!定积分计算方法总结

!定积分计算方法总结 摘 要 定积分是数学分析中的一个基本问题～而计算定积分是最基本最重要的问题.它在许多实际问题有着广泛的应用.下面针对定积分的计算方法做一个比较详细的总结～常见的包括分项积分、分段积分法、换元积分法、分部积分法. 但对于不能直接找出原函数的定积分～或者被积函数比较复杂时～往往是比较难求出原函数的～从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形～本文总结用欧拉积分求解定积分、留数在定积分上的运用、巧用二重积分求解定积分、反函数求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用～并列举相应的例子进行说明. 关键词: 定积分; 被积函数; 原函数; 牛顿-莱布尼兹公式 1 目 录 1 引言 2 定计算的计算方法 2.1 分项积分 法?????????????????????????????????????????????????(1) 2.2 分段积分 法?????????????????????????????????????????????????(2) 2.3 换元积分 法 ????????????????????????????????????????????????(3) 2.4 分部积分 法 ????????????????????????????????????????????????(5) 2.5 欧拉积分在定积分计算中的应 用???????????????????????????????(9) 2.6 留数在定积分计算上的应 用???????????????????????????????????(10) 2.7 巧用二重积分求解定积 分?????????????????????????????????????(10) 2.8 反函数法求解定积 分?????????????????????????????????????????(10) 2.9 带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用?????????????????????(11) 3 总 2 结????????????????????????????????????????????????(12) 浅谈定积分的计算 1.引言 定积分的计算是微积分学的重要内容，其应用十分广泛，它是包括数学及其其他学科的基础.本文归纳总结了常见的定积分计算方法(如[1-4])，其中包括分项积分法、分段积分法、换元积分法以及分部积分法. 另外对于找不出原函数的定积分，或者被积函数十分复杂时，往往是很难求出其原函数，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，我们有必要在此基础上研究出新的计算方法.对此本文总结了一些另外的方法(如[5-9])，其中包括欧拉积分求解定积分、运用留数计算定积分、巧用二重积分求解定积分、反函数法求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用,进行了一一列举，并通过例子加以说明. 2.定积分的计算方法 2.1 分项积分法 我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和:，fxkgxkgx()(),()+1122 3 bbb若右端的积分会求，则应用法则fxdxkgxdxkgxdx()(),()+,其中，是kk112212,,,aaa b，这就是分项积分法. 不全为零的任意常数，就可求出积分fxdx(),a ,1[1] 4例2-1计算定积分. dx142,，xx(1)2 解 利用加减一项进行拆项得 ,,,,22221(1)，,xx1(1)，,xx4444,== dxdxdxdx1111442,,,,4222，xxx(1)xx(1)，xx(1)，2222 ,,,,,,11111444444,,=+=++. arctanxdxdxdx1111113422,,,x3x，xx1x222222 64415=. ,，,，arctan3,,323 2xdx例2-2 计算定积分. ,1xx,,1 22xxxx(1)，,,dx解 记J= dx,,2211xx,,1()(1)xx,, 3222xxdx,1=+ xdx,,11 再将第二项拆开得 553331222222222222222J=++=x+(1)x,+(1)x, xdx(1)xdx,(1)xdx,111,,,111553 52222=+. 53 2.2 分段积分法 分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清楚积分限与分段函 数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段. 