yR,ya,,ya,xR,xa,,或xa,， 或， 范围 ,,a,0,,0,a,a,0,0,a、 、 ，，，，，，，，顶点 1212 ,2b,2a轴长 实轴的长 虚轴的长 关于轴、y轴对称，关于原点中心对称 x对称性 Fc,,0Fc,0Fc0,,Fc0,、 、 ，，，，，，，，焦点 1122 222FFccab,,，2() 焦距 12 2222ccabb，离心率 ee,,,,，,1(1)222aaaa 22aa准线方程 x,,y,, cc ba yx,,yx,,渐近线方程 ab ,,，左焦:MFexa,,，左焦:MFeya1010,,MM在右支 在上支 ,,焦半径 右焦:MFexa,,右焦:MFeya,,,,2020,,Mxy() 0,0,,,,左焦:MFexa,,,,左焦:MFeya1010,,MM在左支 在下支 ,,右焦:MFexa,,，右焦:MFeya,,，,,2020,, ,焦点三角形面2 SbFMF,,，cot(),,MFF1212积 2 .. .. 2b,通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径:HH,a 图形 2222 ypx,2ypx,,2xpy,2xpy,,2标准方 程 p,0p,0p,0p,0，，，，，，，， l与一定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F定义 l不在定直线上) F 0,0 ，，顶点 e,1 离心率 轴 y对称轴 轴 x y,0y,0 x,0x,0 范围 pppp,,,,,,,, F,0F,,0F0,F0,,焦点 ,,,,,,,,2222,,,,,,,, pppp准线方x,,y,,x,y, 程 2222焦半径 ppppMxy()MFx,，MFx,,，MFy,,，MFy,， 0,000002222 ,HHp,2过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径: 通径 焦点弦 ABxxp,，， 长 12 公式 p参数 pp表示焦点到准线的距离，越大，开口越阔 参数 的几何 意义 3(抛物线 2,设AB为过抛物线焦点的弦，，直线AB的倾斜角为，则 AxyBxy(,)(,)、ypxp,,2(0)1122 .. .. 2设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为,，ABABAxyBxy(,)(,)、ypxp,,2(0)1122 2p2p2xxyyp,,,,;则? ? ? 以为直径的圆与准线相切; AB,AB;121224,sin 112,AB、? 焦点对在准线上射影的张角为 ? F，,.;2||||FAFBP M S专题四:推理与证明 ,是的一个子集, 的所有元素都具有性质PM?a S 1、归纳推理 把从个别事实中推演出一般性结论的推理, 简称归纳). 称为归纳推理( S简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊那么中所有元素也都具有性质P. 到一般的推理。 从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一 定正确，有待进一步证明;演绎推理在前提和归纳推理的一般步骤: 通过观察个别情况发现某些相同的性质; 推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正, 确. 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一, 般命题(猜想); 5、直接证明与间接证明 ?综合法:利用已知条件和某些数学定义、公证明(视题目要求，可有可无). , 2、类比推理 理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推 由两类对象具有某些类似特征和其中一类导出所要证明的结论成立. 对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有框图表示: 这些特征的推理称为类比推理(简称类比)( 要点:顺推证法;由因导果. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理. ?分析法:从要证明的结论出发，逐步寻找使类比推理的一般步骤: 它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; ,论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、用一类对象的已知特征去推测另一类对象的,定理、定义、公理等)为止. 特征，从而得出一个猜想; 检验猜想。 ,框图表示: 3、合情推理 要点:逆推证法;执果索因. 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，?