被积函数中含有绝对值时，也可以看成分段函数，这是因为正数与负数的绝对 值是以不同的方式定义的，0就是其分界点. ,1,,[2] 2例2-3计算定积分. ，(1)min,cosxxdx,,,,,2,,2 4 1,,,,，，解 由于为偶函数，在0,上的分界点为，所以 min,cosx,,,,223，，,, ,,,111,,,,,,2222min,cosxdx=+ ，xxdxmin,cos(1)min,cosxxdx,,,,,,,,,,,0,,222,,,,,,22 ,,,1320，==. ，,23，2(cos)dxxdx,,,0323 1,2,0x,,1，x例2-4 计算定积分fxdx(1),，其中fx(). ,,1,0,0x,x,1，e, fx()0tx,,1的分界点为，所以，令后，有 解 由于函数 210111fxdx(1),=ftdt()=+ dxdxx,,,,,,0110，e1，x1 ,x0e1,x0ln(1)，x,，ln(1)e=dx+=+ ln20,1,x,1,1，e ln(1)，e=. 2.3 换元积分法(变量替换法) 换元积分法可以分为两种类型: 2.3.1 第一类换元积分法(也被俗称为“凑微分法”) ,dx[3]2例2-5 计算定积分. ,1sintanxx， xx22cossin,,,,cosxdxdx22222dx解 == ,,,111xx，sin(1cos)xxsintanxx，34sincos22 x21tan,,,x11xx222,dtan(tan)tand= = ,,11xx2222tan2tan22 ,,11xx222,= lntantan112242 11112=. ,，,lntantan2424 221,xdx例2-6 计算定积分. 4,01，x 5 1,1222221,x11xdx 解 == dx,，dx()4,,,00011x1，x22，x，x22xx 211= ,，dx(),01x2()2，,xx 11，，dxdx()()，，22,,1xx= ,,,,,,001122,,()2()2，,，，xxxx，， 1，,x21112x==. ,ln,ln1502222，，x2x 2.3.2 第二换元积分法 常用的变量替换有:?三角替换;?幂函数替换;?指数函数替换?倒替换( 下面具体介绍这些方法( ? 三角替换 312[4]4xxdx(1),例2-7 计算定积分. ,0 33111222442xt,sinxxdx(1),解 由于=，故可令，于是 (1),xdx,,002 321arcsin1arcsin111244xxdx(1),== costdt(1cos2)，tdt,,,00028 arcsin111cos4，t= )dt(12cos2，，t,028 11arcsin1= (32sin2sin4)ttt，，0164 12= (34sin1sinttt，,，16 22arcsin1 sin1sin(1sin))ttt,,0 12242441= (3arcsin41(12)1)xxxxxx，,，,,016 13224641==. arcsin1(3arcsin5121)xxxxx，,,,01616 6 ?幂函数替换 ,2sinx2例2-8 计算定积分. dx,0，sincosxx ,解 作变量代换，得到 xt,,2 ,,22sinxcost22=，因此 dxdt,,00，，sincosxxsincostt ,,,222sinx1sincosxt222，== dx()dxdt,,,000，，，sincosxx2sincossincosxxtt ,,3,111111224dxdx=== dx,,,,00,，2sincosxxsinx22224，sin()x4 3,11cos,x14=. ln(12)，(ln),sinx2224 ?倒替换 31+dx2例2-9 计算定积分. ò12xxx321-- 31，31，dxdx22解 = ,,12121xxx321,,2x3,,2xx 1令得 t,x 31，31,dtdxt，1,31,2===. ,,arcsin1,,12162214(1)t2,，x3,,2xx 2.4 分部积分法 [5],,,()x,()xab,定理 3-1若，在上连续，则 ,,bbbbbb,,uvdxuvuvdx,,udvuvvdu,,或. aa,,,,aaaa bfxdx()利用分部积分求的解题方法 ,a 7 bb,(1)首先要将它写成udv()或uvdx得形式( ,,aa 选择，使用分布积分法的常见题型: uv, 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 一 被积函数的形式 所用方法 ,x,x，，，Pxe()Pxx()sin,Pxx()cos,e次分部积分，每次均取，进行nnnn ,其中为次多项式，为常数 Px()n,vx()sin,x，为，多项式部分为cos,xn ux() ,vx()lnxarcsin,xlnxarcsin,x,， 为，，， 取Px()Px()Px()nnn arctanx即多项式与对数函数或Px()ux()arctanx等为(分部积分一次后被n 反三角函数的乘机 积函数的形式发生变化 ,x,x,x,eeesin,xcos,xvx()ux()sin,xcos,x， 取=(或)，， ,ux()vx()为(或)，进行两次分部积分 (2)多次应用分部积分法，每分部积分一次得以简化，直至最后求出( bfxdx()(3)用分部积分法有时可导出的方程，然后解出( ,a (4)有时用分部积分法可导出递推公式( ,[6]222例2-10 计算定积分. xxdxsin,0 8 12解 于，所以 sin(1cos2)xx,,2 ,,,,111232222222,== xxdx(1cos2),xxdxsin2xxdxsin0,,,000264 连续使用分部积分得 ,,,1113222222= ,，(sin2)sin2xxxxxdxxxdxsin0,,00642 ,,1113222= ,,(sin2)cos2xxxxdx0,0644 ,1111322= ,,，(sin2cos2sin2)xxxxxx06448 3,,，=. 488 ,[7]2x2例2-11 计算定积分( xexdxsin,0 ,,,,xxxx2222,解 因为==exsin exdxsinsinxdecosxde0,,,000 ,,xx22=exx(sincos), 所以 ,exdxsin0,0 ,,,11xx222，(1)e=exx(sincos), = 于是 exdxsin0,022 ,,,xxx222excos=+ exdxcosexdxsin0,,00 ,,11x22,(1)e =exx，= (sincos)022 ,,1，，2x2x22xdexx(sincos),从而 = xexdxsin,,,,002，， ,,12xx22xexx, = (sincos),,xexxdx(sincos)0,02 ,,,111，，，，xx2x222xdexxxdexx,,(sincos)，，(sincos)xexx,= (sincos)0,,,,,,00222，，，， 9 ,,,1112xxx222，,exxdx= xexx,,,xexx(sincos)(sincos)(sincos)00,0222 ,,11xx22,，exxdx ，，xexx(sincos)(sincos)0,022 ,,,12xxx222= xexx,，xexcos(sincos),exdxcos00,02 ,,,112xxx222,= xexx,，xexcosexx，(sincos)(sincos)00022 ,1x222，，=exxxx ,,,(1)sin(1)cos0，，2 ,22e,1(1),，=. 242 n,[8] 例2-12计算定积分xxdxsin，其中为正整数( n,0 (21)k，,(21)k，,解 xxdxsin=xxdxsin ,,2k2k,, txk,,2,作变量替换得 (21)k，,,xxdxsin(2)sintktdt，,= ,,02k, ,,=ttdtktdtsin2sin，, ,,00 ,,,(41)k，,=,，,tttdtktcoscos2cos,= 00,0 (22)k，,(22)k，,xxdxsin,xxdxsin= ,,(21)k，(21)k，,, txk,,2,作变量替换得 (22)k，,2,22,,,xxdxsin,，(2)sintktdt,,,ttdtktdtsin2sin,==- ,,,,(21)k，,,,, 2,22,,ttdttdtktcoscos2cos,，,= ,,,, (43)k，,= 当为偶数时， n n,12n,,,(21)(22)，，kkxxdxsin= (sinsin)xxdxxxdx，,,,,02(21)，kk,,,0k 10 n,12 = (41)(43)kk，，，,,,,,,0k nn，，(1),,,n222n,= ,42,,，,,22,, ，， 当为奇数时， n n,3 2n,,,,(21)(22)kkn，，xxdxsin= (sinsin)sinxxdxxxdxxxdx，，,,,,,02(21)(1)kkn，,,,,k,0 n,3 2n,1= ,,,(41)(43)(41)kk，，，，,，,,,2k,0 n,32 = 4(21)(21),,kn，，,,k,0 nn,,31，，()(),,,n,122= ,,42(21),，，,n,,22,, ，， 2n,=. 2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用 1[4]pq,,11,(,)pqBeta定义 2-1xxdx(1), 形如=的含参变量积分称为函数，或,0 ，,sx1,,EulerGamma第一类积分。形如,,()sxedx的含参变量积分称为函数，或第,0 Euler二类积分。 ,,()()pq[4],(,)pqBetaGamma定理 2-2 函数与函数之间具有如下关系:=，,，()pq pq,,0,0. ,[4]定理 2-3(余元公式). ,,,,,,()(1),01ssssin, ,mn，，11[4]mm2命题 2-1 =. sincosxxdx,,,,,(,)1,1mn,022 ,1cos，xdx[4](01),,k例2-13 计算. ,0sin1cosxkx， 11 tkx1,xkt1，tantan,tantan,解 令，则有，利用三角恒等式可得 212，k212,k 221,k1,kcostk,dxdt,，，将其带入原式得 sinx,cosx,1cos,kt1cos,kt1cos,kt 2,,1cos，xdx11cos1,,,ktktk4= cotdt,,200sin1cosxkx，1211cos，,,kkkt 11,111144,(1),ktt2(1),k22222== sincosdtsincosttdt33,,002244(1)，k(1)，k 13,,()(),1111131,,44222,,,sincos(,)ttdt=, ,013,224422,，()sin444 14,1cos，xdx(1),k,=. 从而3,0sin1cosxkx，42(1)，k 2.6 留数在定积分计算上的运用 2,2sin,[9] 例2-14计算积分d. ,,0，abcos, 22z,1z，1i,i,ze,dzied,,,,解 令，则sin,，cos,， 2iz2z 222,2sin,(1)z,(1)1zdz,d== dz,, 22,2,,20，abcos,，，2(2)izbzazbz，1,4ziz,z,1z,1ab，()2z 2(1)z,= dz ,2222,，,,,,aabaabz,12,,,2()()izbzzbb 22,,，，()aab,，,,,=, 2Re(),0Re(),isfzsfz，,,,,,,b,,,,，，,, 2222aab,,,2,22,==. ,,()aab222bbb 2.7 巧用二重积分求解定积分 12 1ln(1)，x[10] 例2-15计算积分. Idx,2,01，x 111dxxxIdy,解因为，所以 ln(1)，,xdy2,,,00011，，xxy1，xy 11xdydy= 2,,00(1)(1)，，xyx 111,,，，== ln2ln(1)，,，yydyln2,I2,,,0124，y4，， ,故. I,ln28 2.8 反函数法求解定积分 [11]fx()ab,定理 2-4 若函数在上严格单调且连续，其反函数是,, b,,1,1,,fa(),,,fb()，且，则fxdxbafydy()(),,,,,( xfy,(),,a, [11]yfx,(),,fa(),,,fb()yfx,()ab,定理 2-5 设在上可积，.若在,, ,1gx()ab,y,,,,ab,上存在反函数(), 在上可积且存在原函数xfy,(),,,,,, ,1，，Gx()Gfy(),,,,在上可积，则,,，， bb,,1b，，fxgxdx()()=fxGxGfydy()()(),. a,,,，，aa, e[11]6例2xxdxln-16 计算定积分. ,1 1y76xe,fx()解 记，它的一个原函数为，的反函数为， gxx(),Gxx(),7abeffe,,,,,,1,,(1)0,()1,, e1111116ey77777xxdxln由定理得==. ,,xxedy(61)e，ee,,(1)ln1,,104974977 2.9 带积分型余项的泰勒公式在定积分计算中的应用 [12]fx()n，1定理 2-5若函数在点的领域内有连续的阶导数，则xUx()00 ,,x，有 Ux()0 112()nn,,,+ fxxx,()()fxfxfxxxfxxx()()()()()(),，,，,，，？？0000000n!2! x1(1)，nn，其中称为积分型余项( Rx()Rxftxtdt,,()()()nn,x0n! 13 nb(b-x)[12]，()(0),,,例2-17 计算. dxnNab2,，nax n，1(1)(1)!,，n1(1)n，解 设，则 fx(),fx(),n，2xx n，1nbb(1)1,(b-x)(1)nn，()()bxdx,dx= ,n，2,aanx(1)!，x n，，11111(1),2n= nbababa!()()(),，,,,，，,？？,,，，1231nnbanaaa(1)(10!,，，， bn，1(1),n，1(1),a=. ，1nb 总结 其中包括分项积分法、分段积分法、换元积分本文归纳总结了定积分计算方法, 法、分部积分法、用欧拉积分求解定积分，运用留数计算定积分,巧用二重积分求解 定积分、反函数法求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用等, 进行了一一列举,并通过例子加以说明. 14