反证法:一般地，假设原命题不成立，经过经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错类比，然后提出猜想的推理. 误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是 归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗一种间接的证明方法. 地说，合情推理是指“合乎情理”的推理. 反证法法证明一个命题的一般步骤: 4、演绎推理 (1)(反设)假设命题的结论不成立; 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下(2)(推理)根据假设进行推理,直到导出矛盾的结论，这种推理称为演绎推理( 为止; 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理. (3)(归谬)断言假设不成立; 演绎推理的一般模式———“三段论”，包括 (4)(结论)肯定原命题的结论成立. ?大前提-----已知的一般原理; 6、数学归纳法 数学归纳法是证明关于正整数的命题的一种n ?小前提-----所研究的特殊情况; 方法. ?结论-----据一般原理，对特殊情况做 用数学归纳法证明命题的步骤; 出的判断(用集合的观点来理解:若集合M中 (1)(归纳奠基)证明当取第一个值n.. .. *时命题成立; nnN(),00(1);(2)2,2;zzzzazzbi,，,,, *(2)(归纳递推)假设时nkknkN,,,(,)0 nk,，1命题成立，推证当时命题也成立. 2222 (3);(4);(5)zzzzabzzzzzR,,,,，,,,, 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对 从开始的所有正整数都成立. nn0 41424344nnnn，，，，用数学归纳法可以证明许多与自然数有关(6),1,,1;iiiiii,,,,,, 的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列 2通项公式、几何中的计算问题等. 111，,,iii2,, (7)1;(8),,,,,,,,,,iiiii，， ,,11,，ii2,,专题五:数系的扩充与复数 1、复数的概念 ,1，3i,,设是1的立方虚根，则(9)?虚数单位; i2 zabiabR,，,(,)?复数的代数形式; 3n，13n，23n，32， ,,,,,,,,,,11，,，,,0 ?复数的实部、虚部，虚数与纯虚数. 6、复数的几何意义 2、复数的分类 复平面:用来表示复数的直角坐标系，其中zabiabR,，,,，，复数 轴叫做复平面的实轴，y轴叫做复平面的虚x 实数(0)b,,轴. , 纯虚数(0,0)ab,,,,一一对应虚数(0)b,,, 复数复平面内的点zabiZ,，,,,,,(a,b)非纯虚数(0,0)ab,,,, ,,,,3、相关公式 一一对应 复数平面向量zabiOZ,，,,,,, ? a，bi,c，di,a,b,且c,d专题六:坐标系与参数方程 1、平面直角坐标系中的伸缩变换 a，bi,0,a,b,0? P(x,y)设点是平面直角坐标系中的任意一22? z,a，bi,a，b,,,x,,x,(,0),,,:点，在变换的作用下，点,zabi,,? ,y,,y,(,0).,,, z，z指两复数实部相同，虚部互为相反数(互,,,P(x,y)P(x,y)对应到点，称为平面直角坐,为共轭复数). 标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 4、复数运算 2、极坐标系的概念 ?复数加减法:O在平面内取一个定点，叫做极点;自极点 OOx引一条射线叫做极轴;再选定一个长度单; ，，，，，，，，a，bi,c，di,a,c，b,di 位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通?复数的乘法:常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标 系。 (,),, Mabicdiacbdbcadi，，,,，，，，，，，，，，; abicdi，,，，，，abi，,?复数的除法: cdicdicdi，，,, ，，，， , acbdbcadi，，,，，，，acbdbcad，, xO ,,，i 222222cdcdcd，，， 图1 (类似于无理数除法的分母有理化虚数除法,点M的极坐标:设M是平面内一点，极点的分母实数化) |OM|O与点M的距离叫做点M的极径，记为5、常见的运算规律 OxOM,;以极轴为始边，射线为终边的.. .. ，xOM,叫做点的极角，记为。有序数对M (,,,)M(,,,)叫做点的极坐标，记为. M4、简单曲线的极坐标方程 (,,,)(,,,，2k,)(k,Z)注:极坐标与表示同一?圆的极坐标方程 (0,,)(,,R)O个点。极点的坐标为. 为半径的圆的极坐标方程是 ?以极点为圆心，a ,,0,,,0(,,,,)若,则,规定点与点 ;(如图1) ,,a(,,,)(,,,,)(,,,，,)关于极点对称，即与表 示同一点。 (,0)a(a,0)?以为圆心， 为半径的圆的极坐a,,,,,,0,02如果规定，那么除极点外， (,,,)平面内的点可用唯一的极坐标表示(即一,,2acos,标方程是 ;(如图2) (,,,)一对应的关系);同时，极坐标表示的点 也是唯一确定的。 M,M极坐标与直角坐标都是一对有序实数确M,,,axaO定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实,,OxxaO,、,对应惟一点(,，,)，但平面内任一数P 图3个点P的极坐标不惟一(一个点可以有无数个图2图1,,,2acos,,,坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)(极,,2acos,,,a ,,,，)或(,,，点除外)的全部坐标为(2k,,xOMM(2k，1),,，)，(Z)(极点的极径为0，而极k, ,,,,角任意取(若对、的取值范围加以限制(则aa,M(a,,)a除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限,,xOOx定,>0，0?,,或,<0，,,?等( 2,,,,图5图6图4极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系,,,2asin,,,2asin,,,2acos(,,,)中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中， ,点与坐标是一多对应的(即一个点的极坐标是(a,0)?以为圆心，为半径的圆的极坐(,)aa2不惟一的( ,,2asin,标方程是;(如图4) 3、极坐标与直角坐标的互化 设是平面内任意一点，它的直角坐标是M ?直线的极坐标方程 (,)xy(,),,，极坐标是，从图中可以得出: xy,,,,,,cos,sin,,,(,,0)?过极点的直线的极坐标方程是 y222,，,,xyax,tn(0).,,,,,,,，,(0)和. (如图1) x y A(a,0)(a,0)?过点，且垂直于极轴的直线的l ,cos,,a极坐标方程是. 化为直角坐标方 x M N 程为.(如图2) xa, , , ?过点且平行于极轴的直线的极坐标lAa(,) 2y , ,,sin,a方程是. 化为直角坐标方程为 O H , , , , x cos 2 2 2 ， , , , x y , ya,.(如图4) , , , , , , , , , , y sin y , , , , , , tan ( x 0 ) , 6、参数方程的概念 x 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点 (直极互化 图) .. .. x,f(t),,xb,cos,,的坐标都是某个变数的函数 并x,yt, (为参数);(3)双曲线,,y,g(t),,ya,sin,,且对于的每一个允许值，由这个方程所确定的 t 22 xa,sec,,xy,,,,1(0)ab的参数方程 ,22 abyb,tan,, (为参数); ,( ， )M,,MM,,22,yx0,,,,1(0)ab双曲线的参数方程 ,,Ox22abaOaO 图1图3xb,cot,图2, (为参数); ,,,,,a0aya,csc,,,,,,,cos,cos, 2( ， ),,,xpt,2M2(t(4)抛物线参数方程 为ypx,2,M,ypt,2,O,(a,,)aN,aa1,参数，); ,tO,MtanOp图5参数的几何意义:抛物线上除顶点外的任t图4a图6,,,a意一点与原点连线的斜率的倒数. sin,,a,,,sin,,cos(,,,)(6)过定点、倾斜角为的直P(x,y)(),,,002 ,,，xxtcos,0线的参数方程(为参数). t, y,y，tsin,0,M(x,y)点都在这条曲线上，那么这个方程 8、参数方程与普通方程之间的互化 就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变x,y 在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数叫做参变数，简称参数。 t 数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关 中，必须使x,y的取值范围保持一致. 系的方程叫做普通方程。 参数方程化为普通方程的关键是消参数，并7、常见曲线的参数方程 且要保证等价性。若不可避免地破坏了同解变222(1)圆的参数方程为()()xaybr,，,, x,f(t),y,g(t)形，则一定要通过。根据t的 xar,，cos,,, (为参数); ,取值范围导出x,y的取值范围. ybr,，sin,, 22xy，,,,1(0)ab(2)椭圆的参数方程为22ab xa,cos,, (,为参数); ,yb,sin,, 22yx，,,,1(0)ab椭圆的参数方程为22ab